UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6, Macierze. Wykorzystanie metody operacji elementarnych.
( Iloczyn macierzy, macierz odwrotna, struktura przestrzeni liniowej, układ równań )
1. Rozwiązać równania macierzowe:
1 3 1 1 -ð1 1 -ð 2 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
a) =ð
Ä™ð1 2Å›ð X =ð Ä™ð1 1Å›ð b) X Ä™ð Å›ð
3 -ð 4Å›ð Ä™ð 3 4
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do poniższych macierzy:
1 2 0 0 0 0 0 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð
6 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð2 3 0 0Å›ð Ä™ð0 0 2 0 Å›ð
Ä™ð0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
a) 1 2Å›ð b) c)
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 -ð1 1 3 1 0 0 0
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð0 3 5ûð
ëð0 1 0 2ûð ëð0 3 0 0 ûð
3. Korzystając z własności macierzy elementarnych obliczyć iloczyny macierzy:
1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ðéð Å‚ð
Ä™ð1 3 5 7Å›ðÄ™ð0 2 0 0Å›ð Ä™ð0 2 0 0Å›ðÄ™ð1 3 5 7Å›ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
a) b)
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
1 2 4 8 0 0 3 0 0 0 3 0 1 2 4 8
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
ëð1 1 1 1ûðëð0 0 0 2ûð ëð0 0 0 2ûðëð1 1 1 1ûð
1 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ðéð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð1 3 5 7Å›ðÄ™ð 1 1 0 0Å›ð
1 1 0 0Å›ðÄ™ð1 3 5 7Å›ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
c) d)
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
2 0 1 0 1 2 4 8 1 2 4 8 2 0 1 0
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
ëð-ð 3 0 0 1ûðëð1 1 1 1ûð ëð1 1 1 1ûðëð-ð 3 0 0 1ûð
4. Niech macierze A,B,C,D będą kwadratowymi macierzami nieosobliwymi. Wykazać, że
-ð1
A B éð Å‚ð
éð Å‚ð (A -ð BD-ð1C)-ð1 (C -ð DB-ð1A)-ð1
Ä™ð Å›ð
Ä™ðC DÅ›ð =ð AC D)-ð1 (D -ð CA-ð1B)-ð1
-ð1
ëð ûð
ëð(B -ð ûð
5. Znalez
ć przeciÄ™cie dwóch podprzestrzeni liniowych V1,V2 Ìð R5
3 0 -ð 5 5 1 3 0 -ð 3 1 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð
V1 =ð KerÄ™ð , V2 =ð KerÄ™ð
ëð2 1 -ð 3 2 -ð1Å›ð ëð1 -ð1 -ð 3 0 -ð1Å›ð
ûð ûð
6. Rozwiązać układ równań liniowych niejednorodnych:
x1 +ð 3x2 -ð 4x3 =ð 1 x1 +ð 3x2 -ð 4x3 =ð 1
a) 3x1 +ð 2x2 -ð x3 =ð 2 b) 3x1 +ð 2x2 -ð x3 =ð 2
-ð x1 -ð 2x2 +ð 3x3 =ð -ð1 2x1 -ð x2 +ð 3x3 =ð -ð1
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. a) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
AX =ð B (6.1)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech F oznacza m x m macierz elementarnÄ…, odpowiadajÄ…cÄ… operacji elementarnej na
óð
wektorach wierszowych, przeprowadzajÄ…cej m x n macierz A w m x n macierz A . Wtedy
óð
A =ð FA (6.2)
Pomnożenie obu stron równania (6.1) lewostronnie przez nieosobliwą macierz F sprowadza się
więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na wierszach obu macierzy A i B .
Wykonujemy ciÄ…g operacji elementarnych na wierszach obu macierzy A i B tak , aby
zredukować macierz A do możliwie najprostszej postaci:
w w w
1 3 1 3 1 0 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A =ð
Ä™ð1 2Å›ð ®ð Ä™ð0 -ð1Å›ð ®ð Ä™ð0 -ð1Å›ð ®ð Ä™ð0 1Å›ð =ð Aóð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
II -ð I I +ð 3II -ð II
w w w
1 1 1 1 1 1 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
B =ð
Ä™ð1 1Å›ð ®ð Ä™ð0 0Å›ð ®ð Ä™ð0 0Å›ð ®ð Ä™ð0 0Å›ð =ð Bóð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
II -ð I I +ð III -ð II
óð óð
sprowadzajÄ…c równanie AX =ð B do równoważnej mu postaci A X =ð B
1 0 1 1 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 1Å›ð X =ð Ä™ð0 0Å›ð skÄ…d X =ð Ä™ð0 0Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Uwaga. Równanie macierzowe AX =ð B stanowi sprytny zapis kilku równaÅ„ liniowych
niejednorodnych, o takiej samej części jednorodnej ( macierz A ), w których rolę
niewiadomych pełnią kolumny macierzy X a rolę wyrazów wolnych ( b ) kolumny
macierzy B : AX =ð B.,i .
.,i
b) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
XA =ð B (6.3)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech F oznacza m x m macierz elementarnÄ…, odpowiadajÄ…cÄ… operacji elementarnej na
óð
wektorach kolumnowych, przeprowadzajÄ…cej n x m macierz A w n x m macierz A . Wtedy
óð
A =ð AF (6.4)
Uwaga. Równania (6.3) i (6.4) stanowią transponowaną wersję równań (6.1) i (6.2)  zamiana
roli wierszy i kolumn dla odpowiednich macierzy.
Pomnożenie obu stron równania (6.1) prawostronnie przez nieosobliwą macierz F sprowadza
się więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na kolumnach obu macierzy A i B .
Wykonujemy ciÄ…g operacji elementarnych na kolumnach obu macierzy A i B tak , aby
zredukować macierz A do możliwie najprostszej postaci:
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
K K K K
-ð1 1 -ð1 0 -ð1 0 -ð1 0 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
óð
A =ð ®ð ®ð ®ð ®ð =ð A
Ä™ð
3 -ð 4Å›ð Ä™ð 3 -ð1Å›ð Ä™ð 0 -ð1Å›ð Ä™ð 0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
II +ð I I +ð 3II II(-ð1) I(-ð1)
K K K K
-ð 2 -ð1 -ð 2 -ð 3 -ð11 -ð 3 -ð11 3 11 3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
óð
B =ð ®ð ®ð ®ð ®ð =ð B
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð
3 4 3 7 24 7 24 -ð 7Å›ð Ä™ð 24 -ð 7Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð-ð ûð
II +ð I I +ð 3II II(-ð1) I(-ð1)
óð óð
sprowadzajÄ…c równanie XA =ð B do równoważnej mu postaci XA =ð B
1 0 11 3 11 3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
X skÄ…d X =ð
Ä™ð0 1Å›ð =ð Ä™ð Ä™ð
ëð ûð ëð-ð 24 -ð 7Å›ð ëð-ð 24 -ð 7Å›ð
ûð ûð
2. Aby wyznaczyć macierz odwrotnÄ… A-ð1 do macierzy A ( metodÄ… operacji elementarnych ) należy
skorzystać z następującego faktu:
Jeśli wykonamy równocześnie ciąg operacji elementarnych na kolumnach ( wierszach ) n x n
macierzy A i n x n macierzy jednostkowej I , o macierzach elementarnych F1, F2,..., Fk ,
óð óð
taki że A ®ð A =ð I , to wtedy I ®ð I =ð A-ð1 , przy czym
A-ð1 =ð F1F2...Fk - dla operacji kolumnowych, A-ð1 =ð Fk ...F2F1 - dla operacji wierszowych.
a)
6 0 0 K 6 0 0 K 6 0 0 K 6 0 0 K 1 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 Ä™ð0 1 0 Å›ð Ä™ð0 1 0 Å›ð Ä™ð0 Ä™ð0
A =ð 1 2Å›ð ®ð ®ð ®ð 1 0Å›ð ®ð 1 0Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Å›ð Å›ð
ëð0 3 5ûð III -ð 2II Ä™ð 3 -ð1ûð II +ð 3III Ä™ð 0 -ð1ûð III(-ð1) Ä™ð 0 1ûð I / 6 Ä™ð 0 1ûð
ëð0 ëð0 ëð0 Å›ð ëð0 Å›ð
1 0 0 K 1 0 0 K 1 0 0 K 1 0 0 K
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 1 0Å›ð ®ð Ä™ð0 1 -ð 2Å›ð ®ð Ä™ð0 -ð 5 -ð 2Å›ð ®ð Ä™ð0 -ð 5 2 Å›ð
®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Å›ð
ëð0 0 1ûð III -ð 2II Ä™ð 0 1 Å›ð II +ð III Ä™ð 3 1 Å›ð III(-ð1) Ä™ð 3 -ð1ûð I / 6
ëð0 ûð ëð0 ûð ëð0
1/ 6 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
®ð 0 -ð 5 2 =ð A-ð1
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 3 -ð1ûð
ëð
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
II +ð III , I -ð III , IV -ð 3III , II -ð 2I , IV / 2 II -ð IV, II(-ð1), I -ð II
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
I «ð IV, II «ð IV, II «ð III, I(-ð1), II / 2, IV / 3
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
-ð 3 2 0 0 0 0 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð
2 -ð1 0 0 0 0 0 1/ 3Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
a) A-ð1 =ð b) A-ð1 =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
8 -ð 9 / 2 1 -ð 3/ 2 0 1/ 2 0 0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð1 1/ 2 0 1/ 2 ûð ëð-ð1 0 0 0 ûð
3. a) i d) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech F oznacza m x m macierz elementarnÄ…, odpowiadajÄ…cÄ… operacji elementarnej na
óð
wektorach kolumnowych, przeprowadzajÄ…cej n x m macierz A w n x m macierz A .
óð
Wtedy A =ð AF .
Wystarczy zauważyć, że
1 0 0 0 1 0 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 2 0 0Å›ð Ä™ð
1 1 0 0Å›ð
k k k
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð FII (2)FIII (3)FIV (2) oraz =ð FIk FIk FIk
+ðII +ð2III -ð3IV
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 3 0 2 0 1 0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð0 0 0 2ûð ëð-ð 3 0 0 1ûð
StÄ…d ( operacje na kolumnach )
1 2 3 4 1 0 0 0 1 2 3 4 1 4 9 8
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 3 5 7Å›ðÄ™ð0 2 0 0Å›ð Ä™ð1 3 5 7Å›ð Ä™ð1 6 15 14Å›ð
k k k
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðFII (2)FIII (3)FIV (2) =ð Ä™ð Å›ð
a) =ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 2 4 8 0 0 3 0 1 2 4 8 1 4 12 16
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð1 1 1 1ûðëð0 0 0 2ûð ëð1 1 1 1ûð ëð1 2 3 2 ûð
1 2 3 4 1 0 0 0 1 2 3 4
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 3 5 7Å›ðÄ™ð 1 1 0 0Å›ð Ä™ð1 3 5 7Å›ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ðFIk FIk FIk =ð
=ð
+ðII +ð2III -ð3IV
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 2 4 8 2 0 1 0 1 2 4 8
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð1 1 1 1ûðëð-ð 3 0 0 1ûð ëð1 1 1 1ûð
d)
3 2 3 4 9 2 3 4 -ð 3 2 3 4
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð4 3 5 7Å›ð Ä™ð14 3 5 7Å›ð Ä™ð
-ð 7 3 5 7Å›ð
Ä™ð Å›ðFIk FIk =ð=ð Ä™ð Å›ðFIk =ð Ä™ð Å›ð
=ð
+ð3II -ð3IV -ð3IV
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
3 2 4 8 11 2 4 8 -ð13 2 4 8
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
4 1 1 1ûð 1 1 1 1ûð
ëð2 1 1 1ûð ëð ëð
b) i c) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech F oznacza m x m macierz elementarnÄ…, odpowiadajÄ…cÄ… operacji elementarnej na
óð
wektorach wierszowych, przeprowadzajÄ…cej m x n macierz A w m x n macierz A .
óð
Wtedy A =ð FA .
4
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
Wystarczy zauważyć, że
1 0 0 0 1 0 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 2 0 0Å›ð Ä™ð
1 1 0 0Å›ð w w w
w w w
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð FII (2)FIII (3)FIV (2) oraz =ð FII +ðI FIII +ð2I FIV -ð3I
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 3 0 2 0 1 0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð0 0 0 2ûð ëð-ð 3 0 0 1ûð
StÄ…d ( operacje na wierszach )
1 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 2 0 0Å›ðÄ™ð1 3 5 7Å›ð Ä™ð1 3 5 7Å›ð Ä™ð2 6 10 14Å›ð
w w w
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Å›ð Ä™ð Å›ð
b) =ð FII (2)FIII (3)FIV (2) Ä™ð =ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 3 0 1 2 4 8 1 2 4 8 3 6 12 24
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð0 0 0 2ûðëð1 1 1 1ûð ëð1 1 1 1ûð ëð2 2 2 2 ûð
1 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
1 1 0 0Å›ðÄ™ð1 3 5 7Å›ð w w w Ä™ð1 3 5 7Å›ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Å›ð
=ð FII +ðI FIII +ð2I FIV -ð3I Ä™ð =ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 0 1 0 1 2 4 8 1 2 4 8
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð 3 0 0 1ûðëð1 1 1 1ûð ëð1 1 1 1ûð
c)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 3 5 7 1 3 5 7 2 5 8 11
w w w
Å›ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð FII +ðI FIII +ð2I Ä™ð =ð FII +ðI Ä™ð =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 2 4 8 3 6 10 16 3 6 10 16
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð 2 -ð 5 -ð 8 -ð11ûð ëð-ð 2 -ð 5 -ð 8 -ð11ûð ëð-ð 2 -ð 5 -ð 8 -ð11ûð
4. Jeśli macierz kwadratowa M jest nieosobliwa to posiada ona jedyną macierz odwrotną
-ð1 -ð1 -ð1
M takÄ…, że MM =ð M M =ð I .
Wystarczy więc wykazać, że
éð Å‚ð A B I 0
(A -ð BD-ð1C)-ð1 (C -ð DB-ð1A)-ð1 éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð(B -ð AC -ð1D)-ð1 (D -ð CA-ð1B)-ð1 Å›ð
Ä™ðC DÅ›ð =ð Ä™ð0 I Å›ð
ëð ûð ëð ûð
ëð ûð
Mnożąc macierze blokowo otrzymuje się układ czterech równości macierzowych
(1) (A -ð BD-ð1C)-ð1 A +ð (C -ð DB-ð1A)-ð1C =ð I
(2) (A -ð BD-ð1C)-ð1 B +ð (C -ð DB-ð1A)-ð1 D =ð 0
-ð1
(3) (B -ð AC D)-ð1 A +ð (D -ð CA-ð1B)-ð1C =ð 0
-ð1
(4) (B -ð AC D)-ð1 B +ð (D -ð CA-ð1B)-ð1 D =ð I
Dowód równości (2): ( tak samo dla równości (3) )
Mnożąc lewÄ… stronÄ™ równoÅ›ci (2) prawostronnie przez macierz X =ð D-ð1(C -ð DB-ð1A)
oraz lewostronnie przez macierz Y =ð (A -ð BD-ð1C) otrzymujemy
5
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
XLY =ð (A -ð BD-ð1C)(A -ð BD-ð1C)-ð1 BD-ð1(C -ð DB-ð1A) +ð
+ð (A -ð BD-ð1C)(C -ð DB-ð1A)-ð1 DD-ð1(C -ð DB-ð1A) =ð
=ð BD-ð1(C -ð DB-ð1A) +ð (A -ð BD-ð1C) =ð BD-ð1C -ð BD-ð1DB-ð1A +ð A -ð BD-ð1C =ð 0
Ale macierze X i Y sÄ… nieosobliwe wiÄ™c L =ð 0 .
Dowód równości (1): (analogicznie dla równości (4 ) )
Z równoÅ›ci (2) wynika, że (A -ð BD-ð1C)-ð1 =ð -ð(C -ð DB-ð1A)-ð1 DB-ð1 . WstawiajÄ…c to do
lewej strony równości (1) otrzymujemy
L =ð -ð(C -ð DB-ð1A)-ð1 DB-ð1A +ð (C -ð DB-ð1A)-ð1C =ð (C -ð DB-ð1A)-ð1(-ðDB-ð1A +ð C) =ð I
5. Przecięcie podprzestrzeni liniowych V1,V2
Uwaga. PodprzestrzeÅ„ liniowÄ… V Ìð Rn można opisać na dwa zasadniczo różne sposoby.
Sposób 1. Jako jÄ…dro pewnego przeksztaÅ‚cenia liniowego o macierzy A : V =ð KerA.
Wówczas współrzÄ™dne wektorów x ÎðV speÅ‚niajÄ… jednorodny ukÅ‚ad
równań liniowych
Ax =ð 0 (6.5)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach normalnych do płaszczyzny V ( są nimi wektory wierszowe
macierzy A ).
Sposób 2. Jako obraz pewnego przeksztaÅ‚cenia liniowego o macierzy B : V =ð ImB.
Wówczas wektory x ÎðV sÄ… kombinacjami liniowymi wektorów
kolumnowych macierzy B ( równanie parametryczne płaszczyzny ):
x =ð lð1B×ð,1 +ð ... +ð lðk B×ð, k =ð Blð (6.6)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach stycznych do płaszczyzny V ( są nimi wektory kolumnowe
macierzy B ).
Obie podprzestrzenie przedstawione są jako jądra przekształceń liniowych:
V1 =ð KerA1 , V2 =ð KerA2 . Wówczas współrzÄ™dne wektorów x ÎðV1 ÇðV2 speÅ‚niajÄ…
jednoczeÅ›nie oba ukÅ‚ady równaÅ„ liniowych A1x =ð 0 i A2x =ð 0 . Należy rozwiÄ…zać te
równania i wynik przedstawić w postaci (6.6).
W tym przypadku współrzÄ™dne wektorów x ÎðV1 ÇðV2 speÅ‚niajÄ… ukÅ‚ad równaÅ„:
6
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
x1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
3 0 -ð 5 5 1
éð Å‚ðÄ™ð Å›ð Ä™ð0Å›ð
2
Ä™ð Å›ðÄ™ðx Å›ð Ä™ð Å›ð
2 1 -ð 3 2 -ð1
Ä™ð Å›ðÄ™ðx3 Å›ð =ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
3 0 -ð 3 1 -ð1
x4 Å›ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð1 -ð1 -ð 3 0 -ð1ûðÄ™ð Å›ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ðx5 ûð ëð ûð
ëð
Dokonując redukcji wierszowej ( kolejne operacje elementarne: ( na przykład )
II -ð IV , I «ð II , II «ð IV , II -ð I, III -ð 3I, IV -ð 3I, II(-ð1) , III +ð 2II , IV +ð 2II, III «ð IV,
IV -ð 3III, IV /(-ð2) ,
otrzymuje się równoważny układ równań:
x1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
1 2 0 2 0 x1 +ð 2x2 +ð 2x4 =ð 0
éð Å‚ðÄ™ð Å›ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ð0 3 3 2 1Å›ðÄ™ðx2 Å›ð Ä™ð Å›ð
3x2 +ð 3x3 +ð 2x4 +ð x5 =ð 0
Ä™ð Å›ðÄ™ðx3 Å›ð =ð Ä™ð0Å›ð
czyli
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð x3 +ð 3x4 +ð 3x5 =ð 0
0 0 1 3 3
x4 Å›ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ð Å›ð
5x4 +ð 4x5 =ð 0
ëð0 0 0 5 4ûðÄ™ð Å›ð Ä™ð0Å›ð
Ä™ðx5 ûð ëð ûð
ëð
Zbiór rozwiązań stanowi jednowymiarową podprzestrzeń liniową ( 4 liniowo niezależne
równania, 5 niewiadomych ). KÅ‚adÄ…c x4 =ð 4lð rozwiÄ…zujemy ukÅ‚ad równaÅ„ (od doÅ‚u do
góry):
x5 =ð -ð5lð , x4 =ð lð , x3 =ð 3lð , x2 =ð -ð4lð , x1 =ð 0
0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð
Ä™ð-ð 4Å›ð Ä™ð-ð 4Å›ð
Å›ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
StÄ…d: x =ð lð 3 , V1 ÇðV2 =ð áð 3 Å„ð , dimV1 ÇðV2 =ð 1
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
4 4
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð 5Å›ð Ä™ð-ð 5Å›ð
ëð ûð ëð ûð
6. Aby rozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ liniowych niejednorodnych Ax =ð b należy dokonać redukcji
wierszowej macierzy rozszerzonej ukÅ‚adu [Ab], wyzerowujÄ…c wszystkie elementy aij dla i >ð j .
1 3 -ð 4 x1 1
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
a) 3 2 -ð1Å›ðÄ™ðx2 Å›ð =ð 2
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
ëð-ð1 -ð 2 3 Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð ûð
ûðëðx3 ûð ëð-ð1Å›ð
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
7
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
éð 1 3 -ð 4 1 Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð3 Ä™ð0 Ä™ð0 1 -ð1 0 Å›ð
3 2 -ð1 2 ®ð 2 -ð1 2Å›ð ®ð -ð 7 11 -ð1Å›ð ®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð1 -ð 2 3 -ð1Å›ð III +ð I Ä™ð0 1 -ð1 0Å›ð II -ð 3I Ä™ð0 1 -ð1 0 Å›ð Ä™ð0
II «ð III -ð 7 11 -ð1Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð
Ä™ð0 1 -ð1 0 Å›ð
®ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð0
III +ð 7II 0 4 -ð1Å›ð
ëð ûð
otrzymuje się równoważny układ równań:
x1 +ð 3x2 -ð 4x3 =ð 1 -ð1
éð Å‚ð
1
Ä™ð Å›ð
x2 -ð x3 =ð 0 StÄ…d x3 =ð -ð1/ 4 , x2 =ð -ð1/ 4 , x1 =ð 3/ 4 czyli x =ð
Ä™ð-ð1Å›ð
4
Ä™ð Å›ð
4x3 =ð -ð1 3
ëð ûð
Uwaga: Macierz A jest nieosobliwa  układ jednorodny posiada jedynie zerowe rozwiązania.
1 3 -ð 4 x1 1
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð3 2 -ð1Å›ðÄ™ðx2 Å›ð Ä™ð Å›ð
b) =ð 2
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
ëð2 -ð1 3 Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð ûð
ûðëðx3 ûð ëð-ð1Å›ð
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð W éð1 3 -ð 4 1 Å‚ð
Ä™ð3 2 -ð1 2 Å›ð Ä™ð3 2 -ð1 2 Å›ð Ä™ð0 Ä™ð0 -ð 7 11 -ð1Å›ð
®ð ®ð -ð 7 11 -ð1Å›ð ®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð2 -ð1 3 -ð1Å›ð III -ð I Ä™ð0 -ð 7 11 -ð 3Å›ð II -ð 3I Ä™ð0 -ð 7 11 -ð 3Å›ð III -ð 2I Ä™ð0 0 0 -ð 2Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
otrzymuje się równoważny układ równań:
x1 +ð 3x2 -ð 4x3 =ð 1
-ð 7x2 +ð11x3 =ð -ð1 Jest to ukÅ‚ad sprzeczny - brak rozwiÄ…zaÅ„.
0 =ð -ð1
Uwaga: Rząd macierzy A jest równy 2, natomiast rząd macierzy rozszerzonej [Ab] wynosi 3.
8