Nr ćw. 104 |
24.10 1995
|
|
Wydział Elektryczny |
Semestr II |
Grupa nr wtorkowa godz.8.00 |
|
Przygotowanie |
Wykonanie |
Ocena ost. |
||
„Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu
metodą badania przesunięcia fazowego”
Wprowadzenie
Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.
Jeżeli pewien element ośrodka, którego cząstki są ze sobą wzajemnie związane, pobudzimy do drgań, wówczas energia drgań tego elementu będzie przekazywana do punktów sąsiednich i wywoła w nich drgania.
Proces rozchodzenia się drgań nazywamy falą . Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego właściwości sprężystych.
Najczęściej spotykanym ruchem drgającym jest ruch harmoniczny, w którym wychylenie y zmienia się w czasie t wg. równania:
gdzie: A-amplituda, ω-częstość kołowa, - faza początkowa
Faza początkowa określa stan ruchu w chwili t=0 i jest obierana w dowolny sposób. Jeżeli fala biegnie w kierunku osi x , wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą fazę z pewnym opóźnieniem. Prędkość przesuwania się wychylenia(zaburzenia)o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.
Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t, w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową :
gdzie: ω- częstość kołowa ; - liczba falowa, - długość fali, - faza w punkcie x=0 i w chwili t=0.
Równanie fali jest podwójnie okresowe: względem czasu i przestrzeni. Przy ustalonej wartości x opisuje ono drgania cząstki wokół położenia równowagi - drgania te są periodyczne z okresem T. Ustalając w poprzednim równaniu czas otrzymujemy zależność wychylenia cząstek od ich położenia w określonej chwili - zależność ta przedstawia kształt fali. Odległość między najbliższymi punktami posiadającymi tę samą fazę nazywamy długością fali.
Związek między długością i okresem jest prędkością fali:
Prędkość fali w powietrzu
Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:
gdzie: E- moduł Younga ośrodka, - jego gęstość.
Przekształcając podstawową postać prawa Hook'a możemy napisać:
(1)
gdzie oznaczają odpowiednio różniczkowe zmiany ciśnienia i objętości gazu o objętości V
Drgania dźwiękowe zachodzą tak szybko, że ściskanie i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne, wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona:
gdzie - jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości.
Różniczkując powyższy wzór otrzymujemy:
Podstawiając uzyskaną wartość do równania (2), a następnie uwzględniając otrzymaną w ten sposób postać modułu Younga w równaniu (1), wyrażamy prędkość fali podłużnej wzorem:
Stosując równanie stanu gazu doskonałego we wzorze na gęstość otrzymamy:
gdzie: n - ilość moli gazu, R - stała gazowa, T - temperatura.
n można wyrazić jako stosunek całej masy gazu m do masy 1 mola μ : n = m / μ.
Uwzględniają powyższe w ostatnim równaniu wstawiamy do równania (3) i otrzymujemy wzór określający prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury:
Obliczenia
Aby obliczyć prędkość skorzystamy ze wzoru :
(3)
gdzie: λ - długość fali , f - jej częstotliwość
Częstotliwość odczytamy bezpośrednio z generatora akustycznego. Długość fali obliczymy dzięku zjawisku tzw. figur Lissajous obserwowanych na oscyloskopie, a których kształt zależy od stosunku częstotliwości różnicy faz drgań składowych. W tym ćwiczeniu częstotliwości obu drgań są równe, więc o kształcie figór decyduje różnica faz głośnika i mikrofonu. Kształt figury Lissajous'a jest periodyczną funkcją różnicy faz, stąd będzie on taki sam dla wszystkich położeń mikrofonu różniących się o całkowitą wielokrotność długości fali.
Wybieramy odpowiednią częstotliwość, a następnie przesuwając mikrofon w stosunku do głośnika znajdujemy położenia, w których obraz na ekranie oscyloskopu jest linią prostą o takim samym współczynniku nachylenia. Odnotowujemu położenia mikrofonu, następnie obliczmy długość fali jako różnicę pomięzy takimi samymi obrazami, obliczamy średnią, a następnie prędkość dżwięku ze wzoru (3).
Tabele obliczeń:
|
f = 3.452 kHz |
f = 5.454 kHz |
f = 7.369 kHz |
f = 11.253 kHz |
|||||||||||||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
|||||
1 |
77.3 |
64.7 |
12.6 |
84.5 |
77.0 |
7.5 |
25.8 |
19.5 |
6.3 |
88.6 |
85.7 |
2.9 |
|||||
2 |
64.7 |
49.2 |
15.5 |
77.0 |
70.7 |
6.3 |
30.8 |
25.8 |
5.0 |
85.7 |
82.5 |
3.2 |
|||||
3 |
49.2 |
38.3 |
10.9 |
70.7 |
64.0 |
6.7 |
35.1 |
30.8 |
4.3 |
82.5 |
79.3 |
3.2 |
|||||
4 |
38.3 |
26.2 |
12.1 |
64.0 |
52.5 |
11.5 |
42.3 |
35.1 |
7.2 |
79.3 |
76.2 |
3.1 |
|||||
5 |
26.2 |
10.8 |
15.4 |
67.2 |
57.1 |
10.1 |
65.4 |
61.9 |
3.5 |
76.2 |
73.1 |
3.1 |
|||||
6 |
32.6 |
19.0 |
13.6 |
74.0 |
67.2 |
6.8 |
69.9 |
65.4 |
4.5 |
73.1 |
70.1 |
3.0 |
|||||
7 |
43.5 |
32.6 |
10.9 |
80.7 |
74.0 |
6.7 |
75.0 |
69.9 |
5.1 |
70.1 |
67.1 |
3.0 |
|||||
8 |
55.8 |
43.5 |
12.3 |
87.7 |
80.7 |
7.0 |
70.6 |
75.0 |
4.4 |
67.1 |
63.9 |
3.2 |
|||||
9 |
71.7 |
55.8 |
15.9 |
18.7 |
11.7 |
7.0 |
90.0 |
85.3 |
4.7 |
63.9 |
60.7 |
3.2 |
|||||
10 |
82.2 |
71.7 |
10.5 |
80.6 |
74.0 |
6.6 |
75.0 |
79.1 |
4.1 |
60.7 |
57.6 |
3.1 |
|||||
Średnia Δ l [cm] |
12.97 |
Średnia Δ l [cm] |
7.62 |
Średnia Δ l [cm] |
4.91 |
Średnia Δ l [cm] |
3.1 |
||||||||||
v = f Δ l [m / s] |
447.7 |
v = f Δ l [m / s] |
415.59 |
v = f Δ l [m / s] |
361.81 |
v = f Δ l [m / s] |
348.84 |
||||||||||
|
f = 15.075 kHz |
||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
1 |
86.6 |
84.2 |
2.4 |
2 |
84.2 |
81.9 |
2.3 |
3 |
81.9 |
79.6 |
2.3 |
4 |
79.6 |
77.4 |
2.2 |
5 |
77.4 |
74.8 |
2.6 |
6 |
74.8 |
72.6 |
2.2 |
7 |
72.6 |
70.3 |
2.3 |
8 |
33.0 |
30.6 |
2.4 |
9 |
35.4 |
33.0 |
2.4 |
10 |
29.5 |
27.2 |
2.3 |
Średnia Δ l [cm] |
2.34 |
||
v = f Δ l [m / s] |
352.75 |
||
Następnie obliczamy średnią prędkość wszystkich wyników:
średnia v = 385.33 [m / s]
odchylenie standardowe:
19.74
Ale w związku z tym, że posiadamy tylko 5 wielkości nasze dochylenie standardowe jest zaniżone. Aby znaleźć wartość odpowiadającą należy pomnożyc otrzymane odchylenie przez tzw.współczynnik Studenta - Fishera który dla 5 pomiarów wynosi t=1.2, więc otrzymamy:
23.69
Natomiast prędkość dźwięku obliczona na podstawie wzoru:
wynosi: v=