1.Pierwotny stan naprężenia w górotworze Z pierwotnym stanem naprężenia mamy doczynienia w górotworze nienaruszonym działalnością górniczą, gdy górotwór jest naruszony pojawia siew wtórny stan naprężenia.

Q=γ *F*H gdzie γ- ciężar obj. Skal nadległych F- pole przekroju.W celu wyznaczenia składowych pierwotnego stanu naprężenia analizujemy elementarna cząstkę gorowtoru w kształcie sześcianu znajdującego się na głębokości H pod powierzchnia Ziemi. Załóżmy ze rozmiar Ziemi jest plaska a nad sześcianem jest slup skal nadległych poddanych działaniu sil ciężkości. Na cząstkę wywierane jest obciążenie Q. jego składowe pierwotnego stanu naprężenia: a) pierwotne ciśnienie pionowe: pz= (Q/F)=

((γ*F*H)/F)= γ*H.Strop elementarnego sześcianu jest poddany działaniu ciśnienia, to samo dzieje się ze spągiem,, ciśnienie pionowe w górotworze nienaruszonym nazywane jest 2.ciśnieniem pierwotnym. pz= -γ*H (ściskanie) Średni ciężar objętościowy skal nadległych γ=2,5*10 ⁴ N/m ³ =25 kN/ m ^{3 ;} pz= -2,5*10 ⁴

*H. ∆pz=2,5*10 ⁴*100=2,5*10⁶Pa=2,5MPa; ∆pz/100m≈2,5MPab) pierwotne ciśnienie poziome:

Pod wpływem ciśnienia sześcian doznaje odkształcenia podłużnego czyli jego wysokość zmniejsza się, a wydłużają krawędzie poziome. możliwe jest to podczas jednoosiowego ściskania. W górotworze jednak obok elementarnego sześcianu są podobne sześciany. Jeżeli przyjąć ze w kierunku poziomym górotwór jest jednorodny, wówczas sąsiednie sześciany maja podobna tendencje do odkształcania. W rezultacie nie dochodzi do odkształcenia na boki.εx=0 , εy=0 , εz ≠0 skoro nie dochodzi do odkształcenia elementów sześcianu oznacz to ze oprócz ciśnienia pionowego pz działają jeszcze ciśnienia poziome px i py. Dla górotworu odpowiadającemu prawu Hookea εx= [1/E [px-ν(py+pz)]]=0 jeżeli przyjmiemy ze odkształcenie ma być równe 0 to px-ν(py+pz)=0. Zakładamy izotropie w pł. poziomej ,możemy przyjąć px=py { px-ν(py+pz)=0 ; px=py Z układu równań wynika ze ciśnienie poziome działające na boczne ścianki elementu sześcianu wynosi :px=py=( ν/(1-ν))*pz ; px=py=((1/(1/ν)-1)*pz; 1/ν= m ;px=py=(1/(m-1))*pz 3.Składowe pierwotnego trojosiowego stanu naprężenia: pz= -γ*H ; px=py=(1/(m-1))*pz ;Wprowadźmy pojecie 4.współczynnika rozporu bocznego : λ=(1/(m-1)) gdy wprowadzimy do pierwotnego stanu naprężenia otrzymujemy px=py=λ*pz ; λ=(px/pz) .Przy braku izotropii w płaszczyznach poziomych: px=λx*pz ; py=λy*pz . Zapis ten pozwala ocenić stan naprężenia gdy górotwór odpowiada nie tylko modelowi Hookea ale i innym modelom np.Dla górotworu ziarnisto-sypkiego λ=tg²(45-(ϕ/2)) dla ϕ=30 stopni λ∼0,3 W tym przypadku ciśnienie poziome wynosi 30 % pierwotnego ciśnienia pionowego bo

λ=(px/pz). 1) mała głębokość λ∼0,1 m~12 ;px=λ*pz =0,1 pz 2) duża głębokość λ∼1 , m~2 ; px=λ*pz=1pz ; px=py=pz=p .Dla dużej głębokości mamy do czynienia ze 5.stanem geostatycznym ( ciśnienie we wszystkich kierunkach jest takie samo im bliżej powierzchni Ziemi zbliżamy się do jednoosiowego stanu ściskania

Pierwotny stan naprężeń można opisać 6.Tensorem naprężenia

W przypadku gdy uwzględnimy anizotropię px=λx*pz , py=λy*pz

W wielu rejonach kuli ziemskiej naprężenia w skalach są suma Tensorową naprężeń geostatycznych i tektonicznych, powstaje wówczas trójosiowy stan naprężeń w którym naprężenia główne są rożne i rożna jest orientacja ich osi. Występowanie naprężeń poziomych większych od pionowych jest charakterystyczne dla rejonów aktywnych tektonicznie. Z badan wynika ze wartości naprężeń poziomych px mogą być większe od wartości naprężeń pionowych pz nawet1,5-6 razy. Wartość współczynnika rozporu bocznego λ w zależności od głębokości H zmienia się w granicach: λ= (100/H)+0,3 ; λ= (1500/H)+0,5 czyli dla głębokości H=1000 λ zmienia się od 0,4 do 2.

7.Pierwotny stan odkształcenia górotworuPierw. st. napr. jest stanem przestrzennym, natomiast odkształcenia jest jednoosiowy tzn. ściskania odbywają się tylko w jednym kierunku(osi z) εx= εy=0; εz≠0 wówczas tensor odkształcenia:

Pierwotnemu trójosiowemu stanowi naprężeń w górotworze nienaruszonym, przy braku możliwości odkształceń poziomych towarzyszy jednoosiowy stan odkształceń wartość pierwotnych odkształceń .poziomych określamy:εz= [1/E [pz-ν(px+py)]] dla górotworu Zwięzłego uwzględniając ze px=py=( ν/(1-ν))*pz otrzymuje się: εz =[1/E*((1-ν-2ν²)/(1-ν)]*pz ; : εz=[1/E*((m²-m-2)/(m²-m))*pz]Uwzględniając ze pz=-γ*H otrzymuje się odkształcenie pionowe pierwotne w górotworze nienaruszonym εz=(-γ/E) *((1-ν-2ν²)/(1-ν))*H ; εz=f(H)- funkcja głębokości ; ν=ψ(H) Zależność odkształcenia pionowego εz od głębokości jest zależnością krzywoliniowa

8.Stan naprężenia górotworu w otoczeniu wyrobisk korytarzowych (tuneli)

Wykonanie w górotworze wyrobiska (tunelu) powoduje zmianę pierwotnego stanu naprężenia i odkształcenia. Na odkrytych ścianach wyrobiska siły powierzchniowe są równe 0, co jest powodem odkształcenia się górotworu w kierunku wolnej przestrzeni, odkształcenia te jednak mogą być ograniczone reakcją założonych w wyrobisku obudowy, uwzględniając głębokość można sądzić o znacznej koncentracji naprężeń pionowych jakie mogą wystąpić w ścianach bocznych tunelu. Naprężenia pionowe w stropie i spągu wyrobiska w skutek odkształceń górotworu będą miały wartość mniejsza od składowej pionowej ciśnienia pierwotnego. Składowe poziome naprężeń panujących w górotworze w sąsiedztwie wyrobiska porównywalne sa ze składowymi poziomymi ciśnienia pierwotnego. Wykazują tendencje odwrotne w ścianach bocznych (ociosach), charakterystyczny jest spadek naprężeń poziomych. W stropie i spągu natomiast następuje ich koncentracja. Gdy w górotworze nienaruszonym poprzez wykonanie wyrobiska lokalnie naruszymy stan naprężenia ,to w skutek wykonania tego wyrobiska, zaburzenia te nie rozprzestrzenią się w nieskończoność. Powyższe zagadnienie jest zasada de Saint Venata. Jeśli lokalnie zaburzymy istniejący np. pierwotny stan naprężenia w górotworze, to skutki tego zaburzenia będą zanikały wraz ze wzrostem odległości od miejsca zaburzenia. Na ogol w mechanice górotworu przyjmuje się ze skutki zaburzenia zanikają w odległości równej około 5krotnym wymiarom wyrobiska czy tunelu.

Przez tunel w mechanice górotworu rozumie się wyrobisko o stacjonarnych ścianach bocznych (ociosach) którego długość L (przekroju podłużnego) może przekroczyć wymiar przekroju poprzecznego. 9.Redystrybucja naprężeń:

Wnioski: można stwierdzić ze 1) w stropie i spągu następuje spadek naprężeń pionowych a na samej linii stropu i spągu nawet do 0 (następuje odprężenie) 2) w ociosach występuje wzrost naprężeń pionowych czyli koncentracja naprężeń, oraz spadek naprężeń poziomych na samych ociosach 3) w dostatecznie dużej odległości od wyrobiska panuje stan pierwotny czyli tak jakby wyrobisko nie zostało wykonane.

W zasadzie górotwór z wyrobiskiem korytarzowym powinien być rozpatrywany jak układ przestrzenny, w uproszczeniu wystarczy rozważyć układ płaski, w przekroju prostopadłym do osi podłużnej wyrobiska. Przyjmując ze wyrobisko ma bardzo dużą długość w porównaniu z wymiarem przekroju poprzecznego. Z górotworu wycinamy wiec tarcze dostatecznie duża w stosunku do przekroju wyrobiska. W środku tarczy usytuowany jest otwór odpowiadający przekrojowi poprzecznemu wyrobiska. Tarcza obciążona jest na krawędziach składowymi ciśnienia pierwotnego górotworu px,pz. Rozpatrujemy wiec plaski stan odkształcenia 10.Stan naprężeń wokół wyrobiska o przekroju kołowym

Przyjmujemy ze górotwór odpowiada modelowi Hookea, jest to sprężysta tarcza z otworem kołowym, dla takiego układu wykonujemy znane z teorii sprężystości związanie przez Kirscha. Naprężenia radialne:

Obwodowe:

Styczne:

Każda ze składowych naprężeń jest funkcja pz i px które zależą od głębokości. Względna odległość liczona jest w stosunku do promienia i współrzędnej ϕ.

σ=f(pz(H),px(H),a/r),ϕ) Z pośród wszystkich punktów na tarczy najbardziej istotne są te które są na konturze wyrobiska, czyli dla r=a.Rozpatrujemy 2 przypadki gdy 1)px=0 ; pz≠0 mała głębokość 2) px≠0; pz≠0 duża głębokość .Przypadek dla r=a; a/r=1 otrzymuje się dla wszystkich punktów na konturze wyrobiska następujące wartości naprężeń { σr=0 ; σt=pz(1+2cos2ϕ) + px(1-2cos2ϕ) ; τ=0}Naprężenia radialne na konturze czyli normalne do konturu wyrobiska bez obudowy są = 0. Naprężenia zaś normalne do konturu, dla wyrobiska nie obudowanego tez są = 0 tak jak naprężenia styczne. Jedynie naprężenia obwodowe σt są funkcją głębokości, kąta ϕ. Napr.w stropie lub spągu wyrobiska (czyli dla ϕ=90 stopni lub ϕ=270 stopni) σt= -pz+3x oznacza to że mogą wystąpić naprężenia sciskające,względnie rozciągające lub będą wynosiły 0 zalezy od współczynnika ν oraz współczynnika rozporu bocznego. a) |pz| > 3, |px|;m>4 lub λ<1/3 ; px=(1/(m-1))*pz=λpz; b) |pz| = 3 |px| ; m=4 lub λ=1/3 ; σt=0

c) |pz|< 3 |px| ; m<4 lub λ>1/3. W 1 przyp. wystepuja napr. rozciągające chartka. Dla małej odległości,w 2 przyp.napr. obwodowe sa rowne 0,charakterystyczne dla śr.głebokosci,w 3 przypad. naprężenie obwodowe będzie tego samego znaku co cisnienie,czyli występują wtedy naprężenia ściskające charakterystyczne dla dużej głębokości.Przekrój kołowy dla małej głębokości nie jest przekrojem korzystnym występuje bowiem wtedy naprez. Rozciągające, bardziej korzystny dla dużej głębokości.W ociosach wyrobiska(ϕ=0 stopni lub ϕ=180) σt=3pz-px, naprężenia obwodowe zawsze występują jako nprezenia ściskające px=0 to σt=3pz; px=pz to σt=2pz W ociosach występują wiec naprężenia pionowe o koncentracji: σt= od 3pz do 2pz. Wykres rozkładu naprężeń w stropie o przekroju kołowym:

Dla px<(1/3)*pz, r=a; σt= -pz+3px ; gdy px=(1/3)*pz to σt=0; gdy px=0 to σt= -pz

Gdy stan naprężeń wokół wyrobiska jest geostatyczny, czyli: px=py=pz=p, otrzymuje się rozwiązanie: σt= p[1+(a/r)²]; σt= p[1-(a/r)²]; τ=0

Rozpatrujemy przykł. gdy wyrobisko narażone jest na działanie ciśnienia wew. p^'

Wzory na naprężenia obwodowe i radialne przyjmują postać: σt= p+(p-p^')*(a/r)²; σt= p-(p-p^')*(a/r)². Przemieszczenie radialne dla dowolnego pktu. określa zależność:

Ur=((3*a²)/(2*E*r))*(p-p^'); gdy r=a Ur=((3*a)/(2*E))*(p-p^')

11.ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ WOKÓŁ WYROBISKA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

Na brzegach tarczy pierwotny stan naprężenia odpowiada modelowi Hooke'a. Zgodnie z rozwiązaniem podanym przez Savina i Morgajewskiego w sąsiedztwie wyrobiska o wysokości W i szerokości L ekstremalne wartości naprężeń pojawią się na konturze: -w ociosach σ_x=0 i σ_z=(1+α)p_z-p_x; -w stropie i spągu σ_x=(1+β)p_x-p_z i σ_z=0; α,β to współ czynniki kształtu zależne od L/W

L/W	50:1	20:1	5:1	1:1	1:5	1:20	1:50
α	17,0	4,00	2,00	0,84	0,2	0,02	0,01
β	0,01	0,02	0,2	0,84	2,00	4,00	17,0

Wielkości naprężeń nie zależą od pola przekroju wyrobiska, lecz należą od stosunku L/W. Nie projektuje się tuneli o L/W 50:1. Przekrój taki jest bowiem bardzo niekorzystny, bo występują tam naprężenia rozciągające. Wyrobisko ma kształt poziomej szczeliny. Najlepiej byłoby wykonywać tunele o stosunku 1:50. Wtedy występują tylko naprężenia ściskające. Wyrobiska ma kształt pionowej szczeliny. W rzeczywistości projektuje się wyrobiska o wymiarach pośrednich.Z analizy wzorów na σ_x i σ_z wynika, że w ociosie p_z≥p_x dlatego σ_z to naprężenia ściskające.W stropie mogą wystąpić 3 przypadki:1. gdy występuje σ_x wówczas mamy do czynienia z naprężeniami rozciągającymi; 2. gdy σ_x=0, 3. gdy σ_x to naprężenia ściskające.Zależy to od stosunku p_z do p_x oraz od współczynnika β. Dla małej głębokości i L/W=50:1 koncentracja naprężeń w ociosach jest 18-krotnie większa od p_z. Natomiast w stropie naprężenia poziome σ_x= - p_z czyli naprężeniom rozciągającym. Na większej głębokości, gdy p_z =p_x naprężenia rozciągające zanikają. W ociosach wyrobiska prostokątnego zawsze występuje koncentracja naprężeń ściskających. Natomiast w stropie występuje naprężenie rozciągające.

Strop ocios

Tunel o przekroju prostokątnym nie jest dobrym rozwiązaniem. Prostokąt ma ostre naroża. Nie jest korzystne wykonywanie wyrobiska o dużym stosunku wysokości do szerokości, należy więc projektować wyrobiska tak, aby σ_x rozciągające były jak najmniejsze.

12.ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ WOKÓŁ WYROBISKA O PRZEKROJU ELIPTYCZNYM

Zgodnie z rozwiązaniem Hubera ekstremalne wartości naprężeń występują w wierzchołkach elipsy. Dla I-I: σ_x=-p_z+(1+2*a/b)p_x, σ_z=0; dla II-II: σ_x=0, σ_z=-p_x+(1+2*b/a)p_z; Rozkład naprężeń w sąsiedztwie wyrobiska eliptycznego:

W zależności od stosunku a/b wyróżniamy różne kształty wyrobiska o przekroju eliptycznym: 1. a/b małe

Naprężenia w stropie są rozciągające, a w ociosach występuje duża koncentracja naprężeń pionowych ściskających 2. a/b wzrasta, wtedy w stropie naprężenia rozciągające maleją, a w ociosach maleją też naprężenia ściskające, 3. a/b takie, że σ_x=0 zanikają naprężenia rozciągające w stropie, wówczas w ociosach naprężenia dalej maleją: σ_x=-p_z+(1+2*a/b)p_x=0, a/b=1/2[(p_z/p_x)-1]. Uwzględniając p_x/p_z=1/(m-1)=λ to a/b=(m-2)/2 lub a/b=1/2[(1/ λ)-1]. Dla wartości a/b=(m-2)/2 w stropie zanikają naprężenia rozciągające, 4.a/b dalej wzrasta

czyli elipsa wydłuża się w kierunku pionowym. W stropie zaczynają wzrastać naprężenia ściskające poziome, natomiast w ociosach dalej maleją napr. Ściskające. 5.a/b takie, że σ_z w stopie i w ociosach są takie same: -p_z+(1+2*a/b)p_x=(1+2*b/a)p_z-p_x, a/b=-p_z/p_x=m-1=1/ λ.Przekrój eliptyczny jest korzystny dla wyrobiska korytarzowych pod warunkiem dobrania odpowiedniego stosunku a/b. Najkorzystniejsze przypadki to takie, gdy zanikają naprężenia rozciągające w stropie i spągu, a w ociosach występują jednakowe napr. Ściskające: gdy a/b=p_z/p_x to σ_x= σ_z=p_x+p_z.Najkorzystniejsze wartości naprężeń sąrówne sumie napr. Pierwotnych. Korzystne jest wykonanie przekroju eliptycznego, bądź zbliżonego do eliptycznego, gdy a/b=(m-2)/2.Natomiast najkorzystniejszy przypadek gdy a/b=m-1.

Korzystne kształty elipsy w zależności od głębokości:1.mała głębokość m≅12, dla a/b=(m-2)/2=5, dla a/b=m-1=11, 2. średnia głębokość m=4, dla a/b=(m-2)/2=1(koło), dla a/b=m-1=3, 3. duża i b. dużą głęb. m=2, dla a/b=(m-2)/2=0 dla a/b=m-1=1 (koło).Wielkość napr. W wyrobisku eliptycznym nie jest zależna od przekroju (wielkości), lecz od stosunku półosi elipsy. Przekroje o dużej szerokości są niekorzystne. Korzystne są przekroje, w których wysokość jest większa od szerokości. Wówczas zanikają napr. Rozciągające tak niebezpieczne dla skał, a napr. Ściskające osiągają umiarkowane wielkości niezależnie od wielkości przekroju.

13.TEORIA SKLEPIENIA CIŚNIEŃ

Zakładamy, że w górotworze wykonano o niekorzystnym kształcie czyli wydłużone w kierunku poziomym. Dopóki wyrobisko będzie nieobudowane naprężenia pionowe w stropie σ_z=0, a naprężenia poziome σ_x będą naprężeniami rozciągającymi. Ponieważ skały są mało odporne na rozciąganie, dlatego naprężenia rozciągające często przekraczają granicę wytrzymałości skał stropowych na rozciąganie. Dochodzi wówczas do spękania skał co powoduje, że naprężenia poziome w stropie spadają do zera, a w dostatecznie dużej odległości σ_z=R_r.Wokół wyrobiska powstaje więc strefa odprężona. Część skał opadnie do wyrobiska, które przyjmuje optymalny kształt. Linia w stropie jest rysunkiem geometrycznych punktów, gdzie nie jest przekroczona granica wytrzymałości na rozciąganie. Strop pierwotnie płaski stanie się stropem w kształcie sklepienia, które nosi nazwę SKLEPIENIA CIŚNIEŃ.W wyrobisku o niekorzystnym kształcie dokonuje się więc samoczynnie proces zmiany kształtu, co prowadzi do wystąpienia w otoczeniu wyrobiska strefy spękań(strefy odprężonej).Wysokość strefy odprężonej można określić z zależności dla wyrobiska eliptycznego. Naprężenie poziome w stropie jest równe: σ_x=-p_z+(1+2*a/b)p_x=R_r czyli a/b=1/2*[(p_z/p_x)-1+(R_r/p_x)]. Uwzględniając że p_x=p_z*1/(m-1)=λp_z, Otrzymujemy:a/b=1/2[(m-1)(R_r/p_z)+m-2] lub a/b=1/2[(1/λ)(1+R_r/p_z)-1].

Gdy na przekroju wyrobiska opisze się elipsę o stosunku półosi a/b jak we wzorze, wówczas wycinek elipsy zawarty między wierzchołkiem elipsy w stropem stanowi strefę, gdzie skała jest odprężona i może opadać do wyrobiska: a=1/2[(m-1)(R_r/p_z)+m-2]b lub a=1/2[(1/λ)(1+R_r/p_z)-1]b. Wysokość sklepienia ciśnień f zależy można obliczyć z zależności geometrycznej f=a-W/2. Przyjmując, że b≅1/2*L wówczas półoś można określić z zależności a=1/4[(m-1)(R_r/p_z)+m-2]L lub a=1/4[(1/λ)(1+R_r/p_z)-1]L, przyjmując że p_z=-γH otrzymujemy: a=1/4[(1-m)(R_r/γH)+m-2]L lub a=1/4[(1/λ)(1-R_r/γH)-1]L.Półoś a jest wprost proporcjonalne do szerokości wyrobiska. Im szersze wyrobisko tym wyżej sięga strefa odprężona. Im skały są słabsze (mniejsze R_r) tym wyższa jest strefa odprężona. Gdy wyrobiska będzie stało bardzo długo to przyjmie ono kształt taki dla którego: a/b=p_z/p_x=m-1=1/λ. Gdy w stropie przekroczona zostanie wytrzymałość na rozciąganie R_r, a w ociosach R_c to wyrobiska przyjmie taki kształt, aby: σ_x= σ_z=p_x+p_z. Dla wyrównania naprężeń ściskających a=b/λ, zakładając że b≅L/2 przyjmujemy: a=L/(2 λ). Jeżeli wyrobisko jest na małej głębokości to λ≅0,1 wówczas a≅5L 14.STAN NAPRĘŻENIA W SĄSIEDZTWIE WYROBISKA SZYBOWEGO

Szyby podobnie jak tunele mają nieduży przekrój poprzeczny. Dominującym ich wymiarem jest długość (głębokość). Problemy związane z wyrobiskami pionowymi można rozpatrywać jako zadanie płaskie (wycinając myślowo elementarną warstwę poziomą z otworem szybowym). Górotwór z pionowym szybem, czy otworem wiertniczym stanowi problem przestrzenny. Obciążenie bowiem wzdłuż osi nie jest stałe, ciśnienie boczne zmienia się z głębokością.

--brzegi tarczy obciążone są składowymi poziomymi ciśnienia pierwotnego. Ze względu na znaczny wymiar wyrobiska w kier osi pionowej w stosunku do wymiarów poprzecznych mamy do czynienia z płaskim stanem odkształcenia ε_z=0. Natomiast stan naprężenia sprowadza się do kołowo symetrycznego. Dla układu wartości naprężeń: 1. obwodowe σ_t=p_x(1+a²/r²)=[-γH/(m-1)](1+a²/r²), 2. radialne σ_r= p_x(1-a²/r²)=[-γH/(m-1)](1-a²/r²), 3. pionowe σ_z=υ(σ_r+σ_t).

Przyjmujemy, że na brzegu otworu nie działają od środka żadne siły zewnętrzne. Warunki brzegowe: w odległości nieskończenie dużej od szybu r→∞, σ_r=σ_t=p_x=p_y, W konturze szybu (r=a) istnieje możliwość odkształceń σ_r=0

15.WYROBISKO TUNELOWE W GÓROTWORZE NIEJEDNORODNYM

Zakładamy, że górotwór składa się z 2 warstw o modułach E₁ i E₂. Tunel wykonano w warstwie drugiej. Ma on przekrój kołowy o promieniu a. Grubość drugiej warstwy ponad wyrobiskiem wynosi h. N układ działa wszechstronne równomierne ciśnienie p. 1. zakładamy E₁<E₂ W tym przypadku warstwa górna przenosi prawie w pełni ciśnienie wzdłuż linii granicznej na warstwę drugą niezależnie od grubości półki. Warstwę drugą można uważać za półpłaszczyznę z otworem kołowym. Wielkość naprężeń zależna jest w analizowanym rozwiązaniu od obciążenia p i współczynnika n, n=[(a+h)/a]-pierw.{[(a+h)/a]²-1}, Naprężenia poziome: -w punkcie A: σ_x=[p/(1-n²)²]*[(1-n²)²+16n²], -naprężenia w pkt. B i C obwodowe na brzegu otworu: σ_t=2p, w pkt D i E gdzie 0<ϕ<90, σ_t=2p[(1+n²)/(1-n²)]²-naprężenia osiągają wartości ekstremalne. Szczególne przypadki: 1. n<0,318 max naprężenia w pkt D i E -półka jest gruba, 2.n>0,318 max naprężenia w pkt A- półka jest cienka. Zakładając, że a/n=2, n=(3/2)-pierw.[(9/4)-1]=0,39; pkt.A → σ_x=(P/0,72)*[0,72+2,4]=4,33*p; pkt.D i E → σ_t=2p*[(1+0,15)/(1-0,15)]^2=3,64*p. Największe jest naprężenie w pkt. A gdzie wielkość jego jest przeszło 4-krotnie większe od p. gdy stosunek (a/h) będzie wzrastał, tzn. im cieńsza będzie półka tym napr.będą większe. 2. odmienny obraz otrzymamy, gdy E₁>E₂. Przy cienkiej półce skały mają zdolność odkształcania się do wyrobiska. Warstwa górna mająca duży moduł spr. już przy małych odkształc. odpręży się w całości i wskutek tego ciśnienie wywierane przez nią na półkę będzie minim. wlk.naprężeń w półce i będzie mała. Mniejsza niż w ukł. jednorodnym.

16.OBCIĄŻENIE CZYNNE (STATYCZNE) OBUDOWY TUNELU:

Podst.zadaniem stawianym przed mech.górotw. jest utrzymanie stateczności wyrobisk, przez które rozumiemy zapewnienie wymaganych gabarytów wyrobisk w całym okresie ich użytkowania. Spełnienie tego warunku możliwe jest przez właściwy dobór obudowy. Można tego dokonać poprzez przyjęcie modelu zjawiska zachodzącego w górotworze w wyniku wykonania wyrobiska. W każdym przypadku należy określić wielkość obciążenia na obudowę które często nazywa się ciśnieniem górotworu. W pierwszych pracach (rozwiązania) dotyczące obciążenia czynnego przyjmowano że w stropie wyrobiska powst. naturalne sklepienie w granicach którego skały są zniszczone, a ich ciężar określa się: Q=γ*F*1, F=(2/3)*L*h-pole odc.elipsy=polu odcinka paraboli. Pierwotnie przyjmowano: Q=(2/3)*γ*l*h(h-wys.strzałki sklepienia).

17.METODA PROTODJAKONOWA:

Kształt sklepienia określa się z warunku równowagi linii ciśnienia, z sumy momentów względem pkt.C : M=(T*y)-(1/2)*(q*x^2); y=(q*x^2)/(2*T ),gdzie: T-siła osiowa w strzałce sklepienia, q-ciśn.pochodzące od ciężaru nadkładu, x,y-współrzędne. Sklepienie naturalne ma kształt paraboli 2-stopnia. Oddział tego sklepienia można rozłożyć na skł.P i T(pozioma). Skł.pozioma powoduje przemieszcz.pkt.A w lewo czemu przeciwdziała tarcie; μ*P, gdzie μ-wsp.tarcia wewn. μ=tgϕ, P=q*a,z rzutu sił na kierunek poziomy wynika że równowaga w pkt.A sklepienia wystąpi gdy: T+τ*h= μ*q*a → T=(q*a^2)/(2*h),gdzie τ-obciążenie równomiernie rozłożone skierowane w str.sklepienia; τ*h-siła charakt.opór przesuwu. Po podstawieniu: (q*a^2)/(2*h)+τ*h=μ*q*a; τ=(μ*q*a/h) - (q*a^2)/(2*h^2 ),porównujemy I-pochodną równania względem h do zera,po rozwiązaniu: (a - μ*h)=0 →h=a/μ. Wysokość sklepienia naturalnego =się ilorazowi połowy szerokości wyrobiska przez współ.tarcia. Metoda znajduje zastos. do ośrodków rozdrobnionych.Protodjakonow uogólnił też teorię do skał zwięzłych wprowadzając w miejsce wsp.tarcia WSKAŹNIK ZWIĘZŁOŚCI: f ≅ 0,1*Rc,gdzie Rc-wytrzym. doraźna skał na ściskanie[MPa].Obciążenie pochodzące od ciężaru skał nadległych oddziaływujące na 1m dł.wyrobiska: Q=(2/3)*2a*h*γ=(4/3)*γ*(a^2/μ),czyli obciąż.przypadające na jedne odrzwia obudowy gdy krok obudowy(rozstaw) jest równy l i wynosi: Q=(4/3)* γ*(a^2/μ)*l -nie ma nic o wł.ośrodka. Obciążenie obudowy wzrasta z kwadratem szerokości wyrobiska nie można zwiększyć wys.wyrobiska którą obudowa jest w stanie przenosić.

18.METODA SAŁUSTOWICZA:

Na konturze wyr.prostokątnego opisana jest elipsa o stosunku półosi: a/b=n. Przyjmuje on że przekrój strefy odprężonej jest odcinkiem paraboli. Ciężar strefy odpręż.przypadający na 1m dł.wyrobiska wynosi: Q=(2/3)*l*h*γ*s, h=a - (W/2), dla wyznaczenia wartości a i b wykorzystuje się równ.na stosunek półosi elipsy: (a/b)=(1/2)*[m - 2 + (m - 1)*(Rr/p_z)] oraz równanie elipsy: [(z^2)/(a^2)]+[(x^2)/(b^2)]=1. po podstawieniu wartości z=(W/2), x=(l/2) ,h=(a/b),b=(a/h), uzyskuje się wzór na półoś a: a=pierw.{[(W/2)^2]+ (n^2)*[(l/2)^2]}.Znajomość wart.a pozwala określić wysokość strefy odprężanej - h, a następnie obc.na obudowę Q na 1m dług.wyrobiska.Z analizy wzoru wynika,że obc.na obudowę uzależnione jest od głębokości, na której znajduje się wyrobisko jak również wytrzymałości skały stropowej na rozciąganie oraz odwrotności współc.Poissona skały,ciężaru tej skały i wymiarów wyrobiska.

19.METODA CYMBARIEWICZA:

Uwzględnił on oprócz obciążenia stropowego również ciśnienie boczne. Wdłg.niego oprócz strefy odprężanej w stropie powstaje strefa odprężana wokół ociosów.Kształt powst.sklepienia stanowi wycinek paraboli DEF,którego np. CEF=h=CE/tgϕ. Obciążenie pionowe pochodzi od skał zawartych w strefie górotworu A'GB'H, a obc.poziome po pł.poślizgu AD i BE. Podstawa strefy odpręż.w stropie wynosi L=2a+2W*tg[45⁰ - (ϕ/2)].obciążenie dla sklepienia w kształcie wycinka paraboli równe jest: Q=(2/3)*l*h*γ. Dla sklepienia w kształcie Δ - z czym można się spotkać w górotw.uwarstw. obciąż.na obudowę przypada na jedn.dług.wyrobiska i wynosi: Q=(l/2)*h*γ; h=(a/2f),gdzie f-wsk.zwięzłości skały.Rozkład ciśnienia bocznego zależy od wymiarów wyr.przy czym przy stropie: p_xmin=γ*h'* tg^2[45⁰ - (ϕ/2)]=λ*γ*h', przy spągu; p_xmax= γ*(h'+W)* tg^2[45⁰ - (ϕ/2)]=λ*γ*(h'+W),średnia wart.obciążenia poziomego wynosi: p_xśr=(p_xmin+p_xmax)/2. W tej metodzie nie wzgl.się gł.posadowienia wyrobiska chociaż uwzględnia się zniszcz.skał wskutek przekroczenia ich wytrz.na całym konturze wyrobiska. 20.METODA BIERBAUMERA:

Według niego cieśn.stropowe dział.na obudowę równe jest ciężarowi słupa skały o podst.równej szerokości wyrobiska i wysokości równej odległ.wyr.od pow.ziemi : P=γ*H*l*1. NA pł.AB i CD dział.siły tarcia przeciw działania przesuwania się skał. Siły te są wynikiem dział.ciśnienia poziomego w górotw. p_x=λ*p_z; λ=1/(m-1); T=μ*λ*p_zśr.*H; μ=tgϕ; p_zśr.=(1/2)* μ*λ*γ_.*(H^2); Według niego obciążenie obudowy jest równe ciśnieniu stropowemu pomniejszonemu o wielkość siły tarcia: Q=P - 2T; p=γ*V; Q= γ*H*l - μ*λ*γ*(H^2). Metoda ta uwzględnia wpływ głębokości na wielkość ciśnienia na obudowę : Q=f(H),dla H=0→Q=0, dla H=(l/λμ) →Q=0, dla H=[1/(2λμ)] →Q=(1/4)*(γ*l^2)/(λμ).Wynika z tego że teoria jest słuszna w zakresie głębokości: 0≤H≤[1/(2λμ)],przy czym max.obciążenie wynosi: Q_max=(1/4)*(γ*l^2)/(λμ).Wzór jest ważny gdy H nie jest dużo większe od l - praktycznie H ok.25m. Na większej głębokości wystąpi sklepienie ciśnień i wówczas : Q=(γ*l)/(2tgϕ).21.METODA KŁECZKA:

Metoda łączy teorię Sałustowicza i Cymbariew. Oś pozioma elipsy sklepienia ciśnień została powiększona w stos.do szerokości wyrobiska o dwa odcinki których wielkość zależy od wysokości wyrobiska: b=l+z*(W/2)*ctg[45⁰ + (ϕ/2)], stosunek pół osi elipsy: (a/b)=(l/2)*[m-2+(m-1)*(Rr/p_z)]; a={l+w*ctg[45⁰ + (ϕ/2)]}*[(Rr+p_z-p_x)/(2p_x)]wykorzystujemy równanie elipsy: [(z^2)/(a^2)]+[(x^2)/(b^2)]=1; dla x=(l/2); z=(a/2)*pierw.{1- (l/b)^2}; obciążenie stropu wyrobiska ze strony sklepienia: Q=γ*{l*[2 - (h/2)]+(2/3)*l*[(a/2) - z]}; Q=γ*l*{[(2+a)/3]-(W/2)}; obciążenie poziome w ociosach wyrobiska: a0=(λγ/2)*{[(πab)-(b-1)*w]/4 - (2/3)*l*(2+a)} metoda opisuje obciąż.statyczne na obudowę wyrobisk korytarz.a uwzględnia gł.występ.wys. oraz podstawowe parametry wytrzymał.skał. 22.METODA TERZAGHIEGO:

W teorii tej badana jest równowaga elem.górotworu znajdująca się w sklepieniu wyrobiska prostokątn.posiadającego wymiar poziomy l i wymiar pionowy dz. Rozpatrywany element znajduje się w stanie równowagi pod działaniem następ.obciążeń: - obc.pionowe nad nadkładem σ_z*l; - rcja podłoża (σ_z + dσ_z)*l; - ciężar własny l*γ*dz; - siły wewnętrzne spójności f*dz; poziome siły parcia bocznego σ_x*dz. Jeżeli parcie boczne wyrażone będzie za pomocą siły tarcia: T=σ_x*dz*tgϕ,to równanie równowagi i rzutów sił w kier.pionowym ma postać: σ_x*l - (σ_z+dσ_x)*t+l*γ*dz-2fdz-2σ_xdz*tgϕ=0;przy uwzględnieniu zależności między naprężeniem pionowym a poziomym oraz po przekształceniach: {(dσ_x)/[(1/2)*l*γ-f-λ*σ_z*tgϕ]}=(2dz/l); a po scałkowaniu i uwzględnieniu obciążenia nadkładu: σ_z={[(1/2)*l*γ-f]/(λtgϕ)}*{1-e^[(2λtgϕ/l)*z]}+{p_o* e^[(2λtgϕ/l)*z]},obciążenie pochodzące ze strony stropu a przypadające na 1m dł.wyrobiska: Q={l*[(1/2)*l*γ-f]/(λtgϕ)}*{1-e^[(2λtgϕ/l)*z]}+{p_o*l* e^[(2λtgϕ/l)*z]}. Wielkość p_o oznaczać może także ciśnienie spowodow. naporem wód podziemnych na poziomy z=0 jeżeli ciśnienie to nie występuje - p_o=0: Q={l*[(1/2)*l*γ-f]/(λtgϕ)}*{1-e^[(2λtgϕ/l)*z]}. Przyjmując że dla dużych głęb. składowa {1-e^[(2λtgϕ/l)*z]}=0, a λ=l wówczas wzór wykazuje duże podobieństwo do zależności Protodjakon. l/tgϕ-strzałka sklepienia.

23.METODA BIENIAWSKIEGO: Według niego wielkość sklepienia ciśnień nad wyrobiskiem może być określona za pomocą wzoru uwzględniającego wskaźnik jakości górotworu: h=(100-R_MR)*l/100,gdzie l-szerokość wyrob., R_MR - wskaźnik jakości górotworu. Wskaźnik ten opisuje jakość górotworu poprzez sumę mat.punktowych przypisanych poniższym parametrom: -wytrz.na jednoosiowe ściskanie Rc; - wskaźnik stopnia spękania nasypu skalnego R_QD; - średnia odległości między pł.siatki spękań; - stan pł.nieciągłości; - stopień zawodnienia masywu skalnego; - położenie pł.nieciągłości.Dla zastos.w górnictwie uwgl.się ponadto sposób drążenia wyr., stan napr. wokół wyr., wpływ czasu istnienia wyr.Obciążenie na 1m wyr. wyznacza się podobnie jak w Protodjak., najczęściej jako : Q=(2/3)*l*H*γ.24.KLASYFIKACJE GEOTECHNICZNE MASYWU SKALNEGO:Jakość górotworu może być określona za pomocą punktacji klasyf. geotechnicznych opartych na podst.danych geologicz., geomechanicz., hydrogeolog.,geofizycz.i górniczych. Na podst. sumarycz.punktacji ocenianych cech wyznacza się klasy jakości górotworu,parametry stosowane w obl.stateczności wyrobisk i dobiera się rodzaj obudowy do konkretnych warunków. Klasyf.używa się głównie do oceny przydatności masywu skalnego przy projektowaniu budownictwa podziemnego i powierzchniowego. Podst.celem klasyfik.jest dostarczenie informacj czy ukł.górotwór-budowa podziemna jest długotrwała, stateczna.

Do najbardziej znanych klasyfik.geomechanicznych masywu skalnego należą: RMR(Rock Mass Rating), Q (Rock Tuneling Quality Index). Z obu klasyfikacji uzyskuje się wartości ocen punktowych które można związać z podst.parametrami ośrodka skalnego co jest korzystne w modelowaniu numerycznym. Punktacja podst.w systemie RMR opiera się na wymienionych wcześniej parametrach w oparciu o punktacje w RMR opracowano empiryczne zależności podst.parametrów mechanicznych wykorzyst.w modelowaniu analitycznym. Moduł sprężyst.podł: Em(GPa)=2RMR*100 dla RMR>58, Em(GPa)=10*[(RMR-10)/40]dla RMR<58. Wskaźnik RDQ- opisuje procentową zawartość odcinków rdzenia większą od dwukrotnej jego średnicy -lp, w stosunku do całkowitej dł.rdzenia l: RQD=(lp/l)*100%.

Wyrobisko korytarzowe z niego próbki i mamy: 1wytrzymałość próbek skalnych 2Podzielność rdzenia wiertniczego 3Odstęp spękań 4Charakter spękań 5Zawodnienie 6Orientacja szczelin w stosunku do obciążeń

Klasyfikacja Q Bartona wykorzystuje następującą zależność:

Q=DQD/I_n* I_R/I_A*I_w/SRFEM=25logR, RQD - procentowy wskaźnik stopnia spękania górotworu, podzielnik rdzenia wiertniczego I_n - wskaźnik systemów spękań I_{R -} wskaźnik określający chropowatość powierzchni spękań I_{A -} wskaźnik określający przeobrażenie płaszczyzn nieciągłości

I_w - wskaźnik dopływu wody SRF - wskaźnik stanu naprężenia

Barton podał też zależność między wskaźnikiem Q a modułem E_M=25logQ

Uśrednione właściwości górotworu jakie uzyskuje się za pomocą klasyfikacji geotechnicznej wynikają z empirycznych ocen wielu cech górotworu. Posługiwanie się tymi klasyfikacjami wymaga doświadczenia i znajomości procesów zachodzących w górotworze. Klasyfikacja geotechniczne akceptowane są przez projektantów, pozwalają nam bowiem na częste zmiany konstrukcyjne obudowy w zależności od zmian właściwości górotworu.

25.CIŚNIENIE DEFORMACYJNE GÓROTWORU Przyczyną ciśnienia reformacyjnego jest przemieszczanie się cząstek górotworu będących na konturze wyrobiska ku środkowi przekroju przy jednoczesnym przeciwstawianiu się tym przemieszczeniom przez założoną w wyrobisku obudowę. Ciś. Def. Występuje w ośrodkach sprężystych lub sprężsto plastycznych, dla rozpatrzenia oceny ciśnienia należy uwzględnić stan naprężeń i przemieszczeń górotworu właściwościach reologicznych. Wielkość jego w dużym stopniu zależy od:- mała głębokość: wielkość ciśnienia deformującego jest niewielka, przy czym deformacja występuje prawie natychmiast po wykonaniu wyrobiska przed ustawieniem w nim obudowy. Przyjmując, że ośrodek jest sprężysty lub sprężysto-plastyczny odkształcenia są natychmiastowe i ustają zanim w wyrobisku zostanie założona obudowa.- średnia głębokość: wstępuje tu opóźniona sprężystość czy plastyczność, przemieszczenia rosną stopiowo w czasie, obudowa w tym przypadku poddana jest działaniu ciśnienia statycznego i reformacyjnego przy czym osiąga ono wartości umiarkowane- duża głębokość: odkształcenia rosną w sposób nieograniczony, zachowanie się górotworu odpowiada ośrodkowi spreżysto-plastyczno-lepkiemu, w których przemieszczenia osiągają duże wartości. Również ciśnienie takiego ośrodka na obudowę osiąga duże wartości. Ciśnienie reformacyjne jest więc więc funkcją czasu a jego wielkość wzrasta od zera do pewnej wartości końcowej stopniowa wraz z upływem czasu, zmiany w czasie zależne są więc od własności górotworu i charakterystyki obudowy Δa=u=3a/2E*(p-p₀) dla wyrobiska o przekroju kołowym przemieszczenia dowolnego punktu obwodu określa powyższa zależność a- promień wyrobiska, E- mod. Spręzyst. Podłużnej, p- naprężenie pierwotne w górotworze p=p_x=pl, p₀- oddziaływanie obudowy na górotwór(ciśnienie)Przyjmując, że p=p_x= p_y i że, v=0.5 ośrodek jest nieściśliwy E=3G, G- m. spręż postaciowej U=a/2G(p-p₀) » p₀= p-2G/a*u

Im więcej pozwolimy górotworowi się odkształcić w kierunku wyrobiska tym obciążenie obudowy jest mniejsze, u=0 p₀=A u=pa/2G p₀=0 tj pkt B na rys DD₁ -ozn obciążenie obudowy O D₁ -ozn odkształcenie obudowy(przemieszczenie górotworu)Nachylenie OD jest miarą sztywności obudowy, obudowa sztywna kąt nachylenia duży» p₀ duże, u małe Przy obudowie bardziej podatnej odcinek )E obciążenie obudowy p₀ jest mniejsze ale odkształcenie obudowy i górotworu większe Przyjmujemy,że sztywność obudowy mającej kształt pierścienia kołowego charakteryzuje współczynnik μ= E'd/a²E'- moduł sprężystości materiału z której wykonano obudowę

d-szerokość pierścienia obudowy a-promień wyrobiska Możemy napisać, że obc. Obudowy p₀ to iloczyn sztywności i obciążenia p₀=p/(1+2a/aμ)

Ciśnienie reformacyjne górotworu na obudowę zależy od: głębokośći, 2sztywności obudowy(v)(im obudowa sztywniejsza tym ciśnienie większe; od wartości odkształcenia górotworu jakie wystąpiło od wykonania wyrobiska do założenia obudowy; od modułu spręż. Postaciowej G; od promienia wyrobiska;Powyższe wnioski dotyczą sytuacji gdy ośrodek pozostaje stale w stanie sprężystym tzn. w żadnym jego pkt nie następuje przekroczenie granicy wytrzymałości 26.GOROTWÓR JAKO OŚRODEK REOLOGICZNY

W badaniach własności skał i zjawisk zachodzących w górotworze wykorzystuje się zasady reologii czyli nauki zajmującej się przebiegiem procesów odkształcenia się ciał po obciążeniu i zmianami naprężeń z uwzględnieniem czasu. Chcąc określić własności reologiczne oraz ocenić proces zniszczenia ośrodka skalnego należy określić zależności

-napręzenia-odkształcenia przy stałym czasie; -naprężenia-czas przy stałym odkształceniu; -odkształcenie-czas przy stałym naprężeniu; Najważniejszymi przejawami właściwości reologicznych ośrodka skalnego są:- zjawisko pełzania, - zjawisko relaksacji. a)ZJAWISKO PEŁZANIA

Jest to zjawisko ciągłego wzrostu odkształceń z upływem czasu przy stałych naprężeniach

Odcinek /12/ obrazuje odkształcenie , które wystąpiło po przyłożeniu obciążenia, odc/23/ przedstawia wzrost odkształcenia, które wystąpiło przy stałej wartości naprężenia czyli właściwe pełzanie, w chwili t₂ zdjęto obciążenie naprężenia spadły do zera jednakże wtedy następuje nagłe zmniejszenie odkształcenia co pokazuje odc/34/ następnie rozpoczyna się proces zmniejszania odkształceń asymptotycznie, aż do zera. Na krzywej pełzania można wyróżnić 3 stadia:I nieustalonego pełzania skały, II ustalonego pełzania skały przy stałym obciążeniu III wzrostu szybkości odkształcenia i zbliżającego się zniszczenia skały

Całkowite odkształcenie skały w dowolnym przedziale czasu to ε= ε_s+ε_p ε_s-odkszt. Sprężyste, ε_p- odkszt. Pełzania Szybkość odkształcenia określa zależność: Dε/dt=dε_s/dt+dε_p/dt [1/s] ponieważ ε_s=σ/ε A szybkość pełzania dε_p/dt=σ/η , η=E*t₀ η-lepkość, dε/dt=1/E*dσ/dt+σ/E t₀ Równanie pełzania, gdy σ=const» dσ/dt» dε/dt= σ/E t_.

b)REKLAKSACJA NAPRĘŻEŃto spadek naprężeń z upływem czasu przy stałym odkształceniu

do rys odc/56/ przedstawia naprężenie σ₀, które wystąpiło nagle gdy do próbki przyłożono obciążenie wywołujące odkształcenie, odc/67/ przedstawia spadek naprężeń zachodzących przy stałej wartości odkształcenia czyli właściwą relaksacje naprężeńW chwili t4 nagle usunięto odkształcenie przez przyłożenie naprężenia o kierunku działania przeciwnym do pierwotnego i wartości σ₀ , odc/78/ pomimo usunięcia odkształcenia a więc powrotu próbki do pierwotnej postaci występuje w niej pewne naprężenie o znaku przeciwnym do poprzedniego, tore następnie w wyniku relaksacji maleje asymptotycznie do zera czas w którym naprężenie zmniejsza się nazywamy czasem relaksacjiPełzanie i relaksacja są zjawiskami tego samego reologicznego procesu odkształcenia skały, gdy możliwe jest swobodne odkształcenie ujawnia się pełzanie; gdy odkształcenie jest ograniczone zachodzi relaksacja naprężeńZakładając, że ośrodek rzeczywisty ma cechy ciała sprężystego, lepkiego i plastycznego przyjęto dla każdej z tych cech pewne symbole:Właściwości sprężyste modeluje idealna sprężynaWłaściwości lepkie modeluje perforowany tłok poruszający się w cylindrze wypełnionym ciecząWłaściwości plastyczne modeluje suwakWYKORZYSTUJĄC ELEMENTARNE 27. MODELE REOLOGICZNE POPRZEZ ICH ŁĄCZENIE BUDUJE SIĘ SKOMPLIKOWANE MODELE CIAŁ RZECZYWISTYCH:

a) b) c) d) e)

a)ciało sprężyste Hook'a; b)ciecz lepka Newtona; c)ciało sprężysto lepkie Kalwina; d) ciało sprężysto lepkie Maxwella; e)ciało sprężysto lepkie Poytinga-Thomsona; Posługując się wyróżnionymi elementami, modelami reologia przez ich łączenie buduje bardziej skomplikowane teoretyczne modele ciał rzeczywistych. Łącząc dwa lub więcej elementów szeregowo zakłada się, że naprężenia we wszystkich połączonych elementach są jednakowe. Natomiast odkształcenia całego modelu są sumą odkształceń poszczególnych elementów. Jeżeli elementy połączone są równolegle to z kolei odkształcenia są takie same natomiast całkowite naprężenie jest sumą naprężeń panujących w poszczególnych elementach. Doświadczenia wykazuję, że modelowi Kalwina odpowiadają takie skały jak piaskowce, Maxwell-sól kamienna, łupki ilaste. Układ modeli opisujący dokładniej ciała rzeczywiste, a zatem i skały jest znacznie bardziej skomplikowany.

28. WPŁYW CZASU NA KSZTAŁTOWANIE SIĘ CIŚNIENIA DEFORMACYJNEGO: a)OŚRODEK KELWINAW ośrodku Kelvina zależność pomiędzy σ a ε określona jest równaniem:σ=Eε+ηdε/dt; Z tego σ=Eε+ηε^o,drugi człon prawej strony równania (ηε^o) ozn. Że odkształcenie nie następuje od razu po obciążeniu. Zjawisko to nosi nazwę opóźnionej sprężystości. W przypadku wyrobiska kołowego zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami jest następująca:σ_r-σ=2G(ε_r-ε)+2η(ε_r^o-ε^o)

ε_r^o= dε_r/dt, ε^o= dε/dt, ε_t^o= dε_t/dt σ_t-σ=2G(ε_t-ε)+2η(ε_t^o-ε^o) Przemieszczenia poszczególnych punktów mają kierunek radialny i są funkcjami współrzędnej τi czasu t. ze względu na przyjęty warunek nieściśliwośći

Ε=ε^o=0, ε_t+ε_r=0, u=A(t)/r Po scałkowaniu du/dr+u/r=0 Na podstawie równości poprzednich określamy odkształcenia i prędkości odkształceń:

ε_r= du/dr=- A(t)/r² ε_t=u/r= A(t)/r^{2 εro}=d²u/drdt=-1/r*dA/dt, ε_t^o= 1/r u/dt=1/r²*Da/dtPo podstawieniu wartości odkształceń ε_r, ε_t, ε_r^o, ε_t^o do wzorów otrzymujemy:σ_r=σ-(2GA+2ηdA/dt)1/r^2, σ_t=σ-(2GA-2ηdA/dt)1/r² Powyższe wartości podstawiamy do równania równowagi: dσ_r/dr+(σ_r+σ_t)/r=0; i otrzymujemy: dσ/dr+2(2GA+2ηdA/Dt)1/r³-2(2GA+2ηdA/Dt)1/r³=0 dσ/dr=0

σ=B(t) i B(t)jest funkcją zmiennej tnaprężenie radialne jest równe: σ_r= B(t)- (2GA+2ηdA/Dt) 1/r²i tak, dla r»nieskoń σ_r=p, B(t)=p, σ_r=p-(2GA+2ηdA/Dt) 1/r²Z dotychczasowych rozważan wiadomo że naprężenie na konturze wyłomu kołowego jest równe oddziaływaniu obudowy:

σ_r=a=p- (2GA+2ηdA/Dt) 1/a²σ_r=a=μu=μA/a μ= E'd/a² - sztywność obudowyE'- moduł sprężystości materiału z której wykonano obudowę

d-szerokość pierścienia obudowya-promień wyrobiskaμA/a=p-2GA/a²-2η/a²dA/dt dA/dt =[pa²-(2G-μa)A]/2η dA/=[pa²-(2G-μa)A]/2η= dt/2η

po scałkowaniu ln[pa²-(2G-μa)A]=(-2G+μa)/ 2η*t+c ,pa²-(2G-μa)A=-ce^-βt

β=(2G+μa)/ 2η, A= pa²/(2G+μa)-c/(2G+μa)*e^-βt,μ=A/a= pa²/(2G+μa)a- c/(2G+μa)a)*e^-βt,dla t=0 i u=0,c/(2G+μa)a= pa²/(2G+μa)a,c = pa²

μ= pa/(2G+μa)(1- e^-βt),A= pa²/(2G+μa)(1- e^-βt),Ciśnienie pierwotne na obudowę równe jest wartości naprężenia radialnego na konturze wyrobiska

σ_r=a=p₀=μu Po uwzględnieniu wartości na u otrzymujemy p₀=p μa/(2G+μa)(1- e^-βt)p₀=p μa/(1+2G /μa)(1- e^-βt)dla t=0 (1- e^-βt)=0

zatem ciśnienie na obudowę też jest równe 0 Wraz z upływem czasu ciśnienie to wzrasta, zmierzając asymptotycznie do wartości końcowej

p_0max=p/(1+2G /μa)

W ośrodku Kelvina pierwotne ciśnienie górotworu na obudowę wyrobiska wzrasta od 0 do wartości końcowej, która jest mniejsza od naprężeń pierwotnych. Wartość ta zależy od głębokości i sztywności obudowy. Jeśli więc zastosujemy obudowę podatną zezwalającą na odkształcenia się górotworu wówczas ciśnienie to poważnie się zmniejszy.

Parametr β jest w tym przypadku mniejszy. Dodatkowym czynnikiem działającym korzystnie jest ustawienie obudowy po upływie pewnego czasu od chwili wykonania wyrobiska. b) OŚRODEK MAXWELLA Zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami ma postać σ_t-σ=2η(ε_t^o-ε^o)-τ(σ⁰_t-σ⁰) σ_r-σ=2η(ε_r^o-ε^o)-τ(σ⁰_r-σ⁰) τ - czas relaksacji naprężeń=η/G, Powyższe równania wprowadzany do równania równowagi, dσ_r/dr+(σ_r+σ_t)/r=0

uwzględniając, że ε_r=du/dr, ε_t=u/r, u=A/r, Całkę tego równania można napisać w postaci:dσ_r/dr=4η/r³*dA/dt-τ(d²σ_r)/drdt, σ_r= B(t)+R(r)*T(t)

Postępując podobnie jak w przypadku ośrodka Kelvina,A= pa/μ(1- e^-ωt)

u= p/μ(1- e^-ωt), p₀=p(1- e^-ωt), ω=μa/(2^η+τμa), Końcowe ciśnienie na obudowę w ośrodku Maxwella zawsze równe jest wartości naprężeń pierwotnych w górotworze. Zastosowanie obudowy podatnej nie prowadzi tutaj do zmniejszenia tego ciśnienia powoduje ono jedynie powolniejszy przyrost tego ciśnienia.,Model Kelvina odpowiada takim skałą które charakteryzują się opóźnioną sprężystością. Model Maxwella zaś ośrodkom w których występuje zjawisko relaksacji. W skałach na ogół obserwuje się występowanie obu tych zjawisk równocześnie.WARUNKI TE SPEŁANIA

c) OŚRODEK POYTINGA-THOMSONA σ=2Gε+2ηε⁰+τσ⁰, (σ_t- σ)+ τ(σ⁰_t-σ⁰)= 2G(ε_t-ε)+ 2η(ε_t^o-ε^o), (σ_r -σ)+ τ(σ⁰_r-σ⁰)= 2G(ε_r-ε)+ 2η(ε_r^o-ε^o)

Odejmując stronami powyższe równania otrzymamy: (σ_t- σ_r)+ τ(σ⁰_t-σr⁰)= 2G(ε_t-ε_r)+ 2η(ε_t^o-ε_r^o), Przyjmując warunek nieściśliwości, wyznaczając przemieszczenia jako funkcje czasu oraz wykorzystując równanie równowagi wewnętrznej otrzymujemy podstawowe równanie różniczkowe, które po scałkowaniu ma postać: σ_r= B(t)+R(r)*T(t), Po wyznaczeniu warunku brzegowego dla ,dla r»nieskoń σ_r=p, B(t)=p, R=-2δ/r² , δ=(GA+ηA)/(T+τT), σ_r=μA/a, Wyznaczamy funkcje T, T= pa²/2δ-μAa/2δ

Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych uzyskujemy wartość naprężeń radialnych na obudowę wyrobiska: σ_r=paμ/(μa+2G)*(1- e^-βt), β=/(μa+2G)/(2μ+τ μa), przemieszczenia na brzegu otworu określa zależność:

u_r=a= pa/(μa+2G)*(1- e^-βt),Natomiast naprężenia w dowolnym pkt w odległości r od początku układu określa:,σ_r=p[1-a²/r²(1-α(1- e^-βt)], σ_t=p[1+a²/r²(1-α(1- e^-βt)],α=1/(1+2G/ μa),wzory

σ_r=

σ_t=

dla t=0 przyjmują taka samą wartość jak w ośrodku sprężystym

gdy t»nieskoń naprężenia zmierzają asymptotycznie do wartości

σ_r=p[1-a²/r²(1-α)],σ_t=p[1+a²/r²(1-α)]

gdy r=a dla t=0 σ_r=0 σ_t=2p dla t=nieskoń σ_r=αp σ_t=2p- αp

Przemieszczenia radialne na brzegu otworu dla t=0 u=0 dla t=nieskoń u=pa/( μa+2G)

d)WNIOSKI ODNOSZĄCE SIĘ DO CISNIENIA DEFORMACJI ciśnienie reformacyjne wywierane przez górotwór na obudowę nie zależy wyłącznie od własności górotworu lecz od sposobu współdziałania obudowy z górotworem; o ile w górotworze sztywnym można stosować obudowę stosunkowo sztywną o tyle w górotworze odkształcalnym należy stosować obudowę podatną; Ciśnienie reformacyjne można skutecznie zmniejszyć dobierając odpowiedni rodzaj obudowy w zależności od własności górotworu; Skutecznym środkiem obniżenia ciśnienia reformacyjnego na obudowę jest opóźnienie w jej założeniu w wyrobiskuW Górotworze idealnie sprężystym wystarczy nawet małe opóźnienie aby spowodować obniżenie ciśnienia reformacyjnego nawet do zera.5.Ciśnienie reformacyjne można skutecznie zmniejszyć stosując przed założeniem obudowy sztywnej ostatecznej obudowę tymczasową, podatną. Czas pozostawania obudowy tymczasowej powinien być dłuższy im sztywniejszą obudowę mamy zamiar ostatecznie zastosować

---