Dr inż. Tadeusz SALAMONOWICZ

PODSTAWY EKSPLOATACJI TECHNICZNEJ

Semestr 6

2 godz. wykładu + 1 godz. ćwiczeń audytoryjnych

Zakres przedmiotu:

1. Eksploatacja: pojęcia, zakres zagadnień. System eksploatacji, proces eksploatacji.

2. Zmiany stanu technicznego obiektu: natura fizyczna, opis losowy (statystyczny). Niezawodność obiektów.

3. Modele niezawodności obiektów nienaprawialnych. Rodzaje uszkodzeń.

4. Struktury niezawodnościowe obiektów złożonych. Rezerwowanie.

5. Modele niezawodności obiektów naprawialnych. Procesy odnowy. Gotowość obiektów technicznych.

6. Rozpoznawanie stanu technicznego obiektu i jego elementów. Podstawy diagnostyki technicznej.

7. Wielostanowe procesy eksploatacji. Opis i miary.

8. Utrzymanie obiektów w gotowości technicznej: profilaktyka, wymiana, naprawa. Strategie eksploatacyjne.

9. Badania eksploatacyjne.

Literatura uzupełniająca:

1. Bobrowski D. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa, 1985,

2. Dwiliński L. Wstęp do teorii eksploatacji obiektu technicznego. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1991,

3. Kaźmierczak J. Eksploatacja systemów technicznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice, 2000,

4. Smalko Z. Podstawy eksploatacji technicznej pojazdów. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1998,

Zaliczenie przedmiotu:

Bez egzaminu,

2 kolokwia na ćwiczeniach - zadania,

2 kolokwia na wykładzie - materiał wykładowy.

Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.

Inaczej

Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że

w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.

Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.

Zmienną losową
charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla
:

• dystrybuanta
  ,

• gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
  ,

• funkcja niezawodności
  ,

• intensywność uszkodzeń
  ,

Dystrybuanta zmiennej losowej
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili

, dla

przy czym

Funkcja niezawodności
- prawdopodobieństwo, że do chwili
nie nastąpi uszkodzenie.

, dla

Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:

,

Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
jest pochodną dystrybuanty

dla

Intensywność uszkodzeń
definiuje się jako:

; dla

Oznaczamy:

- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.

Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:

- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.

Otrzymana granica jest lokalną (w chwili
) funkcją zawodności będącą warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
, pod warunkiem, że do chwili
uszkodzenie nie nastąpiło.

Oznaczamy ją
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.

Każda z czterech zdefiniowanych funkcji
,
,
,
w sposób jednoznaczny określa zmianę losową
, determinując tym samym postać pozostałych funkcji.

Poprzez dystrybuantę
wyrazić je można jako:

Poprzez gęstość
wyrazić je można jako:

Poprzez funkcję niezawodności
wyrazić je można jako:

Znając funkcję intensywności uszkodzeń
, w celu wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie różniczkowe:

o warunku początkowym

Równanie całkujemy obustronnie w granicach od
do

Wielkości znane Wielkości szukane	F(t)	f(t)	R(t)	(t)
F(t)	---
f(t)		---
R(t)			---
(t)				---

Wskaźniki liczbowe niezawodności

wartość oczekiwana

;

całkujemy przez części wg:

,

wariancja

po scałkowaniu przez części otrzymujemy:

,

Wielkość
oznacza średni czas życia obiektu,

a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
.

Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:

1. stała wartość dopuszczalna

2. zmienna wartość dopuszczalna

Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)

może nastąpić z prawdopodobieństwem

i nie nastąpić z prawdopodobieństwem
.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy
wymuszeniu?

Niech:

- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia

- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia

Wystąpienie uszkodzenia przy
wymuszeniu oznacza wystąpienie
wymuszeń, przy czym przy
uszkodzenie nie nastąpiło a przy
nastąpiło.

- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy
wymuszeniu

gdzie:

- prawdopodobieństwo zmiany przy
wymuszeniu

gdzie:

- czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą wymuszeń

Ponieważ:

stąd

rozkład geometryczny

+

=1

............................................

- czas trwania wymuszenia,

Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne uszkodzeniu w przedziale

gdzie

prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale
wynosi

Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:

- gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego

Niezawodność typu wykładniczego

Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową

o rozkładzie wykładniczym z parametrem
, a więc:

dla

dla

ostatnia równość zwana jest

wykładniczym prawem niezawodności

,

wykładnicze prawo niezawodności

Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu.

Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie
, zależy jedynie od długości przedziału
, nie zależy zaś od długości czasu
wcześniejszej pracy obiektu.

Rozkład jednostajny

dla

System o strukturze szeregowej

Jeżeli
wyrazimy przez
jako:

to:

Wartości
i
wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między

i

Przypadki szczególne

1) Niech zmienne losowe
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa

dla
,

Wszystkie elementy mają więc również jednakowe

dla
,

stąd

Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:

połączenie szeregowe
identycznych elementów zwiększa
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili

2) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....,
,

czyli:

3) Niech zmienne losowe
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze

System o strukturze równoległej

Przypadki szczególne

1. Niech zmienne losowe
   mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
   , wówczas:

2. Niech zmienne losowe
   maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
   , ....
   ,

wówczas:

korzystając z rozwinięcia funkcji
w szereg Maclaruina można przyjąć, że
,

czyli

3) Niech zmienne losowe
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
, wówczas:

Wyznaczamy dla tego przypadku

podstawiamy:

,

=

Który wariant jest korzystniejszy?

Krotność rezerwowania

dla

Rezerwa nieobciążona (zimna)

ale

W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
?

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

2. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
   , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale
   :

Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili
:

3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale

.

Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:

Który wariant jest korzystniejszy?

Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)

do chwili uszkodzenia elementu (1)

po chwili uszkodzenia elementu (1)

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

2. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
   , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
   :

Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym

rezerwa
nieobciążona
częściowo obciążona
obciążona

niech

	1	2	3	4	5
	1/2 b	2/3 b	3/4 b	4/5 b	5/6 b		b

Zależne uszkodzenia elementów

gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do

1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
:

2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
:

,
,

3. element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
   ,
   element (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

jeżeli:
;

;

,

;

;

- całkowity czas eksploatacji

- całkowity czas użytkowania,

- całkowity czas obsługiwania,
=

liczba przejść obiektu do danego stanu

W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:

,

W trójstanowym modelu procesu eksploatacji

- całkowity czas oczekiwania na użytkowanie,

- całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie,

Przypadek 1 Przypadek 2

- wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego

<1

- wskaźnik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego

<1

W czterostanowym modelu procesu eksploatacji:

jeżeli:
;

- intensywność eksploatacji

- intensywność użytkowania

- prędkość eksploatacyjna

- prędkość techniczna

- liczba urządzeń użytkowanych w chwili

- liczba urządzeń obsługiwanych w chwili

;
;

- chwilowy wskaźnik gotowości technicznej

W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych w ustalonych warunkach, można potraktować historię eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną historii eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale w dłuższym przedziale.

Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)

Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.

Ponieważ
to

dla rozkładu wykładniczego:

dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Oczekiwany pozostały czas zdatności

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności
pod warunkiem, że w chwili
obiekt jest zdatny.

Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:

podstawiamy:

stąd:
;

Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności
wyrazić poznane uprzednio charakterystyki funkcyjne niezawodności:

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu
wartość funkcji
ulega niewielkim zmianom i dąży do:

Dla rozkładu wykładniczego:

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że uszkodził się do chwili
:

inaczej:

Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1. czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu. Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania
   )

2. czas naprawy (odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.

ad. 1.

Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:

...............................

......................................................

Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem odnowy.

Zakładamy, że:

1) proces taki powtarza się nieograniczenie,

2)
są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą
,
i
dla wszystkich
są jednakowe i wynoszą:

,

Niech
będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych do chwili
.

Zdarzenie
jest równoważne zdarzeniu

Dystrybuantę
można wyznaczyć dla dowolnego
:

n=2

n=3

uogólniając
,.........

Wyznaczamy

P

zdarzenie
jest równoważne

zdarzenie
jest równoważne

+
1

Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia
uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń
. Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla
oznaczaną
i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.

Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:

ale
i

spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).

Funkcję
wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu
, wynosi ona
.

Przy pomocy
można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale

Badając proces odnowy przy
korzysta się z następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie
i skończonej wartości oczekiwanej
, to

Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi życia obiektu.

Twierdzenie 2 (Blackwella)

Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej
to dla
zachodzi:

Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości
zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia obiektu.

Twierdzenie 3 (Smitha)

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej
oraz wariancji
, to

stąd wzór przybliżony:

Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)

Zmienne
......oraz
..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach odpowiednio:

Utwórzmy zmienną losową
, gdzie:

,

,

,

, gdzie:

WYMIANA W USTALONYM WIEKU

;

gdzie:

- prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do chwili t,

- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach czasu o długości w,

- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się
w przedziale
;

- oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;

podstawiamy: t - nw = x

dt = dx

dla t = nw→x = 0

t = (n+1)w→x = w

gdyż:
dla x<1

C(w) - jednostkowy koszt utrzymania obiektu

a - koszt wymiany profilaktycznej

b - koszt naprawy

Zakładamy, że a < b

E(T_u) - oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)

1. Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.

2. Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności

3. Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa.

Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy
jest opisana zależnością:

gdzie:
- funkcja niezawodności elementu

Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie
wynosi:

Z wzoru określającego
wynikają następujące zależności:

,

Po podstawieniu do zależności wyrażającej
otrzymujemy:

Jeżeli stosunek
potraktujemy jako stopień odnowienia obiektu (stopień naprawy), to:

Logarytmując i następnie różniczkując stronami otrzymujemy:

i podstawiając
otrzymujemy zależność wyrażająca związek między funkcjami intensywności uszkodzeń
i
:

czyli

Można też współczynnik α przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów

gdzie:

---