Ekonomia matematyczna 3


Ekonomia matematyczna

Modele równowagi rynku. Model Edgwortha

5.1. Model Edgwortha

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów

5.1. Model Edgwortha

Rozpatrzymy najprostszy model równowagi rynkowej, gdy na rynku 0x01 graphic
obecny tylko dwa konsumenta A i B każdy z których dysponuje tylko dwoma dobrami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Konsument A posiada 0x01 graphic
jednostek dobra pierwszego i 0x01 graphic
jednostek dobra drugiego. Konsument B posiada 0x01 graphic
jednostek dobra pierwszego i 0x01 graphic
jednostek dobra drugiego. Zakłada się, że konsumenci dąży do tego, żeby wymieniając dwoma dobrami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
maksymalizować użyteczność dla swoich koszyków 0x01 graphic
i odpowiednio 0x01 graphic
:

0x01 graphic
, (5.1)

0x01 graphic
, (5.2)

gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
funkcji użyteczności konsumentów A i B odpowiednio.

Pokażemy geometrycznie proces wymiany dóbr konsumentów. W układzie współrzędnych 0x01 graphic
narysujemy punkt 0x01 graphic
wspólnych zasobów dóbr i punkt 0x01 graphic
początkowego zasobu konsumenta 0x01 graphic
:

0x08 graphic

Rys. 5.1

Łatwo zauważyć, że punkt 0x01 graphic
w układzie współrzędnych 0x01 graphic
pokazuje początkowy zasób konsumenta 0x01 graphic
i jednocześnie w układzie współrzędnych 0x01 graphic
pokazuje początkowy zasób konsumenta 0x01 graphic
. Narysujemy krzywe obojętności 0x01 graphic
i 0x01 graphic
do których należy punkt 0x01 graphic
. Wspólna część dziedzin, które znajdują się powyżej krzywych obojętności odnośnie swoich osi współrzędnych (niebieski kolor) pokazuje leprze koszyki jednocześnie dla obydwu konsumentów. Przecięcie preferowanych obszarów nazywa się obszarem handlu. Więc w tej dziedzinie szukamy koszyk, który będzie rozwiązaniem. Dla tego obliczymy ile kosztowali początkowe koszyki konsumentów. Przyjmujemy, że były ustalony ceny 0x01 graphic
na dobro 0x01 graphic
i 0x01 graphic
na dobro 0x01 graphic
(na przykład na podstawie poprzedniego okresu handlu). Mamy:

0x01 graphic
, (5.3)

0x01 graphic
. (5.4)

Linii budżetu zawierają punkt 0x01 graphic
. Nachylenie linii budżetu konsumenta 0x01 graphic
do osi 0x01 graphic
równa się 0x01 graphic
, nachylenie linii budżetu konsumenta 0x01 graphic
do osi 0x01 graphic
również równa się 0x01 graphic
. Ponieważ osi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są równoległe, linie budżetu konsumentów A i B nakładają się. Wykorzystując uogólnioną funkcję popytu możemy obliczyć wybór początkowy konsumentów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to są punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Ogólnie mówiąc punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
nie nakładają się. Więc jednego dobra zabraknie a drugiego będzie za dużo. Na rys. 5.2 brakuje pierwszego dobra i za dużo drógiego.

0x08 graphic

Rys. 5.2

Możliwości zmiany wartości 0x01 graphic
i 0x01 graphic
nie ma, więc polepszenie koszyka może być dokonane tylko przez zmianę stopy wymiany dóbr, tj. zmiany cen 0x01 graphic
. Dokładniej mówiąc przez zmianę stosunku 0x01 graphic
ponieważ 0x01 graphic
i 0x01 graphic
(podaż dobra 1 jest mniejszy popytu, dla dobra 2 odwrotnie).

Powstaje pytanie: czy istnieją ceny 0x01 graphic
(czy istnieje nachylenie linii budżetu) przy których rynek okaże się zbilansowany?

Twierdzenie. Jeśli preferencje, reprezentowane przez funkcje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są monotoniczne, ciągłe i silnie wypukłe, to istnieje jedyny stosunek cen 0x01 graphic
, przy którym 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Ścisły dowód pominiemy, zauważmy tylko, że przy 0x01 graphic
linia budżetu dąży do poziomej prostej, popyt na dobro 0x01 graphic
, przy 0x01 graphic
linia budżetu dąży do poziomej pionowej, popyt na dobro 0x01 graphic
. Ponieważ preferencje są ciągłe, to popyt na dobra 0x01 graphic
przy zmianie cen zmienia się ciągłe. To znaczy istnieją ceny, przy których popyt na dobro 0x01 graphic
jest równy podaży (wspólnemu zasobowi). Tak samo istnieją ceny,


wyrównujące popyt i podaż dobra 0x01 graphic
. Jak widać z wykresu, równowaga dóbr następuje jednocześnie. Monotoniczność i wypukłość preferencji gwarantują, że taki punkt jest jedynym.

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów

Optimum Pareta

Mówimy, że sytuacja ekonomiczna jest efektywną w rozumieniu Pareta, jeżeli nie ma sposobu poprawienia sytuacji jakiejkolwiek osobie bez skrzywdzenia kogokolwiek innego.


Efektywność w rozumieniu Pareta jest stanem pożądanym - jeśli są sposoby poprawienia sytuacji pewnych grup ludzi, dla czego by tego nie zrobić. Jednakże efektywność ta nie jest jedynym celem polityki ekonomicznej, ponieważ nie ma ona nic wspólnego ze sprawiedliwością.

Traktowanie na poprzednim przykładzie.

Definicja. Zbiór punktów,

0x01 graphic
,

lub

0x01 graphic
(5.5)

reprezentujących stany równoważne modelu Edgewortha przy wszystkich możliwych podziałach zasobu początkowego nazywa się krzywą kontraktów.

Z drugiej strony, krzywa kontraktów, to zbiór punktów, efektywnych w rozumieniu Pareta.

Z powyższego bezpośrednio wnioskujemy, że w przypadku dwu dóbr w ogólnej postaci układ równań, rozwiązanie którego jest krzywa kontraktów może być zapisany w postaci:

0x01 graphic
(5.6)

5.2. Optimum Pareta, krzywa kontraktów 3

5.2. Optimum Pareta, krzywa konraktów 3

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic



Wyszukiwarka