WYKŁAD IX

Przestrzenie metryczne

Definicja 9.1. (metryka)

1)


nieujemność

2)


symetria

3)




nierówność trójkąta

4)

=0

“0”

Mówimy, że w zbiorze
została określona metryka

- przestrzeń metryczna

Przykład 9.1.

1)
Udowodnić, że tak określona funkcja jest metryką R

Dowód 1)

- nieujemność:
, co wynika z własności wartości bezwzględnej

- symetria:

- nierówność trójkąta:

- z własności wartości bezwzględnej

Zatem

- “0”:

2)
R²,

,

a) d(x,y) =
odległość euklidesowa

b)
(x,y)
|
| + |
| odległość taksówkowa

c)
(x,y)
max
odległość maksimum

Dowód 2) a)

- nieujemność:

,czyli

- symetria:

- nierówność trójkąta:

Nierówność Cauchy'ego:

=
=
=

n. Cauchy'ego

- „0”:

Liczba nieujemna jest równa liczbie niedodatniej wtedy i tylko wtedy, gdy obie są równe 0.

Dowód 2) b)

- nieujemność:
, z wł. wart. bezwzgl.

- symetria:

- nierówność trójkąta:

(z własności wartości bezwzględnej)

zatem

- „0”:

Liczba nieujemna jest równa liczbie niedodatniej wtedy i tylko wtedy, gdy obie są równe 0.

Dowód 2) c)

- nieujemność:
, co wynika z własności

wartości bezwzględnej

- symetria:

- nierówność trójkąta:

zatem
(*)

Analogicznie
(**)

(*) (**)

- „0”:

3)
R

a)

odległość euklidesowa

b)

(x,y)
odległość taksówkowa

c)


odległość maksimum

Dowód 3) a)

- nieujemność:
spełnione

- symetria:

- nierówność trójkąta:

Korzystamy z nierówności Schwarza:

Stąd mamy:

Zatem

„0”

Dowód 3) b)

- nieujemność:
- z własności wartości bezwzględnej

- symetria:

- nierówność trójkąta:

Zatem

- „0”:

Dowód 3) c)

- nieujemność:
, z własności wart. bezwzględnej

- symetria:

- nierówność trójkąta:

Zatem

- „0”:

Przykład 9.2.

d(x,y) =

Dowód:

- nieujemność:
, co wynika z określenia metryki

- symetria:

- nierówność trójkąta:

Zatem

- „0”:
, co wynika z określenia metryki

Odległość w iloczynie kartezjańskim dwóch przestrzeni metrycznych

Niech
- przestrzenie metryczne

a)
odległość taksówkowa

b)
odległość euklidesowa

c)
odległość maksimum

Definicja 9.2. (kula otwarta)

- przestrzeń metryczna

;

- Kula o środku x₀ i promieniu r

Przykład 9.3.

a) d - metryka euklidesowa

b)
- metryka taksówkowa

c)
- metryka maksimum

Definicja 9.3. (zbiór ograniczony)

Definicja 9.4. (zbiór otwarty)

- przestrzeń metryczna

Twierdzenie 9.1. (topologia w przestrzeni metrycznej)

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej:

gdzie: U
oznacza, że U jest zbiorem otwartym

1)

2)

- połączenie dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)

3)

-przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym

Dowód 1)

- z definicji

, bo
zawiera wszystkie swoje kule

Dowód 2)

Niech

,


bo

Dowód 3)

Niech

Wniosek:

Opracował:

Paweł Szczepaniec, gr. 5