Przykładowe zadania WTZ

1. Na podstawie poniższej tabeli przedstawiającej funkcją rozkładu prawdopodobieństw zmiennej losowej X

xi	1	2	3	4
pi	0,1	0,3	0,4	0,2

Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej.

2. W partii jabłek znajduje się 5% owoców o niedobrym smaku (nie różnią się one zewnętrznie). Wybieramy losowo ze zwracaniem 15 owoców. Obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że owoców o niedobrym smaku będzie nie więcej niż 3.

3. Zakładając, ze wzrost dorosłych osób zamieszkałych w pewnym rejonie ma rozkład normalny o średniej 170 cm i odchyleniu standardowym 6 cm, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo osoba ma wzrost między 175 a 180 cm.

4. Z pewnej partii dżemów w wybrano losowo 15 i określono w każdym z nich % zawartość cukru. Uzyskano następujące wyniki:

47,5; 47,4 ; 45,8; 48,1; 46,2; 48,0; 45,9; 46,8; 48,2; 47,5; 47,9; 46,8; 47,0; 47,5; 47,3

Zakładając, że % zawartość cukru w dżemie jest zmienną mająca rozkład normalny oszacować punktowo i przedziałowo:

1. średnią

2. wariancję

3. odchylenie standardowe

5. Na podstawie losowo wybranej grupy 150 osób stwierdzono, że średnia długość stopy wynosi 27,3 cm a wariancja jest równa 9. Policzyć przedział ufności dla średniej długości stopy i odchylenia standardowego w tej populacji osób.

6. W cukrowni maszyna pakująca cukier powinna pakować do każdej torebki dokładnie 1 kg cukru. Dla sprawdzenia dokładności odważania cukru przez maszynę wybrano losowo 15 torebek cukru i zważono masę odważanego cukru. Uzyskano następujące wyniki:

1,02; 1,00; 1,00; 0,98; 0,97; 1,01; 0,97; 0,98; 1,00; 1,02; 1,01; 1,03; 0,99; 0,97; 0,96

Sprawdzić, czy na podstawie uzyskanych wyników możemy stwierdzić, czy maszyna odważa dokładnie 1 kg cukru, czy też nie.

7. W pewnej mleczarni produkuje się żółty ser wg dwóch różnych technologii, dla sprawdzenia, czy zawartość tłuszczu jest w serze jest taka sama dla tych dwóch technologii wybrano losowo po 10 serów i określono w nich zawartość tłuszczu

Technologia 1	Technologia 2
40,2	41,8
39,8	41,1
40,3	41,2
40,0	41,6
39,6	40,8
40,2	40,5
40,5	39,8
40,7	40,1
39,5	40,0
39,9	40,2

1. Sprawdzić, czy zawartość tłuszczu różni się między nimi.

2. Sprawdzić, czy odchylenia standardowe dla zawartości tłuszczu są takie same, czy tez nie.

8. Dwa urządzenia pakujące powinny odważać taką samą masę produktu. Wybrano losowo po 30 opakowań odważonych przez urządzenia A i B. Uzyskano następujące wyniki:

dla urządzenia A: średnia 253,5 g; wariancja 23,1

dla urządzenia B: średnia 249,3 g, wariancja 19,4

Czy na podstawie uzyskanych wyników możemy stwierdzić, że urządzenia te odważają taką sama masę produktu?

9. W celu określenia czy na trwałość pewnego produktu (wyrażoną w dniach) stosowana technologia produkcji wybrano losowo po 4 produkty dla każdej z technologii produkcji i uzyskano następujące wyniki (trwałość produktu- dni):

Dla technologii A: 22,3 21,4 24,5 25,6

Dla technologii B: 30,2 28,5 27,5 26,8

Dla technologii C: 32,4 31,3 28,4 29,4

Dla technologii D: 31,5 32,6 28,6 29,5

Na podstawie uzyskanych wyników sprawdzić, czy występują różnice między trwałością produktów dla poszczególnych technologii produkcji, jeśli tak to czy między wszystkimi technologiami.

10. Dla sprawdzenia, czy zawartość alkoholu w piwie jest różna dla różnych rodzajów słodu wykonano doświadczenie, w którym użyto 4 rodzaje słodu (doświadczenie wykonano w 56 powtórzeniach). Sprawdzić, czy na podstawie uzyskanych wyników możemy powiedzieć, że zawartość alkoholu w piwie jest różna w zależności od rodzaju użytego słodu, czy też nie. Fragment tabeli analizy wariancji jest poniżej:

Źródło zmienności	Stopnie swobody	Sumy kwadratów	Średnie kwadraty	F
czynnik		0,06478
błąd		59,181
całkowita		59,246

---