ŹRÓDŁA I PODZIAŁ BŁĘDÓW

Pomiarem nazywamy czynności związane z ustaleniem wartości liczbowej miary danej wielkości fizycznej. Pomiary wykonujemy za pomocą narzędzi pomiarowych, na które składają się wzorce miar oraz przyrządy pomiarowe. Przyrządy pomiarowe możemy podzielić na: bezpośrednie, pozwalające odczytywać bezpośrednio miarę wielkości fizycznej oraz pośrednie, które nie dają wprawdzie bezpośrednio miary wielkości fizycznej, lecz pomiar umożliwiają. Ze względu na sposób pomiaru, wielkości fizyczne podzielić można na: proste i złożone.

Otrzymana w wyniku pomiaru miara wielkości fizycznej x różni się od prawdziwej miary x₀. Różnicę

x - x₀ = δ

nazywamy rzeczywistym błędem bezwzględnym wielkości mierzonej.

Ze względu na źródła, błędy podzielić można na:

1. błędy przyrządu pomiarowego,

2. błędy metody pomiarowej,

3. błędy powodowane niedokładnością zmysłów,

4. błędy powodowane statystycznym charakterem zjawiska.

Ze względu na sposób w jaki błędy wpływają na wynik pomiaru dzielimy je na:

1. Błędy systematyczne. Błędy systematyczne przy wielu pomiarach tej samej wielkości wykonanych w tych samych warunkach pozostają stałe zarówno co do wartości bezwzględnej, jak i znaku. Wraz ze zmianą warunków błąd systematyczny zmienia się według pewnej określonej zależności. Wśród przyczyn błędów systematycznych można wymienić między innymi: błąd wzorcowania miary, błąd atestowania, wpływ temperatury, ciśnienia, wilgotności, pól elektrycznego i magnetycznego itp., tarcie mechanizmów ruchomych przyrządu, bezwładność mechaniczną lub cieplną. Przyczyny błędów mogą tkwić w ułomnościach naszych zmysłów, np. subiektywna ocena jasności i barwy widzenia pirometru. Często spotykanym błędem jest odczyt położenia wskazówki pod dużym kątem (tzw. błąd paralaksy). Błąd może wynikać z zastosowania niepoprawnej metody pomiarowej, np. przez nieodpowiednie włączenie woltomierza o małej oporności.

2. Błędy przypadkowe. Mierząc wielokrotnie określoną wielkość dokładnym przyrządem można zauważyć rozrzut wyników, a różnice między kolejnymi wynikami pomiarów mogą nawet przekraczać błąd systematyczny. Każdy z takich pomiarów obarczony jest błędem przypadkowym. Przyczyną błędów przypadkowych nie jest zazwyczaj znana, nie można ich też wyeliminować, można natomiast określić ich wpływ na ostateczny wynik wielkości mierzonej.

3. Błędy grube lub pomyłki wynikające z niestaranności eksperymentatora. Może to być zły odczyt, pomyłka w zapisie (np. przestawienie kropki dziesiętnej), błędne przyjęcie stosowanego zakresu pomiarowego lub zmiana jednostek. Błędy grube można stosunkowo łatwo zauważyć i wyeliminować je.

Ze względu na sposób zapisu rozróżniamy błędy:

• Bezwzględne. Nazywamy nimi odchylenia wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej wyrażone w takich jednostkach jak wielkość mierzona. Błąd bezwzględny nie oddaje sam w pełni wartości wykonanego pomiaru.

• Względne. Błąd względny jest stosunkiem błędu względnego do wielkości mierzonej

• Procentowe. Zwykle oprócz wyniku pomiaru podaje się błąd procentowy, czyli błąd względny wyrażony w procentach np. t ± Δt = (8,4 ± 0,2) s, δ = 2,4%.

WARTOŚĆ ŚREDNIA I JEJ BŁĄD

Błąd pojedynczego pomiaru nie jest miarą dokładności danej metody pomiarowej. Jeśli wykonamy serię pomiarów x_i , to każdy z tych pomiarów jest obarczony jest innym błędem Δx_i . Jeśli liczba pomiarów jest wystarczająco duża to można sporządzić tzw. histogram błędów serii pomiarowej.

Wysokość słupków jest równa:

gdzie:

Δn - liczba wyników o wartości zawartej w przedziale < x, x + ε >,

ε - szerokość słupka (przedziału),

N - całkowita liczba pomiarów.

Jeśli liczba pomiarów będzie rosła do nieskończoności, a szerokość słupków będzie dążyć do zera to histogram przekształca się w krzywą rozkładu błędów, a ϕ w funkcję rozkładu:

gdzie : p(x, ε) jest prawdopodobieństwem tego, że wartość pomiaru x ∈ < x, x + ε >. Zwykle jawna postać krzywej rozkładu nie jest znana.

ODCHYLENIE STANDARDOWE

Rozkład normalny Gaussa jest teoretycznym rozkładem opartym na postulacie minimalizacji sumy kwadratów błędów poszczególnych pomiarów

Pierwsza pochodna tego wyrażenia musi się zerować więc

skąd

Oznacza to, że wartość średniej arytmetycznej serii n pomiarów spełnia postulat Gaussa. Odchylenia poszczególnych pomiarów od wartości średniej stanowią miarę wartości błędów przypadkowych.

Rozkład Gaussa opisany jest funkcją:

Parametr σ jest tzw. odchyleniem standardowym lub błędem średnim kwadratowym pojedynczego pomiaru:

Około 2/3 pomiarów (68,2%) mieści się w przedziale (-σ, +σ); w przedziale (-2σ, +2σ) zawartych jest 95,4% pomiarów, a przedział (-3σ, +3σ) obejmuje prawie wszystkie pomiary (99,7%).

W warunkach rzeczywistych mamy do czynienia zarówno z błędami przypadkowymi σ jak i z systematycznymi Δx₀ . Można wykazać, że błąd całkowity jest określony wyrażeniem:

BŁĄD PRZECIĘTNY I BŁĄD MAKSYMALNY

Poziom ufności określający względną liczbę wyników, które mieszczą się w przedziale:

Z poziomem ufności związany jest przedział ufności:

Wartość trzykrotnego błędu średniego kwadratowego 3⋅S_x nazywa się błędem maksymalnym.

Jeśli dla błędu średniego kwadratowego przyjmujemy:

gdzie h jest miarą precyzji pomiarów w funkcji rozkładu Gaussa, to tzw. błąd przeciętny określany wzorem:

BŁĄD WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ

W praktyce laboratoryjnej stawiane są bardziej złożone zadania, niż prosty pomiar czasu, częstotliwości czy też długości. Zazwyczaj celem jest wyznaczenie określonej wielkości fizycznej poprzez pomiar kilku innych wielkości fizycznych. W tych przypadkach wielkości pośrednie mierzymy zwykle jeden raz lub najwyżej kilkakrotnie, a błąd pomiarowy wynika z dokładności przyrządów, klas mierników lub jest to błąd maksymalny wartości średniej z krótkiej serii pomiarowej.

METODA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ

Jeśli przyjąć, że szukana wielkość jest funkcją kilku zmiennych:

y = f(x₁ , x₂ , . . . , x_n)

to różniczka zupełna przyjmuje postać:

Po zastąpieniu różniczek przyrostami skończonymi otrzymamy:

Przyrostom skończonym można przypisać sens fizyczny błędów (systematycznych, maksymalnych). Uwzględniając regułę dodawania błędów otrzymamy ostatecznie:

lub inaczej

Jeśli poszczególne wielkości wchodzące do naszej złożonej funkcji mierzymy wielokrotnie a następnie obliczamy odchylenia standardowe średniej, to wyrażenie na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej wielkości złożonej przyjmuje postać:

METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ

Jeżeli analizowane złożone wyrażenie jest iloczynem dowolnych potęg wielkości prostych, to po zlogarytmowaniu otrzymamy:

Różniczkując równanie otrzymujemy:

Jeśli poszczególne różniczki występujące w powyższym wyrażeniu potraktujemy jako błędy maksymalne i uwzględnimy najbardziej niekorzystną sytuację oraz zsumujemy błędy biorąc ich bezwzględne wartości, to błąd względny wyznaczania wielkości złożonej można wyliczyć za pomocą następującej zależności:

REGRESJA LINIOWA

W przypadku ścisłej zależności funkcyjnej pomiędzy zmiennymi z i y zachodzi jednoznaczne przyporządkowanie wartości zmiennej zależnej wartościom zmiennej niezależnej. Jeśli jednak wartości tych zmiennych uzyskane są na drodze doświadczalnej, to wskutek istnienia błędów zmienne te wykazują rozrzut wartości zgodnie z funkcjami rozkładów. Kreśląc te zależności otrzymamy punkty rozrzucone na pewnym obszarze. Można jednak zauważyć pewne prawidłowości rozrzutu tych punktów. Problem ten nazywa się ogólnie regresją.

Zagadnienia polegające na szukaniu zależności regresyjnej na podstawie znajomości funkcji rozkładu obydwu zmiennych nazywane są zagadnieniami regresyjnymi pierwszego rodzaju. Jeśli nie znamy tych funkcji, to problem regresji drugiego rodzaju sprowadza się do odnalezienia takich funkcji:

dobranych w ten sposób, że suma kwadratów odchyleń wartości zmierzonych od obliczonych na podstawie tych funkcji osiąga minimum:

W praktyce laboratoryjnej częstym przypadkiem jest liniowa funkcja regresji

Współczynniki regresji a i b znajdujemy metodą najmniejszych kwadratów poprzez minimalizację sumy kwadratów odchyleń. Warunek ten jest spełniony, jeśli pochodne cząstkowe wyrażenia:

będą się zerować:

Rozwiązujemy ten układ równań przy założeniach:

• x jest zmienną niezależną, a jej wartości zostały znalezione doświadczalnie,

• rozkład warunkowy zmiennej y jest rozkładem normalnym, a jej błąd jest niezależny od zmiennej x,

• błędy nie zależą od wartości zmiennych.

Oznaczając odchylenie

ε_i = y_i - ax_i - b

otrzymujemy następujące wyrażenia na współczynniki regresji:

i odchyleń standardowych:

4

---