Michał Piasecki 26.02.2007

Poniedziałek 14¹⁵

Ćw. 1

Temat: Wyznaczenie momentu bezwładności ciał metodą wahadła

fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera, wyznaczenie momentu bezwładności pręta, tarczy z otworami oraz pierścienia względem osi środkowej i osi obrotu. W tym ćwiczeniu badaliśmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół nieruchomej osi.

2. Wstęp teoretyczny:

Twierdzenie Steinera: różnica momentów bezwładności względem dwóch różnych równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy ciała, równa jest iloczynowi masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami

I-I_o = md²

Ruch drgający: każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym. Najprostszy rodzaj drgań okresowych są drgania harmoniczne.

Okres drgań harmonicznych: najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie.

Wahadło fizyczne: ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

Okres drgań harmonicznych [T] wahadła fizycznego można wyznaczyć korzystając ze wzoru:

Okres drgań harmonicznych nie zależy od kąta wychylenia α z położenia równowagi.

Moment bezwładności: wielkość dynamiczna wpływająca na przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego, zależna od wartości, jak i rozkładu przestrzennego masy obracającego się ciała.

m_ir_i - moment bezwładności i-tego punktu materialnego

r - promień obrotu

m - masa ciała

3. Wyniki pomiarów

3.1 Tarcza

Masa tarczy = 967,1 ± 10 [g] = 0,97 ± 0,01 [kg]

Ilość okresów mierzonych = 100

1. Pomiar dla 2d= 69,70 mm = 0,0697 m

t[s]	tsr[s]	 tsr[s]	Tsr [s]	Tsr[s]	δ Tsr [%]
63,30	63,55	0,15	0,636	0,008	1,26
63,86
63,56

Id [kg*m^2*10^-5]	 Id [kg*m^2*10^-5]	δ Id [%]	Io [kg*m^2*10^-5]	 Io [kg*m^2*10^-5]	δ Io [%]	C [m^2]	 C [m^2]
340	12	3,5	222	14	6,3	0,0905	0,0431

2. Pomiar dla 2d= 119,60 mm = 0,1196 m

t[s]	tsr[s]	 tsr[s]	Tsr [s]	Tsr[s]	δ Tsr [%]
61,38	61,49	0,15	0,615	0,008	1,30
61,61
61,49

Id [kg*m^2*10^-5]	 Id [kg*m^2*10^-5]	δ Id [%]	Io [kg*m^2*10^-5]	 Io [kg*m^2*10^-5]	δ Io [%]	C [m^2]	 C [m^2]
546	23	4,2	198	27	13,6	0,0808	0,0072

3. Pomiar dla 2d= 136,70 mm = 0,1367 m

t[s]	tsr[s]	 tsr[s]	Tsr [s]	Tsr[s]	δ Tsr [%]
64,21	64,52	0,15	0,645	0,008	1,24
64,81
64,54

Id [kg*m^2*10^-5]	 Id [kg*m^2*10^-5]	δ Id [%]	Io [kg*m^2*10^-5]	 Io [kg*m^2*10^-5]	δ Io [%]	C [m^2]	 C [m^2]
686	28	4,1	233	33	14,2	0,0948	0,0086

3.2 Pierścień

Masa pierścienia = 0,2202 ± 0,0003 [kg]

2r = 10,52 cm

2R = 12,00 cm

t[s]	tsr[s]	 tsr[s]	Tsr [s]	Tsr [s]	δ Tsr [%]	Id [kg*m^2*10^-5]	 Id [kg*m^2 *10^-5]	δ Id [%]	Io [kg*m^2*10^-5]	 Io [kg*m^2 *10^-5]	δ Io [%]	Iost [kg*m^2 *10^-5]	 Iost [kg*m^2 *10^-5]	δ Iost [%]
66,22	66,25	0,15	0,663	0,008	1,21	127	13	10,2	59	15	25,4	70	0,75	1,1
66,37
66,17

4. Przykładowe obliczenia i wzory:

a) Tarcza metalowa z otworami:

k - ilość pomiarów

T= t/n = 63,55 / 100 = 0,636 [s]

I₀=I_d-md²

I₀ =0,003-(0,97*(0,0349)²)=0,0022

b) Pierścień metalowy:

5. Wnioski:

W ćwiczeniu tym stwierdziliśmy poprawność twierdzenia Steinera. Z przeprowadzonego rozumowania wynika że okres drgań wahadła fizycznego zależy od momentu bezwładności wahadła. Otrzymaliśmy stosunkowo duże błędy pomiarów co tłumaczyć należy tym że pomiary zostały wykonane niedokładnie. Na tą niedokładność składają się zarówno błędy przyrządów jak i przede wszystkim czas reakcji osoby mierzącej czas. Na błąd ostatecznego wyniku duży wpływ miały również błędy poszczególnych wartości użytych we wzorach.

Z otrzymanych wyników widać wyraźnie że pomiary, które przeprowadziliśmy służyć mogą jedynie do celów doświadczalnych (tzn. do zaobserwowania twierdzenia Steinera oraz zapoznania się z ogólną metodą przeprowadzania badań). W celu otrzymania dokładnego wyniki należy posługiwać się wzorem tablicowych, który charakteryzuje się znacznie większą dokładnością.

---