15, Wahadło matematyczne, Andrzej Kądziołka


Andrzej Kądziołka 11.01.2006

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 15.

Badanie rozkładu niepewności pomiarowych w pomiarach okresu wahań wahadła.

1. Zagadnienia do samodzielnego pracowania:

Niepewność standardowa u(x) wyraża się wzorem:

0x01 graphic

Wielkość 0x01 graphic
nazywa się odchyleniem standardowym wartości średniej. Przy założeniu, że wyniki kolejnych pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu (Gaussa), prawdopodobieństwo znalezienia wartości oczekiwanej 0x01 graphic
w przedziale (xśr-u, xśr+u) wynosi ok. 67%. W przypadku, gdy rozkład wyników nie jest normalny nie znamy tego prawdopodobieństwa i poprzestajemy na podaniu wyniku w formie dwóch liczb: xśr i u.

Miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest tzw. odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru sx (estymator odchylenia standardowego s) wyrażone wzorem:

0x01 graphic

Jeżeli liczba pomiarów (n) dąży do nieskończoności, to wartość średnia (xśr) dąży do wartości oczekiwanej (0x01 graphic
), a odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru sx dąży do odchylenia standardowego 0x01 graphic
rozkładu normalnego. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego (Gaussa) wyraża się wzorem:

0x01 graphic

gdzie wartość oczekiwana 0x01 graphic
jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną, a 0x01 graphic
jest odchyleniem standardowym. Funkcja Gaussa ma kształt dzwonowy i jest symetryczna względem 0x01 graphic
. Całka tej funkcji (pole pod wykresem P(x)) liczona od x1 do x2 określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru w przedziale (x1, x2). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników

w przedziale 0x01 graphic
wynosi ok. 67%,

w przedziale 0x01 graphic
wynosi ok. 95%,

w przedziale 0x01 graphic
wynosi ok. 99,7%.

Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o punktowej masie zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici.

0x01 graphic

l - długość nici

N - naprężenie

γ - kąt odchylenia nici od pionu

2. Wykonanie ćwiczenia:

1. Zmierzyć przy pomocy sekundomierza czas t pięciu wahnięć wahadła.

Pomiary powtórzyć 100 razy zachowując stałą wielkość wychylenia początkowego

ok.0x01 graphic
, co odpowiada wychyleniu kulki o ok. 7 cm od położenia równowagi.

2. Obliczyć wartość średnią pomiarów0x01 graphic
.

3. Obliczyć odchylenie standardowe wartości średniej 0x01 graphic
.

4. Obliczyć odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru 0x01 graphic
.

5. Narysować na papierze milimetrowym wykres funkcji Gaussa P(t) przyjmując, że wykonana ilość pomiarów pozwala założyć równości: 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

6. Obliczyć ilość k wyników pomiarów przypadających na określone przedziały o wielkości 0x01 graphic
równej np. 0.1s rozłożone symetrycznie względem przedziału (tśr -0.05s, tśr +0.05s).

7. Wyznaczyć prawdopodobieństwo p(0x01 graphic
) otrzymania wyniku pomiaru w danym przedziale obliczając pole pod krzywą Gaussa P(t) w tym przedziale. Wyniki zapisać w tabeli 2.

8. Wykonać wykres (histogram) przedstawiający w postaci kolumn w poszczególnych przedziałach wyniki zawarte w tabeli 2.

9. Obliczyć okres wahań T wahadła i niepewność standardową okresu. Obliczyć niepewność standardową względną.

10. Obliczyć okres wahań wahadła 0x01 graphic
traktując je jako wahadło matematyczne.

Długość wahadła zmierzona do środka kulki wynosi (132.0 ± 0.5)cm.

Obliczyć metodą różniczki zupełnej niepewność maksymalną 0x01 graphic
.

11. Przedstawić własne uwagi i wnioski dotyczące otrzymanych wyników.

3. Obliczenia i rachunek błędów:

Wszelkie obliczenia oraz wykresy zostały wykonane w programie Microsoft Excel. Znajdują się w pliku „Obliczenia - sprawozdanie nr 15” na dołączonej dyskietce.

Obliczam wartość średnią pomiarów:

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam odchylenie standardowe wartości średniej:

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wykres funkcji Gaussa (wykonany w programie Microsoft Excel):

0x01 graphic

Ilość k wyników przypadających na określony przedział:

 

k

k/100

tśr-0,45s,tśr -0,35s

1

0,01

tśr-0,35s,tśr -0,25s

4

0,04

tśr-0,25s,tśr -0,15s

14

0,14

tśr-0,15s,tśr -0,5s

29

0,29

tśr-0,05s,tśr+0,05s

32

0,32

tśr+0,05s,tśr+0,15s

13

0,13

tśr+0,15s,tśr+0,25s

7

0,07

Histogram przedstawiający w postaci kolumn wyniki zawarte w tabeli znajdującej się powyżej (wykonany w programie Microsoft Excel):

0x01 graphic

Obliczam średni okres drgań wahadła:

0x01 graphic

Obliczam niepewność standardową okresu:

0x01 graphic

0x01 graphic

Okres wahań wahadła jako wahadło matematyczne:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

4. Wnioski:

Ćwiczenie to miało na celu zbadanie rozkładu niepewności pomiarowych. Jego przeprowadzenie było dosyć żmudne gdyż należało 100 razy zmierzyć czas 5 wahnięć wahadła. Można zauważyć, że większość wyników pomiarów zlokalizowała się w przedziale od 11,3 do 11,4s. Stanowią one 51% wszystkich zmierzonych czasów wahnięć wahadła. Natomiast średnia: 11,354s wskazuje na to, że pozostałe pomiary zlokalizowały się względnie symetrycznie po obu stronach tego przedziału, po czym możemy wnioskować, iż ćwiczenie zostało przeprowadzone poprawnie. Wskazuje na to również narysowana funkcja Gaussa oraz histogram.



Wyszukiwarka