20. Model atomu wodoru według Bohra.
Wybór i opracowanie zadań  Jadwiga Mechlińska-Drewko.
Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu.
20.1.
OpierajÄ…c siÄ™ na teorii Bohra znalez
ć:
a/ promień n-tej orbity elektronu w atomie wodoru,
b/ prędkość elektronu na tej orbicie,
c/ jego całkowitą energię na n-tej orbicie.
20.2.
Wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z orbity n na orbitÄ™ k.
20.3.
Przejście elektronu z n-tej orbity na orbitę k=1 zachodzi z emisją fotonu o długości =1,026
10-7m. Znalez
ć promień n-tej orbity.
20.4.
Znalez
ć dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru wartość siły przyciągania
kulombowskiego między elektronem i jądrem oraz natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez jądro w odległości równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity.
20.5.
Ile razy zwiększy się promień orbity elektronu w atomie wodoru będącego w stanie
podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii E½=12,09 eV ?
20.6.
W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwszą. Wyznaczyć zmianę
wartości pędu elektronu oraz zmianę jego energii kinetycznej przy tym przeskoku.
20.7.
Seria linii wodorowych z zakresu światła widzialnego (tzw. seria Balmera) powstaje przy
przejściu elektronu z wyższych orbit na drugą. Znalez
ć granice serii Balmera.
20.8.
Wykazać, że częstotliwość fali świetlnej emitowanej przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z n+1 na n-tą orbitę dąży, przy dużych n, do częstotliwości obiegu elektronu na
n-tej orbicie.
20.9.
Obliczyć minimalne liniowe rozmiary pozytonium oraz jego energię jonizacji. Pozytonium
jest układem złożonym z pozytonu i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy.
20.10.
Obliczyć wartość orbitalnego momentu magnetycznego elektronu w atomie wodoru w stanie
podstawowym.
RozwiÄ…zania:
20.1.R.
Korzystając z równań:
h mVn2 1 e2
mVnrn = n i = ,
2Ä„ rn 4Ä„µ0 rn2
gdzie:
m- masa elektronu,
rn- promień n-tej orbity,
Vn- prędkość elektronu na n-tej orbicie,
h- stała Plancka,
e- Å‚adunek elektronu,
µ0- przenikalność elektryczna próżni,
wyznaczamy:
µ0h2 e2 1
rn = n2 i Vn = .
Ä„ me2 2µ0h n
mVn2
Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej Ekn =
2
1 e2
i energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem Epn = - czyli
4Ä„µ0 rn
me4 1 Rhc me4
En = Ekn + Epn = - = - , gdzie R = = 1,09 Å"107 m-1.
2 2
8Ä„µ0 h2 n2 n2 8Ä„µ0 h3c
R - stała Rydberga.
20.2.R.
c Rhc Rhc
hÅ = h = En - Ek = - + .
2
 n2 k
1 1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= R + = R - ÷Å‚
ìÅ‚- .
÷Å‚ ìÅ‚
2 2
 n2 k k n2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
20.3.R.
Z poprzednich zadań mamy zależności:
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
(1) = R - ÷Å‚
ìÅ‚
2
 k n2
íÅ‚ Å‚Å‚
µ0h2
(2) rn = n2 .
Ä„ me2
Po wstawieniu n2 wyznaczonego z równania (1) do równania (2) mamy:
µ0 h2 R k2
rn = = 4,75 Å"10-10m..
Ä„ me2(R - k2)
20.4.R.
Ponieważ
1 e2 µ0h2 Ä„m2e6 1
Fn = oraz rn = n2 to Fn = .
3
4Ä„µ0 rn2 Ä„ m e2 4h4µ0 n4
F F
Natężenie pola elektrycznego E = = .
q e
Wynik obliczeń:
V F1 E1
F1 = 8,22 Å"10-8 N, E1 = 5,13Å"1011 oraz F2 = , E2 = .
m 24 24
20.5.R.
W wodorze, przy przejściu elektronu z orbity n-tej na pierwszą orbitę następuje emisja
kwantu o energii:
Rhc Rhc
EÅ = hÅ = En - E1 = - + .
n2 12
Rhc
Znając wartość energii kwantu można wyznaczyć wartość n : n = = 3 .
Rhc - EÅ
Elektron w procesie opisanym w zadaniu został wzbudzony na poziom trzeci.
µ0h2 rn r3
Ponieważ : rn = n2 i rn = r1n2 to = n2 i = 32 = 9 .
Ä„ me2 r1 r1
20.6.R.
nh
Z postulatu Bohra wynika: 2Ä„ mVnrn = n h i pn = .
2Ä„ rn
2
µ0h2 me2 1 pn me4
Ponieważ rn = n2 to pn = oraz Ekn = = .
2
Ä„ me2 2µ0h n 2m 8µ0 h2n2
Z powyższych zależności wynika, że:
me2 1 me2 3me4
ëÅ‚1- öÅ‚
"p = p1 - p2 = = oraz "E = E1 - E2 = .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2µ0h 2 4µ0h 32µ0 h2
íÅ‚ Å‚Å‚
20.7.R.
Przy przejściu elektronu z n-tej orbity na k-tą następuje emisja światła o długości spełniającej
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
równanie = R - ÷Å‚
. Dla serii Balmera k=2.
ìÅ‚
2
 k n2
íÅ‚ Å‚Å‚
Przy przejściu z n=3 na k=2 nastąpi emisja kwantu o najmniejszej energii (i największej
długości fali) w serii Balmera. Jest to długofalowa granica serii przy czym:
1 1 1 5
öÅ‚
= RëÅ‚ - ÷Å‚
= R czyli max = 660nm.
ìÅ‚
max. íÅ‚ 22 32 Å‚Å‚ 36
4
Krótkofalowa granica odpowiada przejściu z n = " na k=2 i wynosi min . = = 367nm .
R
20.8.R.
µ0h2 e2 1
Ponieważ rn = n2 i Vn = częstotliwość obiegu elektronu w atomie
Ä„ me2 2µ0h n
Vn me4 1 me4
wodoru jest równa: Ån = = Å" R = .
2 2
2Ä„rn 4µ0 h3 n3 8µ0 h3c
Przy przejściu elektronu z orbity n+1 na orbitę n następuje emisja kwantu o energii:
îÅ‚ Å‚Å‚
Rhc Rhc 1 1 n2 + 2n +1- n2
EÅ = hÅ = En+1 - En = - + czyli Å = RcïÅ‚ 2 - = Rc
śł
2 2
(n +1)2 n2
(n (n +1) n2
ðÅ‚n +1) ûÅ‚
2Rc
Dla n>>1 czÄ™stotliwość kwantu dąży do wartoÅ›ciÅn = co jest równe czÄ™stotliwoÅ›ci
n3
obiegu elektronu.
20.9.R.
Pozyton jest cząstką o masie równej masie elektronu. A
adunek pozytonu jest równy co do
wartoÅ›ci bezwzglÄ™dnej Å‚adunkowi elektronu i wynosi 1,6Å"10-19C.
Uwzględniając ruch elektronu i pozytonu wokół wspólnego środka masy wprowadzamy masę
zredukowanÄ… µ ukÅ‚adu elektron-pozyton:
1 1 1
= + gdzie me i mp odpowiednio masy elektronu i pozytonu.
µ me mp
Korzystając z układu równań:
2Ä„ µ Vnrn = nh
i
µ Vn2 e2
= ,
rn 4Ä„µ0rn2
przyjmując, że me=mp=m wyznaczamy
2µ0h2
rn = n2 .
Ä„ me2
2µ0h2
Minimalne rozmiary pozytonium określa promień pierwszej orbity: r1 = .
Ä„ me2
Energia wiÄ…zania pozytonium wynosi:
µ Vn2 e2 e2 me4
Ew = Ek + Ep = - = - = -
2 4Ä„µ rn 8Ä„µ rn 16µ02h2n2
0 0
me4
Energia jonizacji z poziomu pierwszego Ej = = 6,8eV .
16µ02h2
20.10.R.
Moment magnetyczny obwodu z prÄ…dem
µ = IS
I natężenie prądu jaki daje ruch elektronu po orbicie kołowej,
S powierzchnia obejmowaną przez ten obwód z prądem.
e
I = Tn  okres obiegu elektronu na n-tej orbicie
Tn
2Ä„ rn
Tn = S = Ä„ rn2
Vn
eVn
µn = Ä„ rn2
2Ä„ rn
eVnrn
µn =
2
eh
µn = n = µBn
4Ä„ m
µB=0,93 Å"10-23J/T -magneton Bohra.