PRZESTRZENIE LINIOWE.

W dalszym ciągu symbolem K będziemy oznaczać ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych (K=R lub K=C) i nazywać niekiedy ciałem skalarów, a jego elementy skalarami.

Niech będzie dany niepusty zbiór V w którym określone jest działanie wewnętrzne +:V×V→V zwane dodawaniem oraz działanie zewnętrzne •:K×V→V zwane mnożeniem. Zbiór V z tak określonymi działaniami nazywamy przestrzenia liniową (lub wektorową) nad ciałem K, jeśli spełnione są warunki:

V wraz z działaniem + jest grupa abelową.

(rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów).

(rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów).

(łączność mnożenia).

.

Elementy przestrzeni V nazywać będziemy niekiedy wektorami.

Przestrzeń liniową nad ciałem R nazywać będziemy przestrzenią rzeczywistą.

Przestrzeń liniową nad ciałem C nazywać będziemy przestrzenią zespoloną.

Element neutralny grupy V z +, nazywamy zerem przestrzeni liniowej i będziemy oznaczać niekiedy symbolem Θ.

Uwaga. W przypadku, gdy nie będzie to prowadziło do nieporozumienia, będziemy pomijać znak mnożenia skalara przez wektor. Zapis α₁x₁+...+α_kx_k będziemy niekiedy zastępować zapisem: .

Sumę y= nazywamy liniową kombinacją elementów x₁,...,x_k o współczynnikach α₁,α₂,..., α_k (mówimy też, że y jest liniową kombinacją elementów x₁,...,x_k).

Mówimy, że wektory x₁,...,x_n∈V są liniowo niezależne, jeśli

Mówimy, że wektory x₁,...,x_n∈V są liniowo zależne, jeśli nie są liniowo niezależne, tzn.

.

Przykłady.

R jest przestrzenia liniową nad R (ze zwykłymi działaniami). W przestrzeni tej tylko układy jednoelementowe (złożone z wektora różnego od Θ) są liniowo niezależne.

C jest przestrzenią liniową nad R oraz nad C (ze zwykłymi działaniami).

R² jest przestrzenią liniową nad R, jeśli działania określimy następująco:

(x,y)+(t,z)=(x+t,y+z) α(x,y)=(αx,αy).

Przestrzeń tę można traktować, jako przestrzeń wektorów swobodnych płaszczyzny.

Wektory (1,0) i (0,1) są liniowo niezależne; wektory (1,1) oraz (-1,-1) są liniowo zależne.

Bazą przestrzeni wektorowej V nad ciałem K nazywamy taki układ wektorów x₁,...,x_n, że:

x₁,...,x_n są wektorami liniowo niezależnymi;

każdy wektor x∈V jest liniową kombinacją wektorów x₁,...,x_n, tzn.

.

TWIERDZENIE. Każde dwie bazy dowolnej przestrzeni wektorowej V mają tę samą ilość elementów.

Jeśli V={Θ}, to mówimy, że wymiar tej przestrzeni jest równy 0 i piszemy: dim(V)=0. Załóżmy zatem, że V≠{Θ}. Jeśli w przestrzeni istnieje skończony układ wektorów stanowiący bazę tej przestrzeni, to liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem tej przestrzeni i oznaczamy dim(V). Jeśli w przestrzeni V taki skończony układ nie istnieje, to mówimy, że przestrzeń ta jest nieskończenie wymiarowa i piszemy: dim(V)=∞.

Przykład. Przestrzeń R nad ciałem R ma wymiar 1, a przestrzeń R² nad ciałem R ma wymiar 2 (bazą jest np. układ wektorów (1,0) i (0,1) lub (1,5), (0,7)).

UWAGA. Z definicji bazy wynika, że jeśli x₁,...,x_n jest bazą tej przestrzeni oraz x∈V, to . Liczby α_i są wyznaczone jednoznacznie (dla elementu x), tzn. jeśli , to α_i=β_i (i=1,2,...). Liczby α₁,..., α_n nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie x₁,...,x_n.

Podzbiór W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli jest zamknięty ze względu na działania określone dla przestrzeni V, tzn.

.

Wówczas W jest przestrzenią liniową ze względu na działania przestrzeni V.

UIWAGA: Jeśli W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V (nad ciałem K), to W jest przestrzenia liniową (ze względu na działania określone w V), a zatem posiada bazę. Załóżmy, że jest to baza skończona w₁,w₂,...,w_n. Wówczas W jest generowana przez wektory w₁,w₂,...,w_n, tzn. W={α₁w₁+α₂w₂+...+α_nw_n: α₁,..., α_n∈K}. Fakt ten zapisujemy:

W=L(w₁,...,w_n).

Różnicą wektorów x,y∈V nazywamy sumę wektora x i wektora przeciwnego do y (w grupie V z +), tzn. x-y=x+(-y).

Hiperpłaszczyzną przechodzącą przez punkt x_o∈V i równoległą do podprzestrzeni liniowej U przestrzeni V nazywamy zbiór wektorów:

{x_o+x: x∈U}.

Wymiarem hiperpłaszyzny nazywamy wymiar podprzestrzeni U.

Hiperpłaszczyznę dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną (liniową), a hiperpłaszczyznę jednowymiarową - prostą (liniową). Prostą jest zatem każdy zbiór postaci: {x_o+tx: t∈R}. Uwaga: w przypadku, gdy V jest zbiorem wektorów swobodnych płaszczyzny, przestrzeni Rⁿ, jest to inny zapis parametrycznego równania prostej.

Odcinkiem łączącym punkt x∈V z punktem y∈V nazywamy zbiór

.

Punkty x i y noszą nazwę końców odcinka .

Zbiór A⊂V nazywamy wypukłym, jeżeli:

.

TWIERDZENIE. Iloczyn dwóch zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Dowód. Niech A,B⊂V będą zbiorami wypukłymi i niech x,y∈A∩B.

Skoro x,y∈A i A jest zbiorem wypukłym, więc ⊂ A.

Skoro x,y∈B i B jest zbiorem wypukłym, więc ⊂ B.

Tym samym ⊂ A∩B, co kończy dowód.

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi, nad wspólnym (takim samym dla obu przestrzeni) ciałem K. Funkcję f:U→V posiadającą własności:

(L₁) (addytywność);

(L₂) (jednorodność),

nazywamy funkcją liniową.

PRZESTRZENIE UNORMOWANE. PRZESTRZENIE BANACHA.

Normą w przestrzeni liniowej X nad ciałem K (=R lub =C) nazywamy funkcję przyporządkowującą każdemu elementowi x∈X liczbę rzeczywistą nieujemną ||x|| (nazywaną normą wektora x) z zachowaniem następujących warunków (aksjomaty normy):

(N₁) .

(N₂) (jednorodność).

(N₃) (subaddytywność).

Liczbę ||x|| nazywamy też długością wektora x.

Przestrzeń liniową X z określoną w niej normą nazywamy przestrzenią unormowaną (nad ciałem K).

Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną, przyjmując, że ρ(x,y)=||x-y||, dla dowolnych x,y ∈ X. Metrykę ρ nazywamy metryką wyznaczoną przez normę. Zbieżność ciągu {x_n} do punktu x_o oznacza, że lim_n→∞||x_n-x_o||=0.

TWIERDZENIE. Własności normy.

||x-y||=||y-x||;     ||x||-||y||≤||x-y||.

Zbieżność x_n→x_o implikuje ||x_n||→||x_o|| (ciągłość normy).

Dowód. Udowodnimy (a):

||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||=1 ||y-x||=||y-x||.

Zauważmy, ze x=(x-y)+y, więc ||x||≤||x-y||+||y||+||y||, więc

||x||-||y||≤||x-y||

Zmieniając miejscami x i y mamy:

||y||-||x||≤||x-y||,

czyli: ||x||-||y||≤||x-y||.

Wynika wprost z udowodnionej nierówności: ||x||-||y||≤||x-y||.

TWIERDZENIE. W przestrzeni unormowanej działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi, tzn.

Jeśli α_n →α_o, x_n→x_o, y_n→y_o, to (x_n+y_n)→(x_o+y_o) i (α_nx_n)→( α_ox_o).

TWIERDZENIE. W przestrzeni unormowanej kula otwarta jest zbiorem wypukłym.

Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna nazywamy przestrzenią Banacha.

Przykłady.

Przestrzenie R i C z normą ||x||=|x| są przestrzeniami Banacha.

FUNKCJE O WARTOŚCIACH W PRZESTRZENIACH UNORMOWANYCH.

Rozważmy zbiór wszystkich funkcji f:X→Y, gdzie X jest przestrzenią metryczną, a Y przestrzenią unormowaną (nad ciałem skalarów K). Przyjmijmy ponadto naturalne definicje sumy oraz iloczynu funkcji przez skalar:

(f+g)(x)=f(x)+g(x) (αf)(x)= αf(x) ,dla dowolnego x∈X;

utworzyliśmy nową przestrzeń liniową, której elementami są funkcje. W podobny sposób w przestrzeni tej możemy określić mnożenie funkcji i dzielenie funkcji (przez funkcję, która nie przyjmuje wartości 0):

(fg)(x)=f(x)g(x) (f/g)(x)=f(x)/g(x) ,dla dowolnego x∈X.

Jeśli założymy, że X jest przestrzenia zwartą, a rozważane funkcje są ciągłe , to w przestrzeni tej możemy wprowadzić normę:

||f||=sup_x∈X||f(x)||.

Przestrzeń tę będziemy oznaczać C(X,Y).

TWIERDZENIE. Jeśli Y jest przestrzenia Banacha, to C(X,Y) jest przestrzenią Banacha.

Zauważmy dodatkowo, że dla funkcji f:X→Y, gdzie X jest przestrzenią metryczną, a Y przestrzenią unormowaną zachodzą twierdzenia związane z ciągłością funkcji analogiczne, jak w przypadku funkcji przyjmujących wartości w R lub C.

TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f jest ciągła, to funkcja ||f|| też jest ciągła.

TWIERDZENIE.

Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x_o, to funkcje f+g, f-g, fg, f/g (ta ostatnia przy założeniu, że g(x)≠0, dla x∈X) są ciągłe w punkcie x_o.

Jeśli funkcje f i g są ciągłe to funkcje f+g, f-g, fg, f/g (ta ostatnia przy założeniu, że g(x)≠0, dla x∈X) również są ciągłe.

TWIERDZENIE. Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi. Funkcja liniowa f:X→Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Zbiór ciągłych przekształceń liniowych przestrzeni X w Y będziemy oznaczać symbolem L(X,Y).

---