8. Stałe pole elektryczne

Ciała występujące w przyrodzie obdarzone są takimi cechami statycznymi jak masa, objętość, ładunek elektryczny. Pierwsza z nich związana jest z występowaniem pola grawitacyjnego a ostatnia pola elektrostatycznego. W polu grawitacyjnym mieliśmy do czynienia z zasadą zachowania energii-masy. Podobnie w polu elektrostatycznym będziemy obowiązywać zasada zachowania ładunku elektrycznego. W najprostszej postaci mówi ona, że w układzie izolowanym suma skalarna ładunków elektrycznych zawartych w nim ciał jest stała. Oznacza to, że ładunki elektryczne (podobnie jak materia rozumiana jako suma masy i energii) nie mogą ani powstawać ani znikać samoistnie. Choć istnieje zjawisko kreacji par ładunków o przeciwnych znakach z fotonów elektrycznie obojętnych to i to zjawisko jest podporządkowane powyższej zasadzie zachowania ładunku elektrycznego.

Pole elektrostatyczne, podobnie jak pole grawitacyjne jest jednym z tzw. pól oddziaływań. Pole takie charakteryzuje się występowaniem pewnej własności. Cechą taką w przypadku pola grawitacyjnego jest występowanie siły, której wartość jest wprost proporcjonalna do wartości masy próbnika (ciała dostatecznie małego aby nie zakłócać pola wytworzonego przez źródło). W przypadku pola elektrostatycznego próbnik musi posiadać niezerowy ładunek wypadkowy, a siła występująca w tym polu jest wprost proporcjonalna do wartości tego ładunku i zmienia znak na przeciwny przy zmianie znaku ładunku próbnika. Można to symbolicznie zapisać:

1.  ∼ q

2. q → -q ⇒ → - .

• prawo Coulomba

Dla ładunków punktowych obowiązuje prawo Coulomba:

,

gdzie: oznacza wersor (wektor jednostkowy) skierowany od źródła pola Q do przedmiotu q.

Rys. 38 Siła elektrostatyczna działająca ze strony źródła Q⁺ na próbnik dodatni q⁺ w odległości r

• zasada superpozycji pól

W przypadku, gdy źródło można podzielić na ładunki punktowe, wypadkowa siłę liczymy sumując wektorowo (!) siły działające na próbnik z ładunkiem i pochodzące od poszczególnych ładunków punktowych źródła Q_i.

Siła ta jest ściśle uzależniona od ładunku przedmiotu umieszczonego w polu elektrycznym i będziemy ją traktować jako wektorową cechę tego przedmiotu.

• opis skalarny i wektorowy pola elektrostatycznego

Aby wprowadzić wektorową cechę pola elektrostatycznego niezbędne jest określenie wielkości wektorowej niezależnej od q. W tym celu definiujemy „natężenie pola elektrostatycznego :

.

jest więc wielkością wektorową opisującą pole elektrostatyczne.

Jednostką natężenia pola elektrostatycznego jest 1N/1C.

[E] = 1N / 1C

Dla źródła punktowego odpowiedni wzór określający natężenie w odległości r od niego ma postać:

.

Podobnie jak w przypadku sił działających w tym polu stosujemy przy wielu źródłach zasadę superpozycji. Mówi ona, że wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego (wypadkowa siła) jest równe wektorowej sumie natężeń (sił) pochodzących od poszczególnych źródeł.

• praca w polu elektrostatycznym, potencjał

Podobnie jak w polu grawitacyjnym występuje w polu elektrostatycznym energia potencjalna i potencjał. Założymy, że różnica energii potencjalnej ładunku q przy przemieszczeniu go z odległości r_A do odległości r_B od źródła (jak na poniższym rysunku) jest równa pracy W_A>B siły zewnętrznej równoważącej siłę pola () na tej drodze.

Umowa1: ΔE_p = E_p,B - E_p,A = W_A>B

Warunek kompensacji tych dwóch sił zabezpiecza nasze rozważania przed zmianą energii kinetycznej próbnika (=0 ⇒ =0 ⇒ =const ⇒ E_k =const ⇒ ΔE_k = 0).

Rys 39 Oddziaływanie ładunków punktowych

Zakładając, że r_A > r_B i przesuwając próbnik dodatni w kierunku źródła otrzymujemy zgodne zwroty wektorów Δ i co pozwala przedstawić, wykonaną przez siłę zewnętrzną pracę, w postaci:

W_A>B = F_{z, śr} Δr .

Δr jest tu równe (r_A - r_B) a F_{z, śr} jest równe średniej geometrycznej wartości początkowej i końcowej siły F_el (F_z = F_el) czyli:

.

Wstawiając do wzoru i przyjmując wartość energii potencjalnej z dokładnością do stałej C otrzymujemy:

Aby określić wartość stałej C wprowadzimy umowę 2.

Umowa2: E_p(∞) = 0

Zakładając, że przesuwamy próbnik z ∞ (r_A → ∞) do punktu B otrzymujemy dla punktu A: E_p(∞) = = 0

a stąd wartość C = 0 oraz energię potencjalną próbnika w punkcie B:

.

Tak więc energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym jest równa pracy jaką wykona siła zewnętrzna równoważąca siłę pola przy przemieszczeniu tego ciała (z ładunkiem) z nieskończoności do danego punktu pola. Z przeprowadzonych wyżej obliczeń wynika, że praca wykonywana przez siły zewnętrzne zależy od początkowej i końcowej odległości r od źródła pola. Wartość pracy przy przesunięciach prostopadłych do kierunku promienia jest równa 0 (cos 90^o = 0).

Otrzymaliśmy wielkość skalarną opisującą przedmiot umieszczony w polu elektrostatycznym. Aby otrzymać wielkość skalarną opisującą to pole zdefiniujemy potencjał V:

.

Potencjałem będziemy więc nazywać wielkość skalarną, której wartość jest równa wartości energii potencjalnej przypadającej na jednostkę ładunku.

Dla źródła punktowego, lub źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie gęstości ładunku:

.

Jednostką potencjału elektrycznego jest 1 wolt.

[V] = 1V

Potencjał, analogicznie jak energia potencjalna dla źródła punktowego (ew. źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie masy), zależy od różnicy odległości punktu początkowego i końcowego od środka źródła. z tego powodu punkty leżące na sferze kulistej, której środek pokrywa się ze środkiem źródła pola mają ten sam potencjał, a sferę taką nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

W przypadku wielu źródeł obliczamy potencjał wypadkowy stosując również zasadę superpozycji z tym, że w tym przypadku poszczególne przyczynki sumujemy skalarnie.

V_wyp = ∑ V_i

Z powyższych wzorów można otrzymać związki:

W_A>B = q V_B - q V_A = qU ,

gdzie różnicę potencjałów V_B - V_A nazywamy napięciem elektrycznym między punktami A i B.

U = V_B - V_A

Jednostką napięcia elektrycznego jest także 1 wolt.

[U] = 1V

Poniżej przedstawiono w tabeli zestawienie wielkości skalarnych i wektorowych będących cechami przedmiotu i pola elektrostatycznego.

cecha \ wielkość	skalarna	wektorowa
przedmiotu	Ep - energia potencjalna	- siła Coulombowska
pola	V - potencjał	- natężenie pola elektrostatycznego

• pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną nazywamy zdolność ciała lub układu ciał do gromadzenia ładunku elektrycznego. Niech ciałem tym będzie przewodnik, na którym zgromadzono ładunek q. Jeśli dzięki temu uzyskał on potencjał V to mówimy, że przewodnik ten posiada pojemność (przewodnika odosobnionego) C:

C_{odosobnionego} =
(1 farad).

Oprócz pojemności przewodnika odosobnionego występuje pojemność wzajemna przewodników. Jej wartość C obliczamy dzieląc ładunek przeniesiony z jednego przewodnika na drugi przez różnicę potencjałów jaka powstaje wtedy między tymi przewodnikami.

C _wzajemna =

Dla kondensatora płaskiego pojemność wzajemną obliczamy z wzoru:

C = ε ε_o ,

gdzie: ε_o - przenikalność elektryczna próżni, ε - względna przenikalność elektryczna, S - powierzchnia okładek kondensatora, d - odległość między nimi. Względna przenikalność elektryczna informuje nas ile razy zwiększy się pojemność kondensatora próżniowego po wsunięciu między jego okładki dielektryka (patrz rozdział - przewodniki, izolatory).

Rys. 40 Kondensator płaski

Energię E zmagazynowaną w polu elektrycznym kondensatora obliczamy według poniższego wzoru.

Pojemność elektryczną układu możemy zmieniać, oprócz stosowania dielektryków, przez zmianę odległości jego okładek, zmianę ich powierzchni czynnej (kondensator obrotowy) lub przez łączenie kondensatorów w baterie. Realizujemy to przez połączenia szeregowe lub równoległe.

Rys. 41 Połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów

Przy połączeniu szeregowym, zgodnie z zasadą zachowania ładunku elektrycznego sąsiednie, połączone za sobą okładki kondensatorów muszą posiadać ładunki o tej samej wartości i o przeciwnych znakach. Różne wartości pojemności elektrycznej tych kondensatorów powodują istnienie różnych napięć na okładkach tych kondensatorów. Chcąc zastąpić taki układ kondensatorem zastępczym o pojemności C_Z musimy uzyskać ten sam ładunek q na jego okładkach i całkowite napięcie C równe sumie napięć U₁, U₂ i U₃.

U = U₁ + U₂ + U₃

Wykorzystując wzór na pojemność elektryczną otrzymujemy:

i po podzieleniu obustronnie przez q :

.

Tak więc odwrotność pojemności elektrycznej baterii kondensatorów połączonych szeregowo jest równa sumie odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

W połączeniu równoległym napięcia na wszystkich kondensatorach mają jednakową wartość. Występują różnice ładunków i pojemności. Dla kondensatora zastępczego całkowity ładunek q powinien być równy sumie ładunków q₁, q₂, q₃.

q = q₁ + q₂ + q₃

Wykorzystując wzór e24 otrzymujemy:

C U = C₁ U + C₂ U + C₃ U

i dzieląc ostatnie równanie obustronnie przez U:

C = C₁ + C₂ + C₃ .

Tak więc pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.

• ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Przeanalizujemy teraz ruch ładunku elektrycznego, np. elektronu w stałym polu elektrycznym. Przybliżeniem takiego pola może być pole elektryczne między okładkami kondensatora płaskiego o dużej wartości pola powierzchni okładek i małej odległości między nimi. Jeśli przyłożymy do niego napięcie U to natężenie pola elektrycznego E między okładkami wyniesie:

Rys. 42 Ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Przedstawiony na powyższym rysunku elektron porusza się wewnątrz kondensatora po parabolicznym torze podobnie jak ciało w rzucie poziomym w polu grawitacyjnym. I podobnie jak w tamtym przypadku można jego ruch rozłożyć na dwa ruchy. Ponieważ w kierunku poziomym nie działają żadne siły dlatego mamy w tym kierunku do czynienia z ruchem jednostajnym prostoliniowym, w którym droga y wyraża się wzorem:

y = v ⋅ t

Jeśli zamiast y wstawimy długość okładek l (drogę w ruchu poziomym w kondensatorze) to wyliczymy z ostatniego wzoru czas t ruchu elektronu między okładkami kondensatora.

Czas ten wykorzystamy do obliczenia odchylenia x toru tego elektronu od kierunku poziomego przy jego wychodzeniu z kondensatora. Ponieważ w kierunku pionowym występuje stałe pole elektryczne E dlatego na elektron będzie działać stała siła o wartości F równej:

F = e E .

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu postępowego elektron uzyska przyspieszenie a:

,

oraz:

.

Wykorzystując wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

,

otrzymamy ostatecznie:

.

Widzimy więc, że składowa pionowa x rośnie z kwadratem współrzędnej poziomej l. Oznacza to, że tor jest fragmentem paraboli.

Możemy też wyznaczyć kąt α między kierunkiem wektora prędkości końcowej (wylotu) a poziomem. W tym celu musimy wyznaczyć wartość składowej pionowej wektora prędkości końcowej v_y. Skorzystamy z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym:

v_y = a ⋅ t .

Stąd:

.

Tangens poszukiwanego kąta α jest równy:

,

i ostatecznie:

.

Widzimy więc, że zarówno odchylenie jak i tgα rosną ze wzrostem wartości przyłożonego napięcia U i długości płytek l oraz maleją ze wzrostem odległości płytek d i prędkości v.

---