RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ CZ.3

Twierdzenia o wartości średniej.

Poniższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.

Twierdzenie 1. (ROLLE'A)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ] oraz [Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001 ], to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że

.

Twierdzenie 2. (CAUCHY'EGO )

Jeżeli funkcje
i
są ciągłe w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ], różniczkowalne w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ] to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że

.

Twierdzenie 3. (LAGRANGE'A).

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001 ]i różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001 ], to istnieje punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001 ] taki, że

.

Szeregi Taylora i Maclaurina

Definicja 1.

Niech funkcja
ma w punkcie
pochodne dowolnego rzędu.

Szereg potęgowy

nazywamy szeregiem Taylora funkcji
o środku w punkcie
.

Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako
i nazywać resztą w postaci Lagrange'a. Tak więc

Wniosek. Dla
otrzymujemy twierdzenie Lagrange'a.

Jeżeli
, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji

Twierdzenie 4. (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli:

1. funkcja
   ma w otoczeniu
   

pochodne dowolnego rzędu,

2. dla każdego
   
   ,

to

,
.

Twierdzenie 5. (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

Jeżeli

,
.

to

dla 
.

Wzór Taylora oraz wynikający z niego wzór Maclaurina, o których była mowa wykorzystuje się do obliczania przybliżonych wartości funkcji.

Ze wzorów tych możemy otrzymać przybliżenia z mniejszym błędem niż wykorzystując różniczkę pierwszego rzędu.

Zauważmy, że pomijając resztę we wzorze np. Maclaurina, otrzymamy wzór przybliżony

,

który możemy wykorzystać do obliczania wartości funkcji f.

Błąd bezwzględny
, jaki popełniamy posługując się tym wzorem, jest równy wartości bezwzględnej

reszty
, tj.

Przykłady

1. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji
   i
   

Policzmy:

Zapiszemy teraz wzór Maclaurina:

2. Oblicz korzystając z powyższego przybliżenia
.

Przypomnijmy, że licząc przybliżoną wartość
za pomocą różniczki funkcji jednej zmiennej otrzymaliśmy mniej dokładny wynik 1,02.

Twierdzenie 6.

Niech
,
będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech
. Jeżeli
oraz
, to
.

Twierdzenie 7. (REGUŁA DE L'HOSPITALA)

Niech
i
będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie
oraz

.

Jeżeli

lub

oraz istnieje granica
(właściwa lub nie),

to istnieje również granica
przy czym

.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Z reguły de l'Hospitala możemy skorzystać w następujących przypadkach:

Przypadek 1.

Niech
i
lub niech
i
.

Obliczanie granicy poprzez formalne podstawienie wartości granicznych daje nam symbol nieoznaczony
lub odpowiednio
.

W tym przypadku bezpośrednie (być może wielokrotne) zastosowanie reguły de l'Hospitala doprowadzi nas do rozwiązania.

Np.

.

Przypadek 2.

Niech
i
.

Obliczając granicę
poprzez formalne postawienie wartości granicznych otrzymamy symbol nieoznaczony

.

Aby wyznaczyć tę granicę zauważmy, że

lub

Np.

.

Przypadek 3.

Niech
i
.

Obliczając granicę
poprzez formalne postawienie wartości granicznych otrzymamy symbol nieoznaczony

.

Zauważmy, że wówczas mamy:

Np.

Przypadek 4.

Niech
i
.

Obliczając granicę
poprzez formalne postawienie wartości granicznych otrzymamy symbol nieoznaczony

.

Podobnie gdy
i
obliczając

otrzymujemy inny symbol nieoznaczony

.

Również gdy
i
obliczając
otrzymujemy inny symbol nieoznaczony

.

We wszystkich tych przypadkach
,
,
obliczenie
sprowadza się do obliczenia
, co daje symbol
.

Np.