Całka krzywoliniowa skierowana

(całka krzywoliniowa funkcji wektorowej)

Niech K - krzywa regularna o początku A i końcu B, zawarta w
_­

W - pole wektorowe,

Wtedy

• dzielimy krzywą K na n krzywych punktami:
  , gdzie
  dla i=1,2,…,n

• tworzymy wektory cięciw:
  dla
  

• wybieramy po jednym punkcie
  na każdej z krzywych cząstkowych
  ,
  dla i=1,2,…,n

• wyznaczamy wektory
  dla i=1,2,…,n

• tworzymy sumę
  , gdzie „
  ” oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Definicja

Jeśli przy
i
istnieje granica
niezależna od sposobu podziału krzywej i od wyboru punktów M_i, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną funkcji W wzdłuż krzywej K i oznaczamy

.

Uwagi

1. 
   

2. Jeśli krzywa
   , jest zadana układem
   ,
   , a na krzywej K zadane jest płaskie pole wektorowe W o składowych [P,Q], to wtedy podobnie definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną i oznaczamy ją

.

3. Jeśli
   , gdzie
   jest krzywą regularną dla i=1,…,n,

to definiujemy

.

Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)

Niech K - krzywa regularna,

W - pole wektorowe ciągłe na krzywej

Wtedy

Uwaga

Jeśli krzywa K jest płaska, to

.

Interpretacja fizyczna

Niech K - krzywa skierowana od A do B,

W - pole sił na krzywej K.

Wtedy

praca siły W wykonana przy przemieszczaniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej K od punktu A do B.

Przykład (*)

Obliczyć całkę
po krzywej
skierowanej ujemnie względem swego wnętrza.

Zapiszmy równanie określające krzywą K w postaci równoważnej
.

Jest to równanie elipsy.

Parametryzacja tej elipsy

jest niezgodna z kierunkiem krzywej. Zatem

Definicja

Obszar płaski ograniczony jedną krzywą (Jordana) nazywamy jednospójnym, a obszar ograniczony p nieprzecinającymi się krzywymi obszarem p-spójnym.

obszar jednospójny obszar p-spójny

Umowa

Całkę krzywoliniową skierowaną po krzywej zamkniętej K oznaczamy też
.

Twierdzenie Greena

Z: Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar

jednospójny D,

P, Q - funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.

T:

Przykład (*) c.d.

jest krzywą zorientowaną ujemnie,
,

i z twierdzenia Greena otrzymujemy

Zastosujemy uogólnione współrzędne biegunowe

, gdzie a, b - stałe,
,

Jakobian powyższego odwzorowania wynosi
.

W naszym przypadku wybieramy
, aby otrzymać obszar D ograniczony elipsą
.Stąd

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowanej)

Z: Niech D - obszar jednospójny

P, Q - funkcje ciągłe, mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D

- krzywa regularna ,

T:
- nie zleży od kształtu krzywej
a tylko od punktów A i B, t i wtedy oznaczamy ją
.

Dowód

Niech
będą krzywymi regularnymi zawartymi w obszarze D, łączącymi punkty A i B, i skierowanymi od punktu A do B.

Wtedy krzywa
jest krzywą zamkniętą regularną, zorientowaną dodatnio,
. Oznaczmy przez
obszar jednospójny ograniczony przez krzywą C. Na podstawie twierdzenia Greena mamy

bo
, więc

Aby udowodnić implikację
wystarczy wykazać jej kontrapozycję, czyli udowodnić implikację

zależy od kształtu krzywej
.

Bez straty ogólności możemy założyć, że

.

Zatem

dla
.

Niech
będzie brzegiem koła
skierowanym dodatnio.

Wtedy na podstawie twierdzenia Greena mamy

.

Stąd

,

czyli

.

Zatem całka po krzywej łączącej punkty A i B zależy od kształtu tej krzywej.

Wniosek

Niech D - obszar jednospójny,

C - krzywa zamknięta regularna,
,

- funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w D.

Wtedy

.

1

6

---