1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x'

4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f(x)>0 dla x჎ (prze) i f `(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ |

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim |

Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e^4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 }

4x- f. jest ciagla dla x჎R,e^x- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e^4x-1)/x- iloraz e^4x-1 i x dla x ∈R ciagla

Lim _x0 f(x)=(e^4x-1)/x=[0/0]=h=(4e^4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 * [f(x)-f(0)]/(x-0) * f `(0)=lim _x->0[((e^4x-1)/x)-4]/x=[(e^4x-1-4x)/x²]=[0/0]=h=lim (4e^4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e^4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest

Min i max. 1. pochodna 2. f'(0)=.. 3. pisze f'(x)=0e...=0 e..=0-brak rozw, e…>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4. licze f od przedziałów i to co należy do dziedziny, min i max porownuje i zapisuje.

0' Ustalmy dowolne x,y჎R^* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0

1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona

2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona

3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)

Wszystkie war sa speln wiec wniosk ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={X჎Dzied :δ(x,y)< r

δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x

[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [0⁰] [Ⴅ⁰] - nieoznaczone; [Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0

(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (x^k)'=kx ^k-1 k჎R (e^e )'= e^x e^-x =-e^-x (a^x )'= a^x ln a

(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]² [cos⁵(7x)]'=35sin(7x)*cos⁴(7x)

(1/x)'= -1/x² (ln⁶x)'=6/x log⁵x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) a^b=e ^{b ln a}

odp K(y,r)=przedzial(x₁,x₂)

Indukcja 1.spr.dla n=1 2.ustalmy dow. n>=1 oraz załóżmy że zachodzi T(n)(zał.)

Dowodzimy teraz że zach. T(n+1) (teza) || Ln+1=Pn+1 || k.1i2 dow, ze spełnione są

zał. tw. o ind.mat. dla równości T(n) więc wnioskujemy, że równość T(n) jest prawdziwa

dla wszystkich n€N.

Granica z def. Należy wykazać dla dowolnego E>0 istnieje no€R tż dla n>no mamy

|Xn - g|<E || Ustalmy dow. E>0. Wyznaczamy no tż dla n>no zachodzi |Xn - g|<E. Przyjmujemy no=max{x/E;0} Dla n>no mamy x/n<E więc n>no mamy |T(n)|<E.

d'Alemberta - ! Un+1/Un=r r<1 zbieżny; r>rozbieżny

Cauchego - sqrt n√Un=r r<1 zbieżny, r>rozbieżny

Tw.porów. 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

1.D 2.f'=e^{-1/2 x^2}=-xe^{-1/2 x^2}=-x(1/e)^{1/2 x^}2=-x(1/^{e1/2 x^2})3.f'(x)=0 4. Ponieważ (mian)>0 dla x჎D, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5.Wykres m-c zerowych (+D) 6. f(x)>0 dla x჎ (prze) i f `(x) rosnaca 6.Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7.Asymptoty: pionowa-z tego co wyrzuc. z D (+ i - ) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy, przy f ` podst liczbe(As pion nie istn pon. D=R oraz f (x)=e… jest ciagla dla x∈R). pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. ukośna wlasciwa: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) Jak 0-pozioma, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ |

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim |

Różniczk -1. szystko ciągłe. dla x∈R jako iloczyn. 2.Badam ciągł f pkt 0: limf(x)=lim (x->0) (arc tg8x)/x=[0/0]h=lim ((1/1+64x²)*8)/1=8/1=lim(8/1+64x²)= =[8/1]=8=f(0)=>funkcja f(x) jest ciaagla dla x=0 3. Rozpisuje wszystko dla różniczkowalnośc dla x∈R.f'(0)=lim(x->0)(f(x)-f(0))/(x-x₀)=lim ((arc8x/x)-8)/x=lim((arc8x-8x/x))/x=lim(arc8x-8x)/x=[0/0]h= lim((8/1+64x²)-8x)/ /2x=lim((8-8-512x²)/1+64x²)/2x=lim -512x²/2x+128x³=[0/0]h=lim -1024x/2x+384x²=[0/0] = =-1024/∞=0=>f(x) jest różniczkowalna dla x=0 min i max 1.f'(x) 2.wykr 3. przedziały- Poniew. f. na przedz. (z wykr)rośnie=>[z zad]także rośn a najw wart osiąga w f(punkt)=…

---