Spis treści
X. FUNKCJE WYKA
ADNICZE I LOGARYTMICZNE....................................... 2
2. Definicja i wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych.*........................... 2
Posługiwanie się własnościami funkcji wykładniczych i logarytmicznych.*
..................................................................................................................... 2
Szkicowanie wykresów funkcji wykładniczych i logarytmicznych.*......... 11
Rozwiązywanie równań i nierówności oraz układów równań i
nierówności wykładniczych i logarytmicznych.*.......................................15
Dział: X. FUNKCJE WYKA
ADNICZE I LOGARYTMICZNE
Poddział: 2. Definicja i wykresy funkcji wykładniczych i
logarytmicznych.*
Wymaganie: posługiwanie się własnościami funkcji wykładniczych
i logarytmicznych. *
# Definicja #
x
f śą x źą=a
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: , gdzie
a "RƒÄ…
.
a "RƒÄ…"{1 }
W niektórych definicjach występuje następujące założenie: ,
a "RƒÄ…
a=1
zamiast takiego: . Jest tak, ponieważ dla funkcja jest stała.
Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy
D =R
x"R
następująco: lub .
f
PrzeciwdziedzinÄ… jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich: D-1=RƒÄ… .
f
Monotoniczność funkcji wykładniczej:
x
a "śą0 ;1źą
f śąxźą=a
Jeśli , to funkcja jest malejąca.
x
a=1 f śą xźą=a
Jeśli , to funkcja jest stała.
x
a "śą1 ;ƒÄ…"źą
f śą xźą=a
Jeśli , to funkcja jest rosnąca.
a`"1
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa (jeśli ).
# Definicja #
Logarytmem o podstawie a liczby b nazywamy taki wykładnik
a ,b"RƒÄ…
a`"1
potęgi , dla którego ad =b , gdzie oraz
ad
loga b
Oznaczamy: .
a`"1
Warunek , musi być spełniony, ponieważ jedynka podniesiona do
dowolnej potęgi da wynik 1. Nie można więc znalez
ć logarytmu o podstawie 1
liczby różnej od 1. Nie ma więc sensu zapisywać takiej podstawy.
Jeśli podstawą logarytmu jest liczba dziesięć, to przyjmuje się, że można
log b
pominąć tę podstawę i zapisać następująco: .
Jeśli podstawą logarytmu jest liczba e, to przyjmuje się,następujący zapis:
ln b
.
Występują następujące własności logarytmu:
loga a=1

loga 1=0

a

alog b=b
loga bc=cÅ"loga b
loga b=1Å"loga b
c
c
! Twierdzenie !
Sumą logarytmów liczb kolejno: b oraz c, o takich samych
podstawach nazywamy logarytm ich iloczynu o tej samej
podstawie.
loga bƒÄ…loga c=logabc
Zapiszmy to twierdzenie w formie wzoru: .
Oczywiście dla sumy większej liczby logarytmów także zachodzi to
loga bƒÄ…loga d ƒÄ…loga c=loga bdc
twierdzenie, np. .
! Twierdzenie !
Różnicą logarytmów liczb kolejno: b oraz c, o takich
samych podstawach nazywamy logarytm ich ilorazu o tej
samej podstawie.
loga b-loga c=loga b
Wzór będzie miał następującą postać: .
c
Wzór będzie analogiczny dla większej ilości logarytmów, np.
b
b d b
.
loga b-loga d -loga c=loga -loga c=loga =loga
d c dc
! Twierdzenie !
Zachodzi równość:
logcb
loga b=
logc a
Jest to bardzo użyteczny wzór na zamianę podstaw logarytmu.
Można z niego wyprowadzić kolejną równość:
! Twierdzenie !
Zachodzi równość:
-1
1
loga b= = logb a
śą źą
logb a
Wyprowadzenie:
logb b
-1
1
loga b= = = logb a
śą źą
logb a logba
# Definicja #
f śą xźą=loga x
FunkcjÄ… logarytmicznÄ… nazywamy funkcjÄ™ postaci: ,
a "RƒÄ…"{1 } x "RƒÄ…
gdzie , .
Monotoniczność funkcji logarytmicznej:
x
a "śą0 ;1źą
f śąxźą=a
Jeśli , to funkcja jest malejąca.
x
a "śą1 ;ƒÄ…"źą
f śą xźą=a
Jeśli , to funkcja jest rosnąca.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
D =RƒÄ…
czyli .
f
Przeciwdziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli
D-1=R .
f
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
Przykład I
PRZYKA
AD
Oblicz wartości logarytmów:
log3 3
1.
log4 16
2.
log9 27
3.
logćą2 4
4. ćą
log8 27
5.
2
6. logb b2
log aćą3
7.
aćą2
RozwiÄ…zanie.
log3 3
Przypadek pierwszy: .
log3 3=1
Oczywiście , ponieważ 31=3 .
log4 16
Przypadek drugi: .
log4 16=2
, ponieważ 42=16 .
log9 27
Przypadek trzeci: .
3 3
log9 27=log3 33= log33=
2
2 2
logćą2 4
Przypadek czwarty: ćą .
logćą2 4=logćą2 2=log 1 2=2 log2 2=2
ćą
2
2
8
Przypadek piÄ…ty: 2log 27 .
1Å"log 27
log 27
log8 27 3 log2 27
3
23
2 =2 =23 2 = 2 = 27=3
ćą ćą
Przypadek szósty: logb b2 .
logb b2=2 logb b=2
log aćą3
Przypadek siódmy: .
aćą2
ćą3Å"log a= 3
log aćą3=
a
2
aćą2 2 ćą
ćą
Przykład II
PRZYKA
AD
Mając dane wielkości:
log2 3H"1,585

log2 5H"2,322

log2 15
Oblicz .
RozwiÄ…zanie.
log2 15=log2śą3Å"5źą
Zauważmy, że .
Skorzystamy z twierdzenia o sumie dwóch logarytmów o takiej samej
loga bƒÄ…loga c=loga bc
podstawie, tj. .
Przekształcamy nasze wyrażenie i otrzymujemy:
log2 15=log2śą3Å"5źą=log2 3ƒÄ…log25=1,585ƒÄ…2,322=3,907
Przykład III
PRZYKA
AD
Mając dane wielkości:
log3 2H"0,631

log3 5H"1,465

Oblicz:
log3 4
1.
log3 40
2.
RozwiÄ…zanie.
log3 4
Przypadek pierwszy: .
Zauważamy, że:
log3 4=log3 22=2Å"log3 2=2Å"0,631=1,262
Mogliśmy też rozwiązać zdanie w następujący sposób:
log3 4=log3 22=log3śą2Å"2źą=log3 2ƒÄ…log3 2=2Å"log32=2Å"0,631=1,262
log3 40
Przypadek drugi: .
Przekształcamy:
log3 40=log3śą8Å"5źą=log3śą 23Å"5źą
Ponownie korzystamy z twierdzenia o sumie dwóch logarytmów o tej samej
loga bƒÄ…loga c=loga bc
podstawie, tj. .
log3śą 23Å"5źą=log3 23ƒÄ…log35=3Å"log3 2ƒÄ…log35=3Å"0,631ƒÄ…1,465=3,358
Przykład IV
PRZYKA
AD
Mając dane wielkości:
log5 2H"0,431

log5 3H"0,683

Oblicz:
log5 2
1.
3
log5 3
2.
2
RozwiÄ…zanie.
log5 2
Przypadek pierwszy: .
3
Korzystamy z twierdzenia o różnicy logarytmów o tej samej podstawie, tj.
loga b-loga c=loga b
.
c
Otrzymujemy:
log5 2=log5 2-log53=0,431-0,683=-0,252
3
log5 3
Przypadek drugi: .
2
Ponownie korzystamy z twierdzenia o różnicy logarytmów o tej samej
podstawie i otrzymujemy:
log5 3 =log5 3-log5 2=0,683-0,431=0,252
2
Mogliśmy też rozwiązać ten przykład na podstawie wyniku z pierwszego
przypadku, a mianowicie:
-1
log5 3 =log5 2 =śą-1źąÅ"log5 2 =śą-1źąÅ"0,252=-0,252
śą źą
2 3 3
Przykład V
PRZYKA
AD
Mając dane wielkości jak w poprzednim zadaniu, tj.:
log5 2H"0,431

log5 3H"0,683

Oblicz:
log5 4
1.
9
log5 4
2.
3
ćą
log5 2
3.
3
RozwiÄ…zanie.
log5 4
Przypadek pierwszy: .
9
Przekształcamy logarytm:
2
log5 4 =log5 2 =2Å"log5 2
śą źą
9 3 3
Korzystamy z twierdzenia o różnicy logarytmów o równej podstawie:
2Å"log5 2=2Å" log5 2-log53 =2Å"śą0,431-0,683źą=2Å"śą-0,252źą=-0,504
śą źą
3
log5 4
Przypadek drugi: .
3
Wykonujemy przekształcenia:
log5 4=log5 22
3 3
Korzystamy z twierdzenia o różnicy logarytmów o równej podstawie:
log5 22 =log5 22-log53=2Å"log5 2-log5 3=2Å"0,431-0,683=0,862-0,683=0,179
3
ćą
log5 2
Przypadek trzeci: .
3
Przekształcamy:
1
2
ćą
log5 2 =log5 2
3 3
Wykorzystujemy twierdzenie dotyczące różnicy logarytmów:
1
1
1Å"log 1Å"0,431-0,683=0,2155-0,683=-0,4675
log5 22 =log5 22-log53= 2-log5 3=
5
3 2 2
Przykład VI
PRZYKA
AD
Mając dane wielkości:
log3 2H"0,631

log3 5H"1,465

Oblicz:
log2 5
1.
log5 2
2.
RozwiÄ…zanie.
log2 5
Przypadek pierwszy: .
Korzystamy z przedstawionego twierdzenia mówiącego, że zachodzi równość:
logc b
loga b=
logc a
W naszym przypadku:
a=2
b=5
c=3
Podstawiamy i otrzymujemy:
log3 5
1,465
log2 5= = H"2,322
log3 2 0,631
log5 2
Przypadek drugi: .
Analogicznie jak w poprzednim przykładzie:
log3 2
0,631
log5 2= = H"0,431
log35 1,465
Mogliśmy też inaczej:
log2 2
1
log5 2= = H"0,431
log25 2,322
Dział: X. FUNKCJE WYKA
ADNICZE I LOGARYTMICZNE
Poddział: 2. Definicja i wykresy funkcji wykładniczych i
logarytmicznych.*
Wymaganie: szkicowanie wykresów funkcji wykładniczych i
logarytmicznych. *
Wykres funkcji wykładniczej y=ax ma następującą postać:
Wyróżniono tu 2 przypadki:
1. gdy 02. gdy 1Wykresy wszystkich funkcji wykładniczych przechodzą przez punkt (0 , 1) i
nigdy nie osiągają wartości 0  dążą do niej asymptotycznie:
ax xŚąƒÄ…"0
Śą
gdy 0x
a Śą 0
gdy 1x Śą-"
x
1
Wykres funkcji h śą x źą= jest symetryczny względem osi OY do wykresu
śą źą
a
x
funkcji f śą xźą=a .
y=loga x
Wykres funkcji logarytmicznej ma następującą postać:
Wyróżniono tu 2 przypadki:
1. gdy 02. gdy 1Wykresy wszystkich funkcji logarytmicznych przechodzÄ… przez punkt (1 , 0) i
dążą do plus nieskończoności oraz minus nieskończoności:
x
x
a Śą -" a Śą ƒÄ…"
gdy 0xŚąƒÄ…"
xŚą 0ƒÄ…
x x
a Śą ƒÄ…" a Śą -"
gdy 1x ŚąƒÄ…"
xŚą 0ƒÄ…
h śą xźą=log1 x=-loga x
Wykres funkcji jest symetryczny względem osi OX do
a
f śą x źą=loga x
wykresu funkcji. .
Wykresy funkcji logarytmicznych i wykładniczych rysujemy analogicznie jak
wykresy innych funkcji. Znajdujemy kilka punktów charakterystycznych i
łączymy je w sposób charakterystyczny dla danego typu funkcji.
Przykład I
PRZYKA
AD
Narysuj wykres funkcji y=2x .
RozwiÄ…zanie.
Znajdujemy kilka punktów charakterystycznych:
śą0 ,1źą
- punkt, przez który przechodzi wykres każdej funkcji wykładniczej
śą1 , 2źą x=1
- punkt dla argumentu : y=21=2
1 1
śą-1 , źą y=2-1=
x=-1
- punkt dla argumentu :
2 2
Przykład II
PRZYKA
AD
f śą x źą=log4 x
Narysuj wykres funkcji .
RozwiÄ…zanie.
Znajdujemy kilka punktów charakterystycznych:
śą1 , 0źą
- punkt, przez który przechodzi wykres każdej funkcji logarytmicznej
y=log4 4=1
śą4 ,1źą x=4
- punkt dla argumentu :
1 1
śą ,-1źą x= y=log4 1 =-1
- punkt dla argumentu :
4 4 4
Dział: X. FUNKCJE WYKA
ADNICZE I LOGARYTMICZNE
Poddział: 3. Proste równania i nierówności wykładnicze i
logarytmiczne.*
Wymaganie: rozwiązywanie równań i nierówności oraz układów
równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych. *
Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych jest
analogiczne do rozwiązywania innych tego typu zadań.
Rozwiązując równania należy zwrócić uwagę na następujące równości:
1. Pierwsza  dotycząca funkcji wykładniczych:
ax=c Ò! x=loga c
2. Druga  dotyczÄ…ca funkcji logarytmicznych:
loga x=bÒ! x=ab
Rozwiązując nierówności powinno się wziąć pod uwagę monotoniczność
x
loga x
funkcji a oraz uzależnioną od tego, do którego przedziału należy
a "śą0 ;1źą a "śą1 ;ƒÄ…"źą
liczba a: albo .
Układy równań/nierówności rozwiązujemy najpierw jako oddzielne
równania/nierówności, a następnie znajdujemy cześć wspólną rozwiązań.
Przykład I
PRZYKA
AD
Rozwiąż równania:
1. 5x=625
2. 32x=729
3.
22 x2=256
log2 x=5
4.
log2śą x-1źą2=8
5.
RozwiÄ…zanie.
Przypadek pierwszy: 5x=625 .
Ô! x=log5625=log554=4Å"log5 5=4 Ô! x=4
5x=625
Przypadek drugi: 32x=729 .
Ô! 2x=log3729=log3 36=6Å"log33=6 Ô! 2x=6 Ô! x=3
32x=729
Przypadek trzeci: .
22 x2=256
Ô! 2x2=log2 256=log2 28=8Å"log2 2=8 Ô! Ô! x=2 (" x=-2
22 x2=256 x2=4
log2 x=5
Przypadek czwarty: .
log2 x=5
Ô!
x=25=32
Przypadek piąty: log2śą x-1źą2=8 .
Ô!
log2śą x-1źą2=8
śą x-1źą2=28 Ô! x-1=24 (" x-1=-24 Ô!
Ô! x=17 (" x=-15
x=24ƒÄ…1 (" x=-24ƒÄ…1
Przykład II
PRZYKA
AD
Rozwiąż nierówności:
x2
1.
4 "Ä…256
2. log3śąxƒÄ…1źą2Ä…5
RozwiÄ…zanie.
x2
Przypadek pierwszy: .
4 "Ä…256
x2
4 "ą256 - logarytmujemy obydwie strony biorąc pod uwagę, że podstawą
4 "śą1;ƒÄ…"źą
logarytmu jest liczba 4 oraz , więc wraz ze wzrostem zmiennej x
wzrasta lewa strona nierówności  nie musimy więc odwracać znaku
nierówności
2
log4 4x "Ä…log4 256
x2"Ä…log4 44
x2"Ä…4Å"log4 4
x2"Ä…4
x"śą-2 , 2źą
Przypadek drugi: log3śą x ƒÄ…1źą2Ä…5 .
Szukamy argumentu x, dla którego speÅ‚niona jest równość log3śą x ƒÄ…1źą2=5 .
log3śą x ƒÄ…1źą2=5
śą xƒÄ…1źą2=35
xƒÄ…1= 35 (" xƒÄ…1=-ćą
35
ćą
5 5
2
x=32-1 (" x=-3 -1
Sprawdzamy, do którego przedziału należą argumenty x spełniające naszą
5 5 5 5
nierówność: śą-";-32-1źą , śą-32-1; 32-1źą , śą32-1 ;ƒÄ…"źą .
Aby to zrobić można podstawić po jednym argumencie z każdego z nich lub
zinterpretować własność nierówności. Posłużymy się tą drugą metodą. Lewa
strona nierównoÅ›ci log3śą xƒÄ…1źą2Ä…5 roÅ›nie wraz ze wzrostem śą xƒÄ…1źą2 . Po
przekroczeniu dostatecznie dużego argumentu x spełniona jest nierówność
log3śą x ƒÄ…1źą2Ä…5 . Analogicznie bÄ™dzie dla dostatecznie maÅ‚ego (ujemnego)
argumentu, ponieważ śą xƒÄ…1źą2 przyjmuje wartoÅ›ci nieujemne.
RozwiÄ…zanie:
5 5
2
x"śą-";-3 -1źą*"śą32-1;ƒÄ…"źą