W-9

Ruch w centralnym Polu grawitacyjnym

(15_22/04)

Skrypt, s.34 - 42

1. Oddziaływania grawitacyjne

Oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas punktowych ma charakter przyciągający:

Siła wzajemnego przyciągania jest proporcjonalna do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości

W przypadku oddziaływania wybranego ciała z innymi ciałami, można mówić o polu grawitacyjnym, dla którego obowiązuje zasada superpozycji:

Pole grawitacyjne jest złożeniem (superpozycją) pól pochodzących od poszczególnych źródeł traktowanych jako niezależne

Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym.

Można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej ciała M w polu grawitacyjnym wytworzonym przez inne ciała.

2. Pole grawitacyjne

Można charakteryzować przy pomocy wielkości wektorowej:

natężenia pola grawitacyjnego

Lub wielkości skalarnej

potencjału pola grawitacyjnego

3. Centralne pole grawitacyjne

Z zasady superpozycji oraz z właściwości oddziaływań grawitacyjnych wynika, że Jednorodna kula o masie M i promieniu R wytwarza centralne pole grawitacyjne

Na zewnątrz, tak jakby całkowita jej masa była skoncentrowana w środku

Wewnątrz, tak jakby (patrz zadanie 9 lista III)

4. Zachowane wielkości

W centralnym polu grawitacyjnym zachowane są:

Energia

Moment pędu

5. Rozwiązanie zagadnienia ruchu w centralnym polu grawitacyjnym

Z zachowania momentu pędu wynika, że w centralnym polu grawitacyjny, ruch (tzw. masy próbnej - test mass) odbywa się w płaszczyźnie.

Z zachowania energii wynika , że zagadnienie ruchu można w tym przypadku sprowadzić do równania różniczkowego pierwszego rzędu.

Ruch masy próbnej odbywa się w polu tzw. efektywnej energii potencjalnej. Stąd, mamy do czynienia z ruchem

1. skończonym (finitnym) - wzdłuż elipsy (w szczególnym przypadku (okręgu)

2. nieograniczonym (infinitnym) - wzdłuż hiperboli (w szczególnym przypadku paraboli)

6. Prawa Keplera

Ruch w centralnym polu grawitacyjnym można opisać korzystając z trzech praw (fenomenologicznych) Keplera

1. Ruch planet w układzie Słonecznym odbywa się wzdłuż elipsy; Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

2. Prędkość polowa
   jest stała

3. Iloraz kwadratów okresu obiegu dwóch różnych planet jest równy sześcianowi stosunku długości ich wielkich półosi.

7. Prawa Keplera można wyprowadzić z rozwiązania zagadnienia ruchu w polu siły centralnej