Ekonomia matematyczna

Modele równowagi rynku. Model Edgwortha

5.1. Model Edgwortha

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów

5.1. Model Edgwortha

Rozpatrzymy najprostszy model równowagi rynkowej, gdy na rynku
obecny tylko dwa konsumenta A i B każdy z których dysponuje tylko dwoma dobrami
i
. Konsument A posiada
jednostek dobra pierwszego i
jednostek dobra drugiego. Konsument B posiada
jednostek dobra pierwszego i
jednostek dobra drugiego. Zakłada się, że konsumenci dąży do tego, żeby wymieniając dwoma dobrami
i
maksymalizować użyteczność dla swoich koszyków
i odpowiednio
:

, (5.1)

, (5.2)

gdzie
i
funkcji użyteczności konsumentów A i B odpowiednio.

Pokażemy geometrycznie proces wymiany dóbr konsumentów. W układzie współrzędnych
narysujemy punkt
wspólnych zasobów dóbr i punkt
początkowego zasobu konsumenta
:

•

•

Rys. 5.1

Łatwo zauważyć, że punkt
w układzie współrzędnych
pokazuje początkowy zasób konsumenta
i jednocześnie w układzie współrzędnych
pokazuje początkowy zasób konsumenta
. Narysujemy krzywe obojętności
i
do których należy punkt
. Wspólna część dziedzin, które znajdują się powyżej krzywych obojętności odnośnie swoich osi współrzędnych (niebieski kolor) pokazuje leprze koszyki jednocześnie dla obydwu konsumentów. Przecięcie preferowanych obszarów nazywa się obszarem handlu. Więc w tej dziedzinie szukamy koszyk, który będzie rozwiązaniem. Dla tego obliczymy ile kosztowali początkowe koszyki konsumentów. Przyjmujemy, że były ustalony ceny
na dobro
i
na dobro
(na przykład na podstawie poprzedniego okresu handlu). Mamy:

, (5.3)

. (5.4)

Linii budżetu zawierają punkt
. Nachylenie linii budżetu konsumenta
do osi
równa się
, nachylenie linii budżetu konsumenta
do osi
również równa się
. Ponieważ osi
i
są równoległe, linie budżetu konsumentów A i B nakładają się. Wykorzystując uogólnioną funkcję popytu możemy obliczyć wybór początkowy konsumentów
i
, to są punkty
i
. Ogólnie mówiąc punkty
i
nie nakładają się. Więc jednego dobra zabraknie a drugiego będzie za dużo. Na rys. 5.2 brakuje pierwszego dobra i za dużo drógiego.

•

•

•

Rys. 5.2

Możliwości zmiany wartości
i
nie ma, więc polepszenie koszyka może być dokonane tylko przez zmianę stopy wymiany dóbr, tj. zmiany cen
. Dokładniej mówiąc przez zmianę stosunku
ponieważ
i
(podaż dobra 1 jest mniejszy popytu, dla dobra 2 odwrotnie).

Powstaje pytanie: czy istnieją ceny
(czy istnieje nachylenie linii budżetu) przy których rynek okaże się zbilansowany?

Twierdzenie. Jeśli preferencje, reprezentowane przez funkcje
i
są monotoniczne, ciągłe i silnie wypukłe, to istnieje jedyny stosunek cen
, przy którym
i
.

Ścisły dowód pominiemy, zauważmy tylko, że przy
linia budżetu dąży do poziomej prostej, popyt na dobro
, przy
linia budżetu dąży do poziomej pionowej, popyt na dobro
. Ponieważ preferencje są ciągłe, to popyt na dobra
przy zmianie cen zmienia się ciągłe. To znaczy istnieją ceny, przy których popyt na dobro
jest równy podaży (wspólnemu zasobowi). Tak samo istnieją ceny,

wyrównujące popyt i podaż dobra
. Jak widać z wykresu, równowaga dóbr następuje jednocześnie. Monotoniczność i wypukłość preferencji gwarantują, że taki punkt jest jedynym.

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów

Optimum Pareta

Mówimy, że sytuacja ekonomiczna jest efektywną w rozumieniu Pareta, jeżeli nie ma sposobu poprawienia sytuacji jakiejkolwiek osobie bez skrzywdzenia kogokolwiek innego.

Efektywność w rozumieniu Pareta jest stanem pożądanym - jeśli są sposoby poprawienia sytuacji pewnych grup ludzi, dla czego by tego nie zrobić. Jednakże efektywność ta nie jest jedynym celem polityki ekonomicznej, ponieważ nie ma ona nic wspólnego ze sprawiedliwością.

Traktowanie na poprzednim przykładzie.

Definicja. Zbiór punktów,

,

lub

(5.5)

reprezentujących stany równoważne modelu Edgewortha przy wszystkich możliwych podziałach zasobu początkowego nazywa się krzywą kontraktów.

Z drugiej strony, krzywa kontraktów, to zbiór punktów, efektywnych w rozumieniu Pareta.

Z powyższego bezpośrednio wnioskujemy, że w przypadku dwu dóbr w ogólnej postaci układ równań, rozwiązanie którego jest krzywa kontraktów może być zapisany w postaci:

(5.6)

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów 3

5.2. Optimum Pareta, krzywa konraktów 3

---