Wielomiany - zakres podstawowy
Zad.1. (3p.) Rozwiąż równanie 2x3-3x+1=0 stosując grupowanie wyrazów.
Zad. 2 (3p.) Rozłóż wielomian W(x)=(x-1)(x+1)(x+3)-3x-9 na czynniki liniowe i wyznacz jego pierwiastki.
Zad.3 (3p.) Liczby -2 i 1są pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia, którego współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy 1. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu, wiedząc, że do wykresu tego wielomianu należy punkt A(-1,6)
Zad. 4 (3p.) Dla jakich wartości parametru m pierwiastkami równania [x2 + (2-m) 2m](x+1)=0 Są trzy kolejne liczby całkowite ujemne?
Zad. 5 (3p.) Rozłóż wielomian W (x) = x3 - 5x2+4 na czynniki liniowe.
Zad.6. (3p.) Liczby : -2, 1 i 3 są pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia W (x). Wyznacz ten wielomian, wiedząc, że W(0)= - 6
Zad.7. (3p.) Rozwiąż nierówność (x2 - 4) (x+2)≥ 0
Zad.8. (3p.) Rozwiąż nierówność 3x3 + x2 - x - 3 < 0
Zad.9. (3p.) Wielomian W(x) jest wielomianem trzeciego stopnia. Zbiorem rozwiązań nierówności W(x) ≥ 0 jest zbiór (∞; -1> U<1,3). Zapisz ten wielomian w postaci iloczynu czynników liniowych widząc, że W(0)= -3
Zad.11.(3p.) Rozwiąż równanie x3 + 2 m x2 - x +m +6 =0, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest liczba 1
Zad.12. (3p.) Wyznacz te wartości parametru a, dla których wielomian W(x) = (x2 - a)(x+3) posiada pierwiastek dwukrotny
Zad.13.(3p.) Dla jakich wartości parametru a równania (x-2)(x2-1)= 0 i (x-a)(x2- 3x+2)=0 mają te same zbiory rozwiązań.
Zad. 14.(3p.) Dane są funkcję f(x) = (x-3)(x-2)(x-1) i g(x)=1-x. Dla jakich argumentów x wartość funkcji f są większe od wartości
funkcji g.
Zad. 15. (4p.) Funkcja f jest określona wzorem f(x) = -
x3 -
x2 +
x +
.Dla jakich x wartości f(x) są dodatnie ?
Zad.16. (3p.)Zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (x-1)(x2 + b x + c ) < 0 to (-∞;1)ﮟ(1,2). Wyznacz współczynniki b i c.
Zad.17. (8p.) Na rysunku naszkicowany jest wykres pewnej funkcji kwadratowej f i wykres pewnej funkcji liniowej g . Rozwiąż równanie f(x) ∙ g(x) ≤15x - 13
Zad. 18(3p.) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x2009 + 1 przez wielomian P(x) = x2 -1
Zad.19. (4p.) Miejscem zerowym wielomianu W(x)= 2x3 + ax2 - 6x jest liczba x = -1
oblicz współczynnik a
wyznacz pozostałe miejsca zerowe wielomianu .
Zad.20.(4p.) Rozłóż wielomian W(x) = x4 - 7x2 +12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu.
Zad.21. (3p.) Wielomian W(x) = - x3 + 2 x2 - 3x + a przyjmuje wartość 4 dla argumentu x=1
oblicz a
rozłóż wielomian na czynniki możliwie najniższego stopnia
Rozwiąż równanie W(x) = 0
Zad.22. (4p) Dany jest wielomian W(x) = 4x4- x2-6x-9.Rozłóż wielomian na czynniki
możliwie najniższego stopnia stosując grupowanie wyrazów i wzory skróconego
mnożenia
Zad.23. (5p.) Dwa pierwiastki wielomianu W(x) = 4x3+ ax2+bx+c są rozwiązaniem równania
|x| =√3, a trzeci pierwiastek tego wielomianu jest równy (3√45)0,3. Oblicz
współczynniki a, b, c wielomianu W(x) .
Zad. 24.(4p) Wyznacz wzór wielomianu czwartego stopnia, którego pierwiastkami są liczby
x1= -4; x2= -1; x3=1, czwarty pierwiastek jest iloczynem danych pierwiastków, a do wykresu wielomianu należy punkt A(2;9)
Zad. 25.(4p.) Rozwiąż równanie 2x4+ 3x3+ 3x - 2= 0
Zad. 26. (3p.) Dany jest wielomian W(x) = (x-3m) (x+m+1) (x-7)
wyznacz pierwiastki tego wielomianu
wyznacz liczbę m, tak aby suma pierwiastków tego wielomianu była równa 20
Zad.27. (5p.) Dane są wielomiany W(x) = (x2-5)2, G(x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e
podaj współczynniki a, b, c, d, e tak aby wielomiany W(x) i G(x) były równe
Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x)
Podaj warunek jaki muszą spełniać współczynniki a, b, c, d, e, tak aby
G(1) = G(-1)
Zad.28. (6p.) Dany jest wielomian W(x) = x4 -mx3+ nx2 - 8. Wartość tego wielomianu dla
x=2 jest taka sama jak dla x= -2, a wartość wielomianu dla x=3 jest równa 82
wyznacz parametry m i n
dla jakich wartości tego wielomianu są większe od wartości wielomianu W(x)= x4+2
Zad. 29. (5p.) Sprawdź, czy zbiór rozwiązań nierówności x3-6x2- 4x+ 24< 0 jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności (x+1) ≥ 1
Zad. 30. (3p.) Dla jakich wartości m reszta z dzielenia wielomianu
W(x)= -3x3 - 6x2 + m2x + m +5 przez wielomian G(x) = x+2 jest równa - 10
Zad. 31.(6p.) Znajdź wszystkie elementy zbioru A { x: xєR1 24x3 - 2x2 - 5x +1 =0 } jeśli wiesz, że liczba x= -½ należy do tego zbioru .
Zad. 32.(6p.) Dla jakich wartości parametru m oraz n wielomian
W(x)= x4 - 2x3+ mx2 + nx + 12 jest podzielny przez wielomian P(x)= x2 - 5x+6. Dla wyznaczonych m i n rozwiąż nierówność W(x)> 0
Zad.33.( 4p.) Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez wielomian P(x)= x2 - 6x+ 8 otrzymano wielomian Q(x)= ax + b i resztę R(x) = 4x-13. Wyznacz wzór wielomianu W(x) jeśli wiesz, że jego pierwiastkami są x1=1, x2= -1
Zad. 34. (8p). Dla jakich wartości parametrów m i n wielomian
W(x)=(2m - 3n)x3+(m+3n+9) x2 - 5x - 7 jest funkcją liniową?
Przy wyznaczanych m i n wyznacz wszystkie wartości argumentów, dla których wartości wielomianu W(x) są nie mniejsze od wartości wielomianu P(x) = x3-1 ?
Zad.35. (8p.) Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze x. Wielomian ma trzy pierwiastki takie, że drugi jest dwa razy większy od pierwszego, a trzeci jest cztery razy większy od pierwszego. Wartość wielomianu w punkcie x=0 jest równa -64. Oblicz pierwiastki wielomianu i podaj współczynnik przy x2 .
Zad. 36. (5p.) Dana jest funkcja f(x) = (x+1)3 - (x-2)3 - 27
a). Sprowadź wzór tej funkcji do najprostszej postaci
b). Oblicz f(2 √5)
c). Wyznacz maksymalny przedział w którym wartości funkcji są ujemne.
Zad.37. (5p.) Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3+ mx2- 3x + 9
a). Wyznacz współczynnik m
b). Rozłóż wielomian na czynniki i podaj jego pierwiastki
Zad. 38.(5p.) Dla jakich parametrów a i b wielomian W(x) = 2x4 + ax3 - bx2 +2x - 2 jest podzielny przez x2 - x - 2
Zad. 39.(5p.) Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu
W(x) = x3+ 2x2+k2x - 8 przez dwumian (x+1) jest równa -11
Zad.40. (6p.) Dla jakich wartości parametru m równanie m2x3 + (m2+ 6m)x2 +(m+6)x = 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Zad. 41 (6p.) Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+1) jest równa 2 zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez (x-8) jest równa -7. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x+1) (x-8)
Zad. 42. (4p.) Sprawdź czy wielomian W(x) =(x- 2)2009 + (x-1)2009 -1 jest podzielny przez wielomian x2 - 3x +2
Zad. 43.(5p.) Wielomian P(x) =x2-2x- 3 jest podzielnikiem wielomianu W(x)= x3+ ax2+bx+1. Wyznacz wartości parametrów a i b i oblicz W(-1)
Zad.44.(5p.) Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W(x)= x2009 - x2008+2 przez wielomian P(x)= x3 -x
Zad. 45.(5p.) Wyznaczyć wszystkie wartości współczynników p i q wielomianu
W(x)= x4- 3x3+ x2+ px + q, tak aby przy dzieleniu go przez wielomian
P(x) =x2- 2x +2 reszta była równa 2x-1
Zad. 46. (5p.) Wiedząc, że wielomian W(x) = x4+ x2+ ax +b jest podzielny przez (x2-1) wyznaczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x -2)
Zad. 47. (5p.) Wyznaczyć sumę S współczynników wielomianu W(x) = (x3- 3x2+ 3x+ 1)2009 oraz jego wyraz wolny a◦
Zad.48. (6p.) Wykaż, że zbiór liczb spełniających nierówność x3 + x2> 9x + 9 zawiera się w zbiorze < -4 ∞)
Zad.49. (4p.) Dany jest wielomian W(x) = - x3 + 3x2- 4x +5 .Oblicz 2 W(-1) -3W(0) + W(1)
Zad.50. (6p.) Pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + mx2 + 2x + 4 jest liczba 1+ √3. Wyznacz m i pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
ODPOWIEDZI
Wielomiany - zakres podstawowy
Zad.1. x1=1 , x2= -½ (1 + √3) , x3= - ½ (1 - √3)
Zad.2. W(x)= (x+3) (x-2) (x+2) x1= -3 , x2= -2 , x3= 2
Zad.3. x3= 2
Zad.4. m = -3
Zad.5. -------
Zad.6. W(x)= - x3+2x2+5x - 6
Zad.7. xε <2,∞) ﮟ {-2}
Zad.8. xε ( -∞; 1)
Zad.9. W(x) = - (x+1) (x-1) (x-3)
Zad.10. --------
Zad.11. m= -2 , x1=1 , x2= -1 , x3= 4
Zad.12. aε <0, ∞) , W(x)= (x-√a) (x+√a) (x+3) więc a= 0 ﮟ a= 9
Zad.13. a= -1
Zad.14. xε (1 ;∞)
Zad.15. xp = -3 , x2= 3 ; xε ( -∞ ; -3) ﮟ (-3; 3)
Zad.16. b= -3, c= 2
Zad.17. g(x)= -x+3, f(x) = -2x2 + 4x - 1
(-2x2+ 4x - 1) (- x +3) ≤ 15x - 13
xε ( -∞ ; -1> ﮟ< 1 ; 5>
Zad.18. R(x) = x+1
Zad.19. a). a = - 4 b) x = 0 ﮟ x =3
Zad.20. W(x) = (x+2) (x-2) (x - √3) (x+√3) , x= - √3 ﮟ x= √3
Zad.21. a). a= 6 b). W(x) = - (x-2) (x2 +3) c). W(x) =0 <=> x =2
Zad.22. W(x)= 4x4- (x+3)2= (2x2 - x - 3) (2x2+ x +3)
W(x) = (x+1) (2x-3) (2x2 + x +3)
Zad.23. a= -8, b= - 12, c= 24
Zad.24. W(x)= -¼ (x+4) (x+1) (x-1) (x - 4)
Zad.25. x= -2 ﮟ x= ½
Zad.26. x1= 3m , x2= - m -1 , x3= 7 m= 7
Zad.27. a). a=1, b=0, c= -10, d=0, e= 25, b). x= √5, x= - √5 , c). b + d= 0
Zad.28. a) m=0 , n= 1 b). xε (- ∞; -√10) ﮟ (√10, ∞)
Zad.29. Tak
Zad.30. m= 3 ﮟ m= -
Zad.31. A ={ - ½ , ⅓ ; ¼ }
Zad.32. m= -7 , n= 8 ; xε (- ∞-2) ﮟ ( -1; 2) ﮟ ( 3; ∞)
Zad.33. a=
, b=
, W(x)= (
x +
) (x2- 6x +8) + 4x - 13
Zad.34. m= -3 ٨ n = - 2 , W(x)= -5x - 7 , xε ( - ∞; -1>
Zad.35. x1=2 , x2= 4 , x3= 8; W(x)= x3 - 14x2+ 56x - 64
Zad.36. a). f(x)=9x2- 9x - 18 b) f (2√5) = 162 - 18√5 c). (-1; 2)
Zad.37. a). m= -3, W(x)= x3 - 3x2- 3x +9, b). W(x)=(x-3) (x-√3) (x+√3)
x1=3 , x2=√3 , x3= -√3
Zad.38. a= -3,5 b=1,5
Zad.39. k= - 2 ﮟ k= 2
Zad.40. mε ( -∞; -6) ﮟ ( -2,0) ﮟ ( 0,∞ )
Zad.41. R(x)= - x +1
Zad.42. -------
Zad.43. a = b = - 2⅓, w(-1)=0
Zad.44. R(x)= - x 2+ x +2
Zad.45. p= 6, q= -7
Zad.46. R= 48
Zad.47. S= W(1)= 22009 a◦ W(0)=1
Zad. 48. ------
Zad.49. 14
Zad.50. x2 = 1- √3 , x2 = 2, m = - 4