ARKUSZ I ANALIZA MATEMATYCZNA I
CI
GI LICZBOWE
Zad. 1. Sprawdzić, czy następujące ciągi są monotoniczne:
n n2 - 3
1) an = , 2) bn = , 3) cn = n(-2)n,
n2 + 1 n2 + 1
2n n 1
4) dn = , 5) en = , 6) fn = ,
n! 3n (2n)!
"
n
n
7) gn = n(-1) , 8) hn = cos(nĄ), 9) in = 2 .
Zad. 2. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
"
3n
1) lim = 3, 2) lim n + 2 = +",
n" n"
n + 1
3) lim (3 + 2n) = +" , 4) lim log2 (n + 3) = +" ,
n" n"
1
5) lim logn+1 4 = 0 , 6) lim = 0.
n" n"
2n + 5
Zad. 3. Obliczyć
" "
n3 + 2n2 + 1
1) lim , 2) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ,
n" n"
n - 3n3
"
"
n3 + 1 ( n + 3)2
"
3) lim , 4) lim ,
3
n" n"
n + 1
n5 + 1 + 1
"
" "
5) lim n + n - n - n , 6) lim n n - n2 - 1 ,
n" n"
"
n -8n-1
7) lim , 8) lim ,
n" n"
"
7n+1
n + n + n
2n+1 - 3n+2 2n-1 - 5
9) lim , 10) lim ,
n" n"
3n+2 22n - 7
5 - 32n log2 n5
11) lim , 12) lim ,
n" n"
2n + 3n log8 n
3
27log n 1 + 3 + ... + (2n - 1)
13) lim , 14) lim ,
n" n"
2
16log n 2 + 4 + ... + 2n
1 1 1
n
1 + + + ... + 2
2 22 2n
15) lim , 16) lim 1 + ,
1 1 1
n" n"
1 + + + ... + n
3 32 3n
n2
3n
2 n2 + 5
17) lim 1 - , 18) lim ,
n" n"
n2 n+1
3n + 1 3n+1 3n + 1 3n+1
19) lim , 20) lim ,
n" n"
3n + 2 n + 2
2
n + 4 5-2n
21) lim , 22) lim n ( ln (n + 1) - ln n ) ,
n" n"
n + 3
3
ln 1 -
"
n n
23) lim , 24) lim 10n + 9n + 8n ,
n" 1 n"
n
"
2 n 3 n
n n
25) lim 5n4 + n3 - n + 1 , 26) lim + ,
n" n"
3 4
" "
n n
27) lim 3 + sin n , 28) lim 2n + cos n2 ,
n" n"
3n + 2n 2n + (-1)n
n
29) lim , 30) lim ,
n" n"
5n + 4n 3n + 2
2n2 + sin n! 1 3n
31) lim , 32) lim cos n2 - ,
n" n"
4n2 - 3 cos n2 2n 6n + 1
n sin n!
33) lim 2-n cos nĄ , 34) lim .
n" n"
n2 + 1
Zad. 4. Wykazać, że nie istnieje granica ciągu (an)n"N , gdzie
nĄ (-1)n n
1) an = n + (-1)n n2, 2) an = cos , 3) an = 1 + .
2 n
Zad. 5. Wykazać zbieżność ciągów o wyrazach ogólnych:
(n!)2 1 1 1
1) an = , 2) bn = 1 + + + ... + - ln n.
(2n)! 2 3 n
Zad. 6. Wyznaczyć kresy zbiorów:
1 2
1) A = { : n " N}, 2) B = {(- )n : n " N}, 3) C = {(-2)n+1 : n " N},
3n + 1 3
(-1)n nĄ
4) D = {1 + : n " N}, 5) E = {n + n(-1)n : n " N}, 6) F = {sin : n " N},
n 2
k 1 1
" "
7) G = {ln(n + 1) : n " N}, 8) H = { : n, k " N, k < n}, 9) I = { + : n, k " N}.
n n k
Zad. 7. Wyznaczyć kresy zbiorów:
1) A = {x " R : |x| + |2 - 2x| 3}, 2) B = {x " R : log2 ||x| - 1| < 2},
1
3) C = {x " R : sin x '" x > 0}, 4) D = {cos(2x) + 1 : x " R},
2
x + 2 x
5) E = { : x > -1}, 6) F = { : x " R}.
x + 1 x2 + 1
3
ARKUSZ II ANALIZA MATEMATYCZNA I
GRANICE FUNKCJI
Zad. 1. Obliczyć granice funkcji nie wykorzystując reguły de L Hospitala:
5x + 4
x2 - 5x + 4
x3 - 5
1) lim ln( ), 2) lim e ,
x" x-"
x (x - 5)
x2 - 5x + 4 x2 - 5x + 4
3) lim arctg , 4) lim arctg ,
x" x-"
x - 5 x - 5
x + 4 x + 4
" "
5) lim , 6) lim ,
x" x-"
x2 + x x2 + x
" "
7) lim ( x2 + 2 - x), 8) lim ( x2 + 2 - x),
x" x-"
" " "
3
9) lim ( ex + 1 - ex - 1), 10) lim ( x + 1 - x),
x" x-"
32x - 4x 32x - 4x
11) lim , 12) lim ,
x" x-"
9x + 3-x + 2 9x + 3-x + 2
2 2
13) lim ex+sin x, 14) lim ex+sin x,
x" x-"
1
tg
arctg 2x
x
15) lim , 16) lim ,
x" x-" 2
x - 1
tg
x
"
3
x
"
ln 2x-1
1
x + 3
17) lim e , 18) lim 1 + ,
x" x-"
x + 2
x-1 x-1
x2 + 2x x2 + 2x
19) lim , 20) lim .
x" x-"
x2 + 2 2x2 + 2
Zad. 2. Obliczyć:
4x2 - 1 x3 - 8
1) lim , 2) lim ,
x2
2x + 1 x - 2
1
x -
2
x2 - 4x + 3 3x2 + 5x - 2
3) lim , 4) lim ,
x3 x-2
2x - 6 4x2 + 9x + 2
" "
"
x - 5 1 + x - 1 - x
5) lim , 6) lim ,
x25 x0
x - 25 2x
"
x6 - 1 x - 2 - 2
7) lim , 8) lim ,
x1 x6
1 - x2 x - 6
sin2 x 1
9) lim , 10) lim (tg x - ),
Ä„
x0
x
1 - cos x cos x
2
cos 5x 3x - sin 2x
11) lim , 12) lim ,
Ä„
x0
x
cos 3x 2x - sin 3x
2
4
sin x3 sin x7 tg 2x
13) lim , 14) lim ,
x0 x0
sin x4 sin x6 tg 3x
1
+1
" 1
15) lim x cos , 16) lim (1 - sin 2x)x ,
x0+ x2 x0+
1
ln (1 - 3x)
17) lim , 18) lim (2 + x)x2 .
x0
x0- x
Zad. 3. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie xo (o ile istnieją), jeśli:
2x - 1 x + 1
"
1) f (x) = , xo = 2, 2) f (x) = , xo = -1,
(2 - x)2
x + 1
1
x
3) f (x) = , xo = -1, 4) f (x) = 3x2 - 2x + 1 , xo = 1,
1
x+1
2x + e
tg 3x sin(2 - x)
5) f (x) = , xo = 0, 6) f (x) = , xo = 2,
x2 |x - 2|
"
tg x 1
7) f (x) = , xo = 0, 8) f (x) = ln , xo = 3.
x x2 - 9
Zad. 4. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją:
1
x
1) lim e1 - x3 , 2) lim " ,
x1 x1
x - 1
x3 + 8 1
3) lim , 4) lim .
x-2 x0
|x + 2| sin 2x
Zad. 5. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f i granice w punktach brzegowych dziedziny, jeśli:
3
1
1) f(x) = e3 - x , 2) f(x) = ,
arc sin(x - 1)
1 1
3) f(x) = arctg , 4) f(x) = x sin ,
x - 3 x
2 + sin x 2
5) f(x) = , 6) f(x) = .
3x ln x
Zad. 6. Wyznaczyć asymptoty funkcji f, gdzie:
"
1 1 + x2
7) f (x) = , 8) f (x) = ,
ex - 1 x
x3
9) f (x) = , 10) f (x) = x - arctg x
(x + 1)2
x 1 - x
11) f (x) = x + ln , 12) f (x) = arc cos ,
x + 2 1 + x
1
"
2x ln x - 1
2 - x
13) f (x) = , 14) f (x) = e .
ln x
5
Arkusz III ANALIZA MATEMATYCZNA I
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
Zad. 1. Naszkicować wykres funkcji f, wskazać jej punkty nieciągłości i określić ich rodzaj:
1 - x - 2x2 dla x < 0, ln(-x) dla x < 0,
1) f(x) = 2) f(x) =
-ex + 1 dla x 0, sgn (sin x) dla x 0,
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - arctg x dla x < 0,
sin 2x dla x < -Ä„,
òÅ‚ òÅ‚
Ä„x
3) f(x) = |x| dla x " (-Ä„, 1], 4) f(x) = ctg dla x " (0, 1],
4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
ln(x - 1) dla x > 1, e-x+1 dla x 1,
Å„Å‚
Å„Å‚
x
ôÅ‚ x2 - 2x
òÅ‚ òÅ‚
dla x = Ä…1,

dla x = 2,

|x|
5) f(x) = 6) f(x) = - 1
|x - 2|
ôÅ‚ ół
ół
0 dla x = Ä…1,
-2 dla x = 2,
7) f(x) = sgn (x (x - 1)) dla x " R, 8) f(x) = x sgn (x - 1) dla x = 3.

Zad. 2. Zbadać ciągłość funkcji f określonej wzorem:
"
1
2x-1- 5+x2
x sin dla x = 0,

dla x = 2,

x
x-2
1) f(x) = 2) f(x) =
4
0 dla x = 0,
dla x = 2,
3
Å„Å‚
"
Å„Å‚
1
2(x- 2-x)
ôÅ‚
x
ôÅ‚ ôÅ‚ dla x < 1,
xe dla x < 0,
òÅ‚ òÅ‚
x-1
3) f(x) = 0 dla x = 0, 4) f(x) = 1 dla x = 1,
"
ôÅ‚ ôÅ‚
1
ół ôÅ‚
x+ x
ół
1-x
dla x > 0,
x + e dla x > 1,
x
Å„Å‚
Å„Å‚
1
2 -
ôÅ‚
x2
ôÅ‚ x ôÅ‚
(1 - 2x) dla x < 0,
òÅ‚ òÅ‚
2 + e dla x < 0,
5) f(x) = 6) f(x) =
0 dla x = 0,
2 dla x = 0,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
1
ół 2+x
x arctg dla x > 0,
ln dla x > 0,
x2
x
1 ln x+1
1 - cos dla x = 0, + x dla x > 0,

x 2 ln x
7) f(x) = 8) f(x) =
1
0 dla x = 0, dla x = 0.
2
Zad. 3. Znalez
ć rzeczywiste wartości parametrów a i b, dla których funkcja f jest ciągła:
sin 2x
dla x = 0, bx + 3 dla x < 1,

3x
1) f(x) = 2) f(x) =
a dla x = 0, 2x2 + x + a dla x 1,
1
2 arctg dla x < 1, x + a dla x 0,
1-x
3) f(x) = 4) f(x) =
x
dla x > 0,
ax dla x 1,
tg ax
Å„Å‚ Å„Å‚
b
ôÅ‚ x ôÅ‚ - 1)3 dla x -1,
(x
(1
òÅ‚ - x) dla x < 0,
òÅ‚
5) f(x) = 6) f(x) = ax + b dla -1 < x < 1,
ax + 1 dla 0 x 2,
"
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
1
x + 3 dla x 1,
(a - x)2 dla x > 2,
2
Zad. 4. Uzasadnić, że podane równania mają rozwiązanie we wskazanych przedziałach:
sin x Ä„
1) + x = 1, (0, ), 2) ln x + 2x = 1, (1, 1),
2 2 2
"
1 1
3) arctg x = (" , 3), 4) ln x = 2 - x, [1, 2],
x2 3
5) x4 = 4x (-", 0], 6) x 2x = 1, (0, +").
6
Arkusz IV ANALIZA MATEMATYCZNA I
SZEREGI LICZBOWE
Zad. 1. Wyznaczyć ciąg sum częściowych podanych szeregów i zbadać ich zbieżność:
" " "
"
"
3n+7n
1) (5)n+1 2) 3) ( n + 1 - n )
6 10n
n=1 n=1 n=1
" " "
n-1 1
4) 5) (-1)nn 6)
n! n(n+1)
n=1 n=1 n=1
" " "
1 1 1
" "
7) 8) ln(1 + ) 9)
(2n-1)(2n+1) n n+1 + n
n=1 n=1 n=1
Zad. 2. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów wykazać rozbieżność szeregów:
" " "
n3 2 2n
1) 2) (2 - )n 3) (2n+1)n
2n3+n-1 n
n=1 n=1 n=1
" " "
" "
3n+1- n
1
"
4) 5) (-1)n ctg 6) (4-n)n
n n+2 3+n
n=1 n=1 n=1
" " "
3 1 1
7) arc cos 8) ctg 9) arctgn(n2 + 1)
n2 n n
n=1 n=1 n=1
Zad. 3. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
" " "
(n!)2
100n n!
1) 2) 3)
n! (2n)! nn
n=1 n=1 n=1
" " "
"
(3n+1)3 (-5)n n+1
2
4) 5) 2n tg 6)
(5n+1)2 n (2n)!
n=1 n=1 n=1
Zad. 4. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów:
" " "
"
2n+1 "
n
2
1) 3n 2) ( 2 - 1)n 3) n arcctgn n
3
n=1 n=1 n=1
" " "
n2
2n+3n 1
4) 5) tgn(Ä„ - ) 6) (-1)n 2n
3n+4n 3 n 2n-1
n=1 n=1 n=1
Zad. 5. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
" " "
"
2n2-1 n+1 n+1+arctg n
1) 2) 3)
n4+2n+3 n2+1 2n2+arctg n
n=1 n=1 n=1
" " "
1 1 Ä„
"1 1
4) cos 5) sin 6) tg
n2-1 n! n n n
n=2 n=1 n=1
" " "
ln n 1 ln n
"
7) 8) 9)
n2+n n+1
ln n+2
n=1 n=1 n=1
" " "
"
n
1 1 1 1 2
" " "
10) arc sin 11) arctg 12) cos
3
n n n+2 n+1 n n
n=1 n=1 n=1
7
Zad. 6. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
" " "
n2+n+1 2 2n-1
1) 2) 3)
2n3-1 n2+(-1)n 3n-1
n=1 n=2 n=1
" " "
Ä„
sin
1 1 1
3n
" "
4) sin tg 5) 6) sin(tg )
Ä„
n n sin n
2n
n=1 n=1 n=1
" " "
2 1 1 arctg n
" "
7) ln(1 + ) 8) cos 9)
3
n n n n
n=1 n=1 n=1
Zad. 7. Zbadać zbieżność szeregów wykorzystując kryterium Leibniza:
" " "
"
n
1) (-1)n 1 2) (-1)n( 3 - 1) 3) (-1)n-1 " 1
n! n+2
n=1 n=1 n=1
Zad. 8. Zbadać zbieżność szeregów stosując poznane kryteria:
" " "
2
3n nn
"
1) 2) (-1)n nn 3) (-1)n 1
2
n
3n n!
2
(n+1)n
n=1 n=1 n=2
" " "
sin2 n arctgn n
"
4) 5) (-1)n (n+1)2n 6)
n
n3-1 (2n2+1)n
n 2
n=2 n=1 n=1
" " "
Ä„ 2 1
7) n2 sin 8) sin 9) cos
2n n n!
n=1 n=1 n=1
" " "
ln(n+1)
n
10) 11) (-1)n 1 12)
ln(n2+2) ln(n-1) n3+n
n=1 n=3 n=1
" " "
1 Ä„ 1 1
13) 2n+1 sin 14) 2n sin 15) sin cos
2n n n
3n2
n=1 n=1 n=1
" " "
(n!)2 3n+1
2n+3n
16) arc cosn 1 17) 18)
n2 n!+n (2n+1)!
n=1 n=1 n=1
" " "
2n+1
1 n
19) arc sin(1 - ) 20) 3n -2 21) tg
n 3 n3+1
n=1 n=1 n=1
Zad. 9. Zbadać zbieżność oraz bezwzględną zbieżność szeregów:
" " "
(-1)n+1
1
1) 2) (-1)n tg 3) (-1)n ln(n+1)
2n+1 n+1 n!
n=1 n=1 n=1
" " "
n n2
-2n 1
4) 5) (-1)n n-1 6) (-1)n+1 arctg
3n+5 n+2 n2
n=1 n=1 n=1
" " "
cos n sin 2n
7) (-1)2n+1 n4n+1 8) 9)
n3+2n 2n+n 3n-1
n=1 n=1 n=1
" " "
n cos(nĄ) (-1)n n -n2
"
10) 11) (-1)n 1 12)
n2+1 n- n 3n n-1
n=1 n=1 n=1
Zad. 10. Wykazać, że
2n n! nn 7n
1) lim = 0 2) lim = 0 3) lim = 0 4) lim = +"
n! nn n5
(n!)2
n" n" n" n"
" "
2
a następnie zbadać zbieżność szeregów:
(n!)n
2n
5) 6)
(n!)n
nn2
n=1 n=1
 8
Zad. 11. Stosując kryterium o zagęszczaniu zbadać zbieżność szeregów:
" " "
ln n 1 1
1) 2) 3)
n2 n ln n n ln2 n
n=1 n=2 n=1
" " "
1 1 1
4) 5) dla Ä… > 0 6)
(ln n)ln n nÄ… n+ln2 n
n=2 n=1 n=2
Zad. 12. Stosując kryterium Raabego zbadać zbieżność szeregów:
" "
"
n! n!
" "
"
1) 2) dla x > 0
(x+1)(x+2)...(x+n)
(2+ 1)(2+ 2)...(2+ n)
n=1 n=1
Podstawowe oszacowania:
Ä„
"x"R sin x 1 "x"(0, ) x < sin x "x"(0,+") sin x < x
2
2
1
Ä„
"x"(0, ) x tgx "x"(1,+") 0 < ln x < x "x"(1,+") "Ä…"(0,+") 0 < ln x < xÄ…
Ä…
2
SZEREGI FUNKCYJNE I POT
GOWE
Zad. 13. Wyznaczyć zbior tych x " R, dla których dany szereg geometryczny jest zbieżny oraz
obliczyć sumę tego szeregu:
" " "
1) (x2 - 8)n 2) (sin x)2n 3) e- nx
n=1 n=1 n=1
Zad. 14. Wykazać jednostajną i bezwzględną zbieżność szeregów funkcyjnych:
" "
1 x sin nx
1) sin , gdy | x | M 2) , gdy | x | M > 0
n n
(nx)2
n=1 n=1
" "
cos nx n e-nx
3) , gdy x " R 4) , gdy x 0
n2 3n+1
n=1 n=1
Zad. 15. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
" " "
(x-2)n 32n(4x+1)n
xn
1) 2) 3)
n 2n 2nn3 n2
n=1 n=1 n=1
" " "
(x+1)n
"
4) (-1)n (x+3)n 5) (2n)! xn 6)
n3 2n n+3
n=1 n=1 n=1
Zad. 16. Wyznaczyć zbior tych x " R, dla których dany szereg jest zbieżny:
" " "
n
(ln x)n
1 3 n
"
1) 2) 3) (2n-3)2n 1
n x n+2 (x+1)n
n=1 n=1 n=2
" " "
n
n! x
4) ne-nx 5) (-1)n xn 6)
2n+3 (n+2)! 2
n=1 n=1 n=1
" " "
n (2-3x)n
x2n 2
7) 8) 9) sin (x - 1)n
5n+2 n! n
n=1 n=1 n=1