Ćwiczenia 12 - 46 -

Środek masy punktów materialnych
(a)

Środek masy ciała jednorodnego
(b)

Przykład 42

Obliczyć położenie środka masy względem osi zy (rys.42) jednorodnego cienkiego pręta AB

Którego masa wynosi m. Współrzędne końców pręta mają wartości: y_A = 2, z_A = 2, y_B = 3,

z_B = 3 w metrach.

Rozwiązanie

z B

ds

A z_B ds dz

z

z_A

dy

0 α y

y_A

y Rys. 42

y_B

,
,

,

z równania (b)

Przykład 43 - 47 -

Obliczyć położenie środka masy dla płaskiego cienkościennego pierścienia o promieniu r

leżącego w płaszczyźnie yz. Pierścień ma masę m.

Rozwiązanie

z

dα z

ds

α
y ds = rdα

0 y

r

z

Rys. 43

0 y

dm = ρds = ρrdα

m

m

cosα

+1

0 π 2π α

- 1

m

Zasada ruchu środka masy
- 48 -

Przykład 44

Dwa ciała o masach m₁ i m₂ połączone nierozciągliwą bezmasową liną przerzuconą przez krążek C, ślizgają się po idealnie gładkich płaszczyznach prostokątnego klina (α₁ = 25⁰,

Rys.44), opierającego się podstawą AB na gładkiej płaszczyźnie. O ile przesunie się klin po poziomej płaszczyźnie, jeżeli ciało o masie m₂ przesunie się po ścianie CB w górę o Δh. W chwili początkowej układ pozostawał w spoczynku. Masa klina m₃ = 2m₁ = 4m₂.

z

C

Δh

Δh

m₁ m₂

α₁ α₂

A B

y

m₁g m₂g

R m₃g

α₂ = 90⁰ - 25⁰ = 65⁰

Rys. 44

,
gdzie

dla t = 0
bo układ był w spoczynku stąd D₁ =0 a więc
stąd

wiemy że ogólnie
dla t₁ i t₂ mamy

dla położenia ciała dla t_1, a dla t₂
(a)

Odejmując stronami równania (a) otrzymujemy:

oznaczmy
jest to przemieszczenie klina

Przemieszczenie ciała m₁

Przemieszczenie ciała m₂

Przykład 45 - 49 -

Dwa punkty materialne o masach m₁ = 2 kg i m₂ = 6 kg poruszają się z prędkością V₁ = 4 m/s

i V₂ = 1 m/s. Po pewnym czasie nastąpiło zderzenie obu punktów materialnych. Przy założeniu, że od chwili zderzenia oba punkty materialne poruszają się złączone, określić wspólną prędkość tych punktów materialnych. Rozwiązanie przeprowadzić przy założeniu, że

punkty materialne poruszają się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni (rys.45).

m₂ + m₁

V₁₂ V₂ m₂ V₁ m₁

Rys.45

Rozwiązanie

Pęd układu punktów materialnych przed zderzeniem

po zderzeniu

Ponieważ
a wiadomo że
to stąd
czyli

a wiec
stąd

Przykład 46

Dane jest ciało o masie m, wyprowadzić wzór na kręt tego ciała względem osi z, jeżeli wiadomo, że prędkość kątowa tego ciała względem osi obrotu z wynosi ω (rys.46).

z

ω

0 y y

R V x R V_x V

dm α

r V_y

dm

z

y x Rys.46

x Rozwiązanie

Definicja krętu

- 50 -

,
,

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na kręt względem osi obrotu z

gdzie J_z nazywamy momentem bezwładności ciała m względem osi z

i ma postać

---