Tydzień nr 6-7 (28 marca - 11 kwietnia), rozpoczynamy analizę
funkcji wielu zmiennych - Matematyka II 2010/2011L
Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na [e-mail] lub do pozostałych prowadzących, info na
<"
http://www.fuw.edu.pl/ pmaj/.
Ciągłość i pochodna funkcji wielu zmiennych
Z wykładu wynieśliśmy informację o tym, że rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
jest nieco trudniejszy, niż rachunek funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Powodem tego jest
chociażby to, że do punktu na prostej możemy się zbliżać z dwóch stron  z prawej, bądz
z lewej
 a do do punktu w przestrzeni wymiaru dwa bÄ…dz
większego możemy zbliżać się po rozmaitych
Å‚ukach, spiralach, prostych i innych, znacznie dziwniejszych krzywych. W przypadku punktu
nieciągłości dla funkcji z możemy często zdefiniować pochodną prawo- i lewostronną. Celem
pierwszych kilku zadań będzie zrozumienie, że nieciągłość wygląda dużo gorzej w przypadku
funkcji wielu zmiennych. Ponadto, ćwiczenia pokażą Państwu, że istotnym, trudnym w nowy
2
sposób przypadkiem, są funkcje z do .
Na wykładzie poznaliśmy funkcję ciągłą Ś, określającą współrzędne biegunowe. Dalej będę
używał tego oznaczenia. Przypomnijmy,
2
Åš : [0, "[×[0, 2Ä„[- ,
takie, że
2
Åš : [0, "[×[0, 2Ä„[ (r, y) (x(r, Õ), y(r, Õ)) = (r cos Õ, r sin Õ) " .
Zadanie 1. Przypomnieć sobie poniższe tożsamości
a) cos(Ä… + ²) = cos Ä… cos ² - sin Ä… sin ²
b) sin(Ä… + ²) = cos Ä… sin ² + sin Ä… cos ²
Ä… Ä…
Jako szczególne przypadki obliczyć sin 2ą, cos 2ą, sin 3ą, cos 3ą, sin , cos . Wyprowadzić
2 2
jeden ze wzorów na sumÄ™ funkcji trygonometrycznych, np. cos Ä… + cos ².
Wskazówka: Skorzystać ze wzoru eią = cos ą + i sin ą
Zadanie 2. Obliczyć zÅ‚ożenia fi(Åš(r, Õ)) dla podanych fi:
2
a) f1 = ax2 + by2, f1 : ,
xy
2
b) f2 = , f2 : ,
x2+y2
x4-y4 2
c) f3 = , f3 : ,
x4+y4
îÅ‚ Å‚Å‚
x2 - y2
ïÅ‚
2 3
d) f4 = x2 + y2 śł , f4 : ,
ðÅ‚ ûÅ‚
2xy
xy2
2
e) f5 = , f5 : .
y3+x6
n n
Zadanie 3. Krzywa ł w to odwzorowanie ciągłe ł :]-1, 1[ . Dla użyteczności założymy,
2
że ł można różniczkować dowolnie wiele razy. Zdefiniujmy krzywe w , w bazie standardowej:

t
a) Å‚1(t) = ,
at

t
b) Å‚2(t) = ,
at2

at2
c) Å‚3(t) = ,
t

0
d) Å‚4(t) = ,
t

t
e) Å‚5(t) = .
0
Jakie wykresy odpowiadają tym krzywym? Obliczyć w każdym przypadku
lim(f5 ć% łi)(t).
t0
Proszę zauważyć, że złożenia funkcji z krzywą zawsze są funkcjami jednej zmiennej rzeczywistej!
Zadanie 4. Obliczyć pochodne funkcji fi z drugiego zadania.
Zadanie 5. Obliczyć pochodne złożeń fi ć% Ś z drugiego zadania. Czy warto to robić wprost?
Proszę skorzystać również ze wzoru na pochodną złożenia. Zysk jest taki, że można policzyć
pochodną Ś  raz na zawsze . Zauważyć, też, że wzór na złożenie wymusza na nas mnożenie
macierzy, często prostokątnych, a nie kwadratowych!
z
Zadanie 6. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f(x, y, z) = xy .
Zadanie 7. Obliczyć (F ć% G) wiedząc, że
3 5
2
F (x) = (x2, x3, x4) oraz G(x, y) = 2x2 + y .
Gradient. Geometria w biegunowym układzie współrzędnych.
Zadanie 8. Obliczyć wyrażenie na gradient funkcji dwóch zmiennych w układzie biegunowym i
walcowym. Zauważyć, że układ walcowy i biegunowy są bardzo podobne  trzecia współrzędna
przekształca się trywialnie. Proszę, w zgodzie z wykładem (wyklad4.pdf) znalez
ć macierz G
złożoną z iloczynów skalarnych nowych wektorów stycznych. Proszę zapisać gradient w układzie
biegunowym dla wybranych funkcji z poprzednich zadań.
3
Zadanie 9. Niech ¨ : [0, "[×[0, Ä„[×[0, 2Ä„[ bÄ™dzie dane wzorem
¨(r, ¸, Õ) := (r sin ¸ cos Õ, r sin ¸ sin Õ, r cos ¸).
3
Określa ono (po obcięciu dziedziny w odpowiedni sposób) układ sferyczny w . Obliczyć gra-
dient w tym układzie współrzędnych. Proszę zauważyć, że w obu zadaniach wektory styczne do
lini siatki sÄ… ortogonalne!
2xy
Zadanie 10. Obliczyć gradient funkcji f(x, y, z) = . Wyrazić go w układzie sferycznym
x2+y2+z2
i kartezjańskim.
2 2
Zadanie 11.(współrzędne paraboliczne) Zdefiniujmy Ą : - wzorem


1
Ä„(Ã, Ä) = ÃÄ, Ä2 - Ã2 .
2
2
OkreÅ›lić dla jakiego podzbioru otwartego O ‚" obciÄ™cie Ä„|O jest bijekcjÄ… na obraz, tzn. zadaje
krzywoliniowy ukÅ‚ad współrzÄ™dnych na obrazie. Wyrazić naturalne wektory bazowe pà oraz pÄ
poprzez wektory ex oraz ey. Znalez
ć macierz iloczynu skalarnego w bazie {pi}. Korzystając z
tego wyniku przedstawić gradient we współrzędnych parabolicznych.
3 3
Zadanie 12.*(trójwymiarowe współrzędne paraboliczne) Zdefiniujmy Ą : - wzorem


1
Ä„(Ã, Ä, Õ) = ÃÄ cos Õ, ÃÄ sin Õ, Ä2 - Ã2 .
2
3
OkreÅ›lić dla jakiego podzbioru otwartego O ‚" obciÄ™cie Ä„|O jest bijekcjÄ… na obraz, tzn. okreÅ›la
krzywoliniowy ukÅ‚ad współrzÄ™dnych na obrazie. Wyrazić naturalne wektory bazowe pÃ, pÄ oraz
pÕ poprzez wektory ex, ey oraz ez. Znalez
ć macierz iloczynu skalarnego w bazie {pi}. Korzystając
z tego wyniku przedstawić gradient w trójwymiarowych współrzędnych parabolicznych.
Udanej zabawy!