Metoda PROMETHEE

Syntetyczny ranking obiektów można wyznaczyć używając metod dyskretnej optymalizacji wielokryteriowej. Popularną metodą jest postępowanie PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations) autorstwa prof. Bernarda Roy'a. W tabeli 1 przedstawiono problem poszukiwania syntetycznego rankingu obiektów w schemacie wielokryteriowym.

Tabela 1. Ranking obiektów w schemacie wielokryteriowym.

kryteria (k) mierniki ( ) kierunki i wagi obiekty (i)	(1) max	(2) min	. . .	(K) max
1			. . .
2			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
N			. . .

Źródło: opracowanie własne

Postępowanie w metodzie PROMETHEE prowadzące do wyznaczenia syntetycznego rankingu wielokryteriowego można ująć w 5 etapach:

1. wyznaczenie funkcji preferencji dla wszystkich par obiektów w każdym z kryteriów,

2. wyznaczenie indywidualnych indeksów preferencji dla wszystkich par obiektów w każdym z kryteriów,

3. wyznaczenie wielokryteriowych indeksów preferencji dla wszystkich par obiektów,

4. wyznaczenie przepływów dominacji (wyjścia, wejścia i netto) dla każdego z obiektów oraz

5. wyznaczenie rankingu obiektów na podstawie przepływów dominacji netto.

[Etap 1] Niemalejąca funkcja preferencji
służy do porównania par obiektów i oraz j w ramach kryterium
. Dla dowolnej pary obiektów
najwygodniejszą funkcją preferencji w ramach kryterium
jest różnica pomiędzy wartościami tej miary dla obiektu i oraz obiektu j. Funkcja preferencji ma postać:

(1)

[Etap 2] Indywidualny indeks preferencji
, podobnie jak funkcje preferencji, wylicza się dla każdej pary obiektów
w ramach pojedynczego kryterium
. Proces wyznaczania takich indeksów wymaga posiłkowania się tzw. kryteriami uogólnionymi. W metodzie PROMETHEE rozważa się sześć typów uogólnionych kryteriów (generalized criterion), które są definiowane za pomocą funkcji preferencji
. Uogólnione kryteria pozwalają normować relacje pomiędzy obiektami tak, aby możliwe było jednoczesne porównywanie preferencji par obiektów dla wszystkich kryteriów. Graficzną ilustrację uogólnionych kryteriów pokazano na rys.1. Podstawowe kryteria uogólnione to:

1. Zwykłe kryterium (usual criterion). W tym kryterium stwierdza się tylko, że obiekty i oraz j są obojętne względem siebie lub obiekt i dominuje nad obiektem j w sposób ścisły.

(2)

2. Quasi kryterium (quasi criterion). Podobnie jak w kryterium zwykłym i tutaj stwierdza się tylko, że obiekty i oraz j są obojętne względem siebie lub obiekt i dominuje nad obiektem j. Odmienność polega na przesunięciu progu obojętności z poziomu zerowego na pewien poziom q
   powyżej którego występuje dopiero ścisła dominacja obiektu i nad obiektem j. Wielkość q nazywana jest wskaźnikiem obojętności.

3. 
   

3. Kryterium z liniową preferencją (criterion with linear preference). W tym kryterium wartość indeksu preferencji obiektu i względem obiektu j rośnie liniowo wraz ze wzrostem wartości funkcji preferencji
   . Trwa to tak długo, dopóki wartość funkcji preferencji
   nie przekroczy pewnego poziomu p
   powyżej którego występuje dopiero ścisła dominacja obiektu i nad obiektem j. Wielkość p nazywana jest wskaźnikiem preferencji.

(4)

4. Kryterium poziomu (level criterion). Kryterium to wykorzystuje oba wskaźniki: wskaźnik obojętności q oraz wskaźnik preferencji p
   . Dla wartości funkcji preferencji powyżej poziomu p występuje ścisła preferencja obiektu i względem obiektu j. Dla wartości nie przekraczającej poziomu q mamy do czynienia z obojętnością względem siebie obu obiektów. W przypadku gdy wartość funkcji preferencji
   znajduje się w przedziale
   mamy do czynienia ze słabą preferencją obiektu i względem obiektu j.

(5)

5. Kryterium z liniową preferencją i obszarem obojętności (criterion with linear preference and indefference area). Jest to kryterium bardzo podobne do poprzedniego (kryterium poziomu). Różnica sprowadza się do odmiennego wyliczania indeksu preferencji
   w przedziale
   . Indeksy preferencji wyliczane są tutaj liniowo względem wartości funkcji preferencji
   .

(6)

6. Kryterium Gaussa (Gaussian criterion). Dla pary obiektów i oraz j indywidualny indeks preferencji w ramach kryterium
   liczony według uogólnionego kryterium Gaussa ma postać pokazaną we wzorze (7). Występująca we wzorze (7) jest odchyleniem standardowym, które można wyliczyć empirycznie z wartości miary
   dla każdego z N obiektów. Za wyborem kryterium Gaussa mogą przemawiać dwa powody. Po pierwsze nie musimy określać obszarów obojętności, co wiązałoby się z podaniem wartości progowych dla funkcji preferencji. Po drugie, dla średnich wartości funkcji preferencji
   indeks preferencji
   reaguje w przybliżeniu liniowo oddając prawie proporcjonalnie zależności dla różnych par obiektów. Natomiast w ramach bardzo dużych wartości funkcji preferencji indeksy preferencji są zbliżone do siebie. Podobnie ma się rzecz w przypadku bardzo małych różnic - również tutaj indeksy preferencji są do siebie zbliżone.

7. 
   

(a), ... ,(f) odpowiadają oznaczeniom kryteriów uogólnionych

Rys. 1. Ilustracja podstawowych kryteriów uogólnionych metody PROMETHEE

[Etap 3] Wielokryteriowy indeks preferencji dla pary obiektów
wylicza się jako średnią ważoną z indywidualnych indeksów preferencji

(8)

[Etap 4] Przepływ dominacji dla obiektu i jest trojakiego rodzaju.

1. Przepływ dominacji wyjścia. Wartość ta informuje o rozmiarach dominacji obiektu i nad wszystkimi pozostałymi obiektami

(9)

2. Przepływ dominacji wejścia. Ta z kolei wartość informuje o rozmiarach dominacji wszystkich pozostałych obiektów nad obiektem i

(10)

3. Przepływ dominacji netto, który stanowi różnicę pomiędzy przepływem dominacji wyjścia
i przepływem dominacji wejścia
. Wartość przepływu netto
informuje o wielkości oraz charakterze dominacji obiektu i względem pozostałych
obiektów. Dodatnia wartość przepływu netto oznacza, że obiekt i jest w grupie obiektów dominujących. Ujemna zaś, że w grupie obiektów zdominowanych.

(11)

[Etap 5] Ranking obiektów uzyskujemy porządkując obiekty według malejących wartości przepływów dominacji netto.

3

2

D.M.Miszczyńscy, KBO UŁ, (2004) Wielokryteriowa optymalizacja dyskretna; metoda PROMETHEE - opis postępowania

D.Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ, (2004) Wielokryteriowa optymalizacja dyskretna; metoda PROMETHEE - opis postępowania