Własności wyznaczników

1) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz ) złożoną z samych zer jest równy zero np.:

1 2 3 4

0 0 0 0

-1 2 4 5 = 0

• 3 1 2

2) Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (kolumny):

1 2 -3 1 -3 2

2 4 2 = - 2 2 4

0 1 2 0 2 1

3) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie kolumny (wiersze ) jednakowe jest równy zero;

1 -3 -3

1 4 4 = 0

5 2 2

4) Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy. np.:

3 6 9 1 2 3

4 -1 2 = 3 4 -1 2

3 -2 4 3 -2 4

2 4 8 1 2 3

-2 6 4 = 2³ -1 3 2

2 -4 10 1 - 2 5

5) Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się jeżeli dodamy do pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny)

1 -2 4 4 1 -2 2 4

2 -1 3 2 = 2 -1 2 2

4 -3 2 1 4 -3 -1 1

4 -1 1 1 4 -1 0 1

6) Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę

1 2 3 _x2 - 1 2 3

4 -2 3 = 2 2 9

4 0 2 4 0 4

MACIERZ ODWROTNA

Def:

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A^-1, która spełnia warunek A*A^-1=A^-1-A= Ι

Gdzie Ιjest macierzą jednostkową stopnia n

Def:

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy wyznacznik macierzy

A jest = 0. W przeciwnym przypadku (detA≠0) mówimy, że macierz A jest nieosobliwa

Twierdzenie:

1. Macierz kwadratowa jest odwrotna gdy jest nieosobliwa wyznacznik A≠0

2. Jeżeli macierz A =[A_ij] stopnia n jest nieosobliwa to :

A^*₁₁ A^*₁₂ ... A^*_1n

A^-1 = 1 A^*₂₁ A^*₂₂ ... A^*_2n

_DetA

A^*_m1 A^*_m2 ... A^*_mn

Gdzie A^*_ij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów a_ij macierzy A

Uwaga;

Macierz A^*_ij oznaczamy symbolem A^D i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych

A^-1 = 1

_DetA * (A^D)^T