POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
KATEDRA FIZYKI
LABORATORIUM FIZYCZNE
ĆWICZENIE nr 3
Wyznaczanie współczynnika indukcji własnej L cewki oraz pojemności kondensatora C
Wykonał:
Sebastian Ciupa
Wydział Elektryczny
semestr II, grupa III
1. Wprowadzenie
Obwody prądu zmiennego wykazują zasadnicze cechy odróżniające je od obwodów prądu stałego. Możemy mieć do czynienia z następującymi typami obwodów prądu zmiennego:
1. Obwód wyidealizowany (rys. 1) - do biegunów A i B źródła prądu zmiennego przyłączony jest przewodnik wyidealizowany, tj. taki, w którym po wpływem zmian natężenia prądu powstaje siła elektromotoryczna samoindukcji ES. Przewodnik taki przepływającemu prądowi zmiennemu stawia tylko opór omowy R. Zgodnie z prawem Ohma mamy:
gdzie: Vt oraz It oznaczają chwilowe wartości napięcia i natężenia prądu.
W przypadku prądów technicznych - a z takimi mamy do czynienia w praktyce - wielkości te, wraz z upływem czasu t, zmieniają się sinusoidalnie zgodnie ze wzorami:
od wartości szczytowych dodatnich do wartości szczytowych ujemnych.
Jeśli częstość zmian prądu na sekundę oznaczymy przez f, to ω = 2πf; Jest to tzw. częstość kołowa zmian prądu. W obwodzie wyidealizowanym natężenie prądu It jest zgodne w fazie z napięciem Vt.
2. Obwód z przewodnikiem rzeczywistym (rys. 2) - obwód ten zmianom natężenia prądu zmiennego It stawia opór nie tylko omowy R, ale i opór samoindukcyjny Rs. Opór Rs wynika z tego, że pod wpływem zmian natężenia prądu It w przewodniku powstaje siła elektromotoryczna samoindukcji , przeciwstawiająca się zmianom natężenia prądu pierwotnego It (reguła Lenza).
Rys. 1 Wyidealizowany obwód prądu zmiennego
Rys. 2 Obwód z przewodnikiem rzeczywistym
Symbol L oznacza współczynnik samoindukcji przewodnika, ΔI/Δt zaś - szybkość zmian natężenia prądu. L zależy od długości przewodnika lub liczby zwojów oraz obecności ferromagnetycznego rdzenia. Można wykazać, że opór Rs = ωL. Na rysunku 2 opór samoindukcyjny przedstawiony jest jako oddzielny element obwodu. Pamiętać jednak musimy, że jest on tylko jedną z dwu cech oporowych tego samego przewodnika. Opór łączny obwodu w takim przypadku, nazywany zawadą Z, powinien być równy sumie algebraicznej obu oporów, gdyby nie to, że Es jest przesunięta w fazie o π/2 w stosunku do zmian napięcia pierwotnego. W związku z tym mamy do czynienia z takim samym przesunięciem fazowym oporu Rs w stosunku do oporu R. Można to przedstawić na wykresie, analogicznym do wykresu wektorowego (rys. 3). Z tego ujęcia wynika, że zawada Z jest sumą geometryczną obu oporów.
Natężenie prądu It w takim obwodzie jest opóźnione w fazie w stosunku do napięcia Vt (prąd podąża za napięciem). Prawo Ohma ma w tym przypadku postać
Rys. 3 Przesunięcie fazowe oporu samoindukcyjnego w stosunku do oporu omowego
Rys. 4 Obwód prądu zmiennego z kondensatorem
Rys. 5 Przesunięcie fazowe oporu pojemnościowego w stosunku do oporu omowego
3. Obwód z kondensatorem (rys. 4) - Jeśli w punktach A i B takiego obwodu dołączymy źródło prądu stałego, to trwały prąd w obwodzie nie będzie płynął. Nastąpi jedynie naładowanie okładek kondensatora, co jest równoważne krótkotrwałemu przepływowi elektronów z jednej okładki kondensatora na drugą, poprzez wszystkie elementy obwodu, z wyjątkiem przestrzeni między okładkami. Gdy do punktów A i B przyłożymy źródło prądu zmiennego, to wówczas mamy do czynienia z ciągłymi, szybkimi zmianami kierunku przepływu elektronów z jednej okładki na drugą. Ten przepływ elektronów zmieniający ustawicznie swój kierunek - to nic innego, jak tylko przepływ prądu zmiennego w obwodzie. Na podstawie tego wyjaśnienia widzimy, że prąd zmienny w obwodzie z kondensatorem płynie w sposób trwały. Jest to jedna z zasadniczych różnic pomiędzy obwodami prądu stałego i zmiennego.
Przez dielektryk elektrony nie mogą przechodzić z jednej okładki na drugą; w dielektryku - przy każdorazowej zmianie znaku napięcia na okładkach kondensatora - zachodzi jedynie przesuwanie elektronów w obrębie każdej cząsteczki - z jednego końca na drugi. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji dielektryka (cząsteczki stają się dipolami elektrycznymi), a przesunięcie elektronów w obrębie pojedynczych cząsteczek - nazwę prądu przesunięcia. Okładki kondensatora w wyniku swego naładowania uzyskują napięcie, którego maksymalna wartość jest równa maksymalnemu napięciu źródła. Kondensator staje się w ten sposób źródłem dodatkowym napięcia, tzn. źródłem dodatkowej siły elektromotorycznej pojemności. Ta siła elektromotoryczna Ec przeszkadza zmianom prądu i jest przesunięta w fazie o π/2 w stosunku do zmian napięcia pierwotnego. Jednak przesunięcie to ma kierunek przeciwny niż w przypadku występowania samoindukcji. Pojawia się, oprócz oporu omowego R, dodatkowy opór pojemnościowy Rc, który, tak jak i Ec, jest przesunięty w fazie o π/2 (rys. 5). Można wykazać, że , gdzie c jest pojemnością kondensatora.
Łączny opór obu tych oporów zwany również zawadą Z, jest równy ich sumie geometrycznej:
Natężenie prądu It w takim obwodzie jest przyspieszone w stosunku do napięcia - napięcie podąża za prądem. Prawo Ohma dla takiego obwodu ma więc postać:
Przeprowadzone rozważania dotyczące obwodów prądu zmiennego wyjaśniają nam zasady pomiaru samoindukcji L i pojemności C. Korzystamy przy tym z prawa Ohma dla obwodu prądu zmiennego. Woltomierze i amperomierze prądu zmiennego nie podają wartości maksymalnych V0 i I0 , lecz wartości skuteczne Vs i Is , to znaczy wartości napięcia i natężenia takiego prądu stałego, którego praca jest równoważna pracy danego prądu zmiennego. Rozważania oparte na tej równoważności pracy obu rodzajów prądu prowadzą do związku między wartościami skutecznymi i maksymalnymi napięcia i natężenia prądu zmiennego:
Wyznaczanie współczynnika samoindukcji
W celu wyznaczenia współczynnika L danej zwojnicy posługujemy się rozważaniami dotyczącymi obwodu typu II i wzorem odnoszącym się do tego obwodu. Z wzoru tego wynika, że dla znalezienia oporu indukcyjnego L musimy znać wartości skuteczne napięcia i natężenia prądu zmiennego, płynącego przez zwojnicę, oraz opór omowy zwojnicy R. Aby wielkości te znaleźć , tworzymy obwód typu II, lecz z dołączonymi: woltomierzem i amperomierzem (rys. 6). Badaną zwojnicę dołączamy najpierw do biegunów A i B źródła prądu stałego. Łączymy ją szeregowo z amperomierzem A, wyłącznikiem K i oporem regulowanym R0 . Równolegle do końcówek zwojnicy dołączony jest woltomierz V.
Mierniki: amperomierz i woltomierz mogą być przyrządami przeznaczonymi tylko do pomiarów prądów stałych (z ruchomymi cewkami), bądź mogą być miernikami prądu zmiennego do pomiaru wartości skutecznych Vs i Is prądu zmiennego. Wychylenia takich przyrządów są niezależne od kierunku przepływu prądu. Sprawa wyboru takich czy innych przyrządów jest jedynie sprawą dostosowania czułości przyrządów do warunków pomiaru.
Po zamknięciu obwodu prądu przesuwamy suwak opornika R0 tak, aby wychylenie mierników prądu przekraczało połowę ich skali. Odczytujemy wskazywaną wartość napięcia i natężenia . Opór R wyliczamy z prawa Ohma:
Pomiar powtarzamy kilka razy, przy różnych wartościach oporu R0 . Otrzymujemy kilka wartości oporu R, z których obliczamy wartość średnią.
Ten sam obwód, z ewentualną wymianą mierników prądu stałego na prądu zmiennego, dołączamy w punktach A i B do końcówek wtórnego uzwojenia transformatora. Opór R0 , tak samo jak w przypadku prądu stałego, musi być dostosowany do zakresu użytych w doświadczeniu mierników. Zamykamy obwód prądu, regulujemy opór R0 i notujemy wskazania Vs i Is . Na podstawie zależności wyznaczamy opór łączny obwodu, zwany zasadą Z
Pomiar powtarzamy kilka razy, biorąc każdorazowo inną wartość R0 . Obliczamy w ten sposób kilka wartości zawady Z i jej wartość średnią. Równanie daje wzór na opór samoindukcyjny Rs = ωL :
z którego wyznaczamy współczynnik samoindukcji L:
Rys. 6 Schemat obwodu do wyznaczania współczynnika samoindukcji
Rys. 7 Schemat układu do wyznaczania pojemności kondensatora
Wyznaczanie pojemności
Odwołujemy się do rozważań dotyczących obwodu typu III (rys. 4). Do pomiaru pojemności C kondensatora stosujemy ten właśnie typ obwodu, lecz bez oporu R. Okładki a i b kondensatora łączymy z biegunami A i B źródła prądu zmiennego, szeregowo z amperomierzem. Woltomierz V dołączony do punktów a i b, mierzy spadek napięcia na oporze pojemnościowym Rc, który stanowi kondensator umieszczony w obwodzie. Po zamknięciu obwodu ustawiamy pozycję suwaka na oporze regulowanym R0 tak aby wychylenia amperomierza i woltomierza pokrywały prawie cały zakres skali; błąd względny odczytania będzie miał wówczas najmniejszą wartość. Ponieważ opór R jest równy zeru, więc wynika z tego, że zawada jest równa oporowi pojemnościowemu a pojemność kondensatora:
Pomiar Vs i Is powtarzamy kilkakrotnie, za każdym razem przy innej wartości R0 . Z otrzymanych w ten sposób wyników pojemności C obliczamy jej wartość średnią.
Połączenia kondensatorów
Kondensatory można łączyć równolegle (rys. 8) i szeregowo (rys. 9). Pojemność C układu kondensatorów o pojemności C1 i C2 połączonych równolegle jest równa sumie ich pojemności
C = C1 + C2
Pojemność układu tych samych kondensatorów połączonych szeregowo wyrażona jest przez zależność:
Rys. 8 Połączenie równoległe kondensatorów
Rys. 9 Połączenie szeregowe kondensatorów
2. Układ pomiarowy
3. Tabele pomiarowe
|
Rd |
Prąd przemienny |
Prąd stały |
||||||||||
|
[Ω] |
uL [V] |
zak-res |
ΔuL [V] |
iL [mA] |
zak-res |
ΔiL [mA] |
UL [V] |
zak-res |
ΔUL [V] |
IL [mA] |
zak-res |
ΔIL [mA] |
cewka |
200 |
2.65 |
3 |
0.1 |
24.50 |
30 |
1 |
2.05 |
3 |
0.055 |
27.00 |
30 |
0.55 |
bez |
400 |
1.65 |
3 |
0.1 |
14.00 |
30 |
1 |
1.20 |
3 |
0.055 |
16.00 |
30 |
0.55 |
rdzenia |
600 |
1.20 |
3 |
0.1 |
9.75 |
30 |
1 |
0.85 |
3 |
0.055 |
11.00 |
30 |
0.55 |
cewka |
200 |
2.85 |
3 |
0.1 |
20.75 |
30 |
1 |
2.05 |
3 |
0.055 |
27.00 |
30 |
0.55 |
z |
400 |
1.72 |
3 |
0.1 |
12.75 |
30 |
1 |
1.15 |
3 |
0.055 |
16.00 |
30 |
0.55 |
rdzeniem |
600 |
1.20 |
3 |
0.1 |
9.00 |
30 |
1 |
0.8 |
3 |
0.055 |
11.00 |
30 |
0.55 |
|
|
klasa amperomierza |
2.5 |
klasa amperomierz |
1 |
||||||||
|
|
klasa woltomierza |
2.5 |
klasa woltomierza |
1 |
||||||||
Lp |
Kondensator lub rodzaj połączenia |
Rd [Ω] |
uc [V] |
zakres miernika |
Δ uc [V] |
ic [mA] |
zakres miernika |
Δ ic [mA] |
1. |
|
200 |
7.40 |
10 |
0.35 |
9.30 |
10 |
0.35 |
2. |
C1 |
400 |
6.70 |
10 |
0.35 |
8.50 |
10 |
0.35 |
3. |
|
600 |
6.00 |
10 |
0.35 |
7.60 |
10 |
0.35 |
4. |
|
200 |
7.50 |
10 |
0.35 |
9.60 |
10 |
0.35 |
5. |
C2 |
400 |
6.80 |
10 |
0.35 |
8.70 |
10 |
0.35 |
6. |
|
600 |
6.10 |
10 |
0.35 |
7.80 |
10 |
0.35 |
7. |
połączenie |
200 |
8.70 |
10 |
0.35 |
5.60 |
10 |
0.35 |
8. |
szeregowe |
400 |
8.40 |
10 |
0.35 |
5.40 |
10 |
0.35 |
9. |
|
600 |
7.90 |
10 |
0.35 |
5.10 |
10 |
0.35 |
10. |
połączenie |
200 |
8.00 |
10 |
0.35 |
20.20 |
30 |
1 |
11. |
równoległe |
400 |
6.20 |
10 |
0.35 |
16.00 |
30 |
1 |
12. |
|
600 |
4.90 |
10 |
0.35 |
13.00 |
30 |
1 |
klasa amperomierza |
2.5 |
|||||||
klasa woltomierza |
2.5 |
|||||||
|
Rd [Ω] |
Z [Ω] |
Δ Z [Ω] |
R [Ω] |
Δ R [Ω] |
L [H] |
Δ L [H] |
cewka |
200 |
108.16 |
8.49 |
75.92 |
3.58 |
0.24 |
0.05 |
bez rdzenia |
400 |
117.86 |
15.56 |
75.00 |
6.01 |
0.29 |
0.08 |
|
600 |
123.08 |
22.88 |
77.27 |
8.86 |
0.30 |
0.11 |
cewka |
200 |
137.35 |
11.44 |
75.92 |
3.58 |
0.36 |
0.05 |
z rdzeniem |
400 |
135.29 |
18.42 |
71.87 |
5.91 |
0.36 |
0.08 |
|
600 |
133.33 |
25.92 |
72.73 |
8.64 |
0.35 |
0.11 |
L.p |
Kondensator lub rodzaj połączenia |
C [F] |
ΔC [F] |
1. |
|
4*10-6 |
3.40*10-7 |
2. |
C1 |
4.04*10-6 |
3.77*10-7 |
3. |
|
4.03*10-6 |
4.21*10-7 |
4. |
|
4.08*10-6 |
3.39*10-7 |
5. |
C2 |
4.07*10-6 |
3.74*10-7 |
6. |
|
4.07*10-6 |
4.16*10-7 |
7. |
połączenie |
2.05*10-6 |
2.10*10-7 |
8. |
szeregowe |
2.05*10-6 |
2.18*10-7 |
9. |
|
2.05*10-6 |
2.32*10-7 |
10. |
połączenie |
8.04*10-6 |
7.50*10-7 |
11. |
równoległe |
8.22*10-6 |
9.77*10-7 |
12. |
|
8.45*10-6 |
1.25*10-6 |
4. Przykładowe obliczenia
a)
b) obliczanie impedancji cewki bez rdzenia i z rdzeniem
c) obliczanie oporu omowego R cewki
d) obliczanie współczynnika samoindukcji cewki L
e) obliczanie pojemności kondensatora
5. Rachunek błędów i dyskusja wyników
W celu wyznaczenia błędów popełnionych w czasie pomiaru impedancji różniczkujemy wzór względem uL i iL
W celu wyznaczenia błędów popełnionych w czasie pomiaru oporu omowego R różniczkujemy wzór względem UL i IL
Aby wyznaczyć błędy popełnione w czasie wyznaczania współczynnika samoindukcji L różniczkujemy wzór względem Z i R
W celu wyznaczenia błędu popełnionego w czasie pomiaru pojemności kondensatora wzór różniczkujemy względem iC i iC
Dyskusja wyników
Ćwiczenie miało na celu wyznaczenie współczynnika indukcji własnej L cewki oraz pojemności kondensatora. Po wykonaniu pomiarów można stwierdzić, że w przypadku cewki opór indukcyjny dla napięcia stałego dla cewki z rdzeniem i bez rdzenia jest taki sam. Dla prądu przemiennego opór indukcyjny cewki zależy od tego, czy cewka posiada rdzeń czy go nie posiada.
W przypadku kondensatorów kondensator w obwodzie prądu stałego stanowi przerwę. Natomiast w obwodzie prądu przemiennego jest dodatkową SEM. Zaobserwowałem, że badane kondensatory mają taką samą pojemność. Przy łączeniu kondensatory zachowują się przeciwnie do rezystorów. Przy połączeniu szeregowym dwóch jednakowych kondensatorów ich pojemność maleje o połowę, przy połączeniu równoległym wzrasta.
Otrzymane wyniki są obarczone pewnymi błędami wynikającymi z:
- niedokładności odczytu z mierników
- niedokładności urządzeń pomiarowych
- rezystancji na połączeniach elementów i przewodów
- wpływu zewnętrznych pól elektrycznych i magnetycznych
- zaokrągleń stosowanych w czasie wykonywania obliczeń matematycznych.