Rezonans napięć i prądów I-20
Dr in\
. Dorota Nowak-Woz
ny
5. Rezonans napięć i prądów
Cel ćwiczenia:
" Wyznaczenie krzywej rezonansowej dla szeregowego i równoległego obwodu RLC.
Zagadnienia:
" Fizyczne podstawy zjawiska rezonansu.
" Mo\
liwości zastosowania zjawisk rezonansu w nauce i technice.
" Ró\
ne aspekty wykorzystania zjawiska rezonansu w energetyce (kompensacja mocy
biernej, rezonatory).
" Metodologia badania zjawiska rezonansu.
" Badanie zjawiska przepięcia i przetę\
enia podczas występowania rezonansu napięć i
prądów.
Uwaga! Przed przystąpieniem do ćwiczenia zapoznać się z dodatkiem pt.
"Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych".
Wprowadzenie:
Zjawisko rezonansu elektrycznego jest zjawiskiem bardzo istotnym i jest wykorzystywane
w wielu dziedzinach elektrotechniki i energetyki. Między innymi we wszelkiego rodzaju sze-
roko rozumianych odbiornikach radiowych do np. dostrajania odbiorników do częstotliwości
nośnej. W energetyce zjawisko rezonansu wykorzystuje się do kompensacji mocy biernej.
We współczesnej elektrotechnice bardzo istotne znaczenie ma zjawisko indukcji elektro-
magnetycznej zwane (od nazwiska jego odkrywcy) zjawiskiem Faraday'a. Polega ono na in-
dukowaniu siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym pod wpływem ruchu tego ob-
wodu w polu magnetycznym.
Wez
my obwód jak pokazany na rys. 5.1.
Wtedy
A
Rys. 5.1. Ilustracja zjawiska Faraday'a.
dÅš
•ind = -
dt
Rezonans napięć i prądów I-20
Indukowana SEM jest proporcjonalna do szybkości zmiany strumienia magnetycznego w da-
nym obwodzie. Znak minus związany jest z regułą Lenza, która mówi, \
e kierunek prÄ…du in-
dukowanego jest taki, \
e pole magnetyczne przezeń wywołane przeciwstawia się zmianę ze-
wnętrznego strumienia magnetycznego.
W przypadku cewki:
Åš = L Å" i ,
współczynnik proporcjonalności L zwany jest indukcyjnością cewki. Jego jednostką jest henr H
V
H = .
A
s
Dla cewki siła elektromotoryczna indukcji wyra\
a siÄ™ zale\
nością
di
•ind = -L .
dt
Prąd przemienny charakteryzuje się okresowo zmieniającymi się w czasie wartościami natę-
\
enia i kierunku prÄ…du. Wez
my przypadek prÄ…du sinusoidalnie zmiennego. Wtedy natÄ™\
enie i
napięcie prądu opisuje się zale\
nościami:
u = U0 sinÉt
i = I0 sin(Ét + Õ) ,
gdzie Õ jest przesuniÄ™cie fazowym miÄ™dzy natÄ™\
eniem i napięciem (faza początkowa).
Rezonans szeregowy RLC
W obwodach elektrycznych RLC następują kolejne przemiany energii pola elektrycznego
w energiÄ™ pola magnetycznego i odwrotnie.
W obwodach elektrycznych mo\
na wywołać drgania wymuszone. Wez
my obwód szere-
gowy zło\
ony z rezystora o oporze R, cewki indukcyjnej o indukcyjności L, kondensatora o
pojemności C oraz z
ródła sinusoidalnie zmiennego napięcia
• = •0 Å"sinÉt .
Na podstawie II prawa Kirchhoffa  suma czynnych w obwodzie siÅ‚ elektromotorycznych •,
•L równa siÄ™ sumie spadków napiÄ™cia uR, uC  mo\
na uło\
yć równanie:
uR + uC = U + •L
Korzystając z następujących praw i zale\
ności:
" prawa Ohma opisujÄ…cego spadek napiÄ™cia na rezystorze: uR = i Å" R ,
" prawa indukcji elektromagnetycznej Faraday a opisujÄ…cego zale\
ność siły elektromoto-
rycznej indukcji wÅ‚asnej •ind [V ] od zmiany strumienia magnetycznego w danym obwo-
dzie Åš [Wb]
 2 
Rezonans napięć i prądów I-20
dÅš
•ind = - .
dt
L
R
C
U
Rys. 5.2. Szeregowy obwód RLC.
W szczególności dla cewki siła elektromotoryczna zale\
y od natÄ™\
enia prÄ…du i [A] i indukcyj-
ności własnej obwodu zwanej tak\
e współczynnikiem indukcji własnej lub samoindukcji
1V
[L] = H = =1&! Å" s
1A s
di
•ind = -L .
dt
" zale\
ności pomiędzy pojemnością kondensatora a ładunkiem zgromadzonym na jego
Q dQ Q
+"i Å" dt
okładkach C = . Poniewa\
i = , stÄ…d uc = = .
uc dt C C
Otrzymujemy równanie:
di
+"idt
R Å" i + = U sinÉt - L .
0
C dt
Po zró\
niczkowaniu otrzymujemy:
di i d2i
R + = U É cosÉt - L
0
2
dt C dt
lub
d2i di i
L + R + = U0É cosÉt .
2
dt dt C
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy:
i = I0 sin(Ét + Õ) ,
 3 
Rezonans napięć i prądów I-20
1
- ÉL
ÉC
gdzie Õ = arctg ,
R
i
U0 U0
I0 = = . (*)
Z
1
R2 + (ÉL - )2
ÉC
Oznacza to, \
e po pewnym czasie od chwili podłączenia do obwodu RLC wymuszającej siły
elektromotorycznej U ustalony prÄ…d wymuszony w obwodzie:
" ma przebieg sinusoidalny o czÄ™stoÅ›ci É równej czÄ™stoÅ›ci wymuszajÄ…cej siÅ‚y elektromo-
torycznej U,
" wykazuje przesunięcie fazowe względem U,
" ma amplitudÄ™ zale\
ną od amplitudy i częstości wymuszającej siły elektromotorycznej, od
rezystancji, pojemności i indukcyjności elementów obwodu RLC (równanie*).
Dla staÅ‚ych wartoÅ›ci parametrów obwodu RLC, amplituda prÄ…du I0 w funkcji czÄ™stoÅ›ci É
wymuszającej siły elektromotorycznej U przedstawia się następująco:
Na zaprezentowanych krzywych mo\
na zauwa\
yć pewne prawidłowości:
" przy pewnej częstości zwanej częstością rezonansową obserwuje się maksima krzywych,
" maksima (wartość) te zale\
Ä… jedynie od rezystancji R,
Rys. 5.3. Zale\
ność amplitudy prądu wymuszonego w obwodzie RLC od częstości wymu-
szającej siły elektromotorycznej.
" częstość rezonansowa zale\
y od indukcyjności L i pojemności C.
Powróćmy do równania (*). Zastanówmy się kiedy wystąpi maksimum krzywej
I0 = f(U0, R, L, C, É)? Otó\
maksimum to występuje gdy mianownik równania (*) przyjmie
wartość minimalną czyli, gdy:
 4 
Rezonans napięć i prądów I-20
1
ÉL = warunek rezonansu w obwodzie RLC
ÉC
stÄ…d
1
Ér = .
LC
BiorÄ…c to pod uwagÄ™, w rezonansie:
U0
rez
I0 = .
R
Rezonans polega więc na gwałtownym wzroście amplitudy natę\
enia prÄ…du w obwodzie przy
zbli\
aniu się częstości do częstości rezonansowej  rezonans napięć.
Rezonans elektromagnetyczny mo\
e wystąpić podczas oddziaływania na siebie dwóch obwo-
dów RLC (sprzę\
enie indukcyjne lub pojemnościowe). Warunek rezonansu w tym przypadku
prowadzi do zale\
ności:
L1C1 = L2C2 .
C2
C1 C2
C1
C3
L1
L1 L2
L2
a) b)
Rys. 5.4. SprzÄ™\
enie indukcyjne (a) i pojemnościowe (b) dwóch obwodów RLC.
Rezonans szeregowy  rezonans napięć bo przy częstości rezonansowej amplitudy napięć na
cewce i kondensatorze są równe UR = UC podczas gdy fazy ich są przeciwne.
Straty energii w obwodzie RLC opisuje się za pomocą współczynnika dobroci Q:
E
Q = 2Ä„
"E
E  energia naładowanego kondensatora i pola magnetycznego cewki,
"E  energia rozproszona na oporniku R w ciągu jednego okresu w postaci ciepła.
StÄ…d
ÉrezL 1 Érez
Q = = =
R ÉrezCR "É
 5 
Rezonans napięć i prądów I-20
Irez
gdzie "É  szerokość krzywej rezonansowej dla I = .
2
Rezonans równoległy RLC.
Wez
my obwód pokazany na rysunku.
L
iL
C
iC
R
iR
i
u = U0sinwt
Rys. 5.5. Równoległy obwód RLC.
W przypadku obwodu przedstawionego na rys 5.5 korzystamy z I prawa Kirchhoffa.
i = iR + iL + iC .
Następnie rozwiązujemy odpowiednie równanie ró\
niczkowe.
AnalizÄ™ tego obwodu mo\
na tak\
e przeprowadzić wykorzystując prawo Ohma dla prądu
zmiennego oraz zapis prÄ…du w postaci liczb zespolonych:
i = I0ej(Ét +Õ )
u = U0ejÉt
1 1 1 1
= + +
1
Z jÉL R
jÉC
u
i = .
Z
 6 
Rezonans napięć i prądów I-20
Otrzymujemy, \
e amplituda prądu płynącego przez taki obwód I0 wyra\
a siÄ™ zale\
nością:
1 1
I0 = U0 ( )2 + (ÉC - )2
R ÉL
1
ÉC -
ÉL
Õ = arctg .
1
R
Przy rezonansie równoległym, inaczej zwanym rezonansem prądów, amplituda prądów osiąga
wartość minimalną:
U0
min
I0 =
R
dla
1
Érez = .
LC
Rys. 5.6. Zale\
ność amplitudy prądu od częstości dla obwodu równoległego.
Przebieg ćwiczenia:
Układ pomiarowy zbudowany jest z:
" generatora funkcyjnego będącego z
ródłem sygnału sinusoidalnego o regulowanej często-
tliwości  GF,
" elementów R, L i C połączonych w sposób szeregowy i równoległy,
" miliamperomierza  A,
" woltomierza  V,
 7 
Rezonans napięć i prądów I-20
" oscyloskopu dwukanałowego słu\
ącego do obserwacji przebiegu napięcia i natę\
enia prÄ…-
du oraz krzywych Lissajous  OII.
Gf
A
R
L
C
V
Rys. 5.7. Schemat układu pomiarowego do wyznaczenia rezonansu szeregowego.
Gf
A
L
C
R0
R
V
Rys. 5.8. Schemat układu pomiarowego do wyznaczenia rezonansu równoległego.
Zadania:
1. Zmontować układ pomiarowy do wyznaczenia rezonansu szeregowego.
2. Zmieniając częstotliwość sygnału wejściowego f (wartość napięcia zasilającego pozostaje
stała) mierzyć wartość natę\
enia prądu oraz spadku napięcia na kondensatorze.
3. Narysować przebieg krzywej rezonansowej.
4. Wyznaczyć graficznie częstotliwość rezonansową.
5. Obliczyć współczynnik dobroci obwodu.
6. Podłączyć układ do oscyloskopu zgodnie ze schematem.
7. Wyznaczyć zale\
ność przesuniÄ™cia fazowego Õ od czÄ™stotliwoÅ›ci.
 8 
Rezonans napięć i prądów I-20
8. Powtórzyć procedurę pomiarową dla rezonansu równoległego.
9. Wyniki pomiarowe przedstawić w tabelach.
10. Przeprowadzić analizę niepewności.
11. Rysunki sporządzić na papierze milimetrowym z naniesieniem niepewności pomiarowych.
12. Opracować wnioski kładąc główny nacisk na istotę zjawiska rezonansu oraz na dyskusję
niepewności pomiarowych.
Gf
R L C
y
x
O II
Rys. 5.9. Podłączenie obwodu szeregowego do oscyloskopu.
Gf
L
R0 C
R
y
x
O II
Rys. 5.10. Podłączenie obwodu równoległego do oscyloskopu.
Literatura:
Piekara A.H., Elektryczność i magnetyzm, rozdz. IV, PWN, Warszawa 1970.
Jaworski B., Dietłaf A., Miłkowska L., Kurs fizyki, t.II, PWN, Warszawa 1971.
Poradnik In\
yniera Elektryka, praca zbiorowa, WNT, Warszawa 1997.
ver 05/2010
 9