Zadanie 1

1. Dwanaście osób o równomiernym rozkładzie poziomu inteligencji poddano pewnemu testowi psychologicznemu. Czas przygotowania się do testu był jednak różny. Na podstawie wyników zawartych w szeregu określić, czy istnieje związek między czasem przygotowania do testu a wynikami testu. Jeżeli tak to jaka jest siła i kierunek tego związku ? Jak średnio wzrasta punktacja, gdy czas przygotowania do testu wzrasta o jedną minutę ?

Czas przygotowania (min)	1	2	3	3	4	4	5	6	7	8	9	10
Wyniki testu (pkt.)	4	3	4	5	5	6	7	8	9	10	10	11

Rozwiązanie 1

W 95% przypadków czas przygotowania do testu wpływa na wynik.  (R²=0,95)

Siła związku jest bardzo duża (R²>0,90)

Kierunek jest dodatni - czym więcej czasu przygotowania tym lepszy wynik w teście.

Przy wzroście czasu przygotowania o jedną minutę wynik wzrasta średnio o 0,93 pkt. (B₁=0,93)

Zadanie 2

2. W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części zamiennych zbadano 7 losowo wybranych zakładów wytwarzających takie części. Wyniki badania były następujące:

PRODUKCJA	LICZBA BRAKÓW		średnia(x)=1,5 S(x) = 0,8 średnia(y)=12,8 S(y) = 5,2
X (w tys. szt.)	Y (w szt.)	Y-teor.
2,0	17	15,9
1,0	10	9,6
0,8	6	8,3
1,2	10
3,0	22	22,3
1,6	12	13,4
1,0	13	9,6

Na podstawie powyższych danych należy:

a)wyznaczyć wartość współczynnika korelacji liniowej Pearsona,

b) oszacować parametry liniowej funkcji regresji opisującej zależność zmiennej Y od X,

c) uzupełnić brakujące dane w tabeli,

d) oszacować błędy ocen parametrów liniowej funkcji regresji,

e) zweryfikować na poziomie istotności 5% hipotezę o zerowej wartości współczynnika regresji w  populacji (wykorzystując przedział ufności),

f) wyznaczyć wartość współczynnika determinacji,

g) zinterpretować otrzymane wyniki,

Rozwiązanie 2

a) R_{xy= 0,78}

_b) B₁ = 5,08

     B₀ = 5,18

_c)

PRODUKCJA	LICZBA BRAKÓW		średnia(x)=1,5 S(x) = 0,8 średnia(y)=12,8 S(y) = 5,2
X (w tys. szt.)	Y (w szt.)	Y-teor.
2,0	17	15,9
1,0	10	9,6
0,8	6	8,3
1,2	10	11,28
3,0	22	22,3
1,6	12	13,4
1,0	13	9,6

_d) SB₁ = 1,81

    SB₀ = 3,09

_{e) Przedział ufności}   1-alfa = 0,95         ; alfa=0,05

Ponieważ wyznaczony przedział ufności (1,46;8,7) nie obejmuje zera mamy 95% ufność iż w populacji współczynnik regresji beta1 jest różny od zera.

_{f) R}² = 0,61

W 61% przypadków wielkość produkcji wpływa na liczbę braków

_{g) j.w.}

Zadanie 3

3. Na podstawie danych dla lat 1999 - 2003 o wielkości produkcji pewnego wyrobu ( tys. szt.) otrzymano liniową funkcję trendu ŷ = - 10 t + 413,4; t = 0, 1, 2.....; wariancja reszt S² wyniosła 9,61.

1. Zinterpretować parametry strukturalne funkcji trendu,

2. Wyznaczyć przedział ufności dla współczynnika trendu przy 1-α = 0,95,

3. Ocenić na poziomie istotności 0,05, czy trend produkcji jest istotny,

4. Wyprognozować wartość produkcji w roku 2004.

Rozwiązanie 3

_a) B₁ - z każdym rokiem produkcja powinna maleć o 10 000 szt.

    B₀ - W pierwszym roku wyprodukowano 413 400 szt.

b) B₁ należy do (-13,844; -6,156) z ufnością 95%

c) Trend produkcji jest istotny ponieważ przedział ufności (-13,844; -6,156) nie zawiera zera

d) Przewidywana wielkość produkcji w 2004 to 373 400 szt.

Zadanie 4

4. Na podstawie obserwacji liczby zachorowań na pewną chorobę wśród mieszkańców Polski w kolejnych kwartałach lat 2001 - 2004 opisano zmiany zachodzące w wyniku działania przyczyn głównych liniową funkcją trendu ( t = 1,2...). Ustalono, że zgodnie z funkcją w dwóch ostatnich kwartałach 2004 roku, liczba zachorowań kształtowałaby się na poziomie 368 i 388 przypadków, gdyby brać pod uwagę tylko te czynniki. Wiedząc dodatkowo, że na skutek wahań okresowych liczba zachorowań w każdym pierwszym i drugim kwartale jest o 10% wyższa, a w trzecim o 30% niższa niż wynikałoby to z trendu liniowego, wyznaczyć prognozę liczby zachorowań w czwartym kwartale 2005 roku.

Rozwiązanie 4

W czwartym kwartale 2005 roku liczba zachorowań powinna wynieść 515 osób  ( t(20)=514,8 )

Użyto modelu multplikatywnego

Zadanie 5

5. W wyniku oszacowania parametrów modelu zmian spożycia ryżu w ostatnich 12 latach

(dla t = 0, 1, 2,..., n-1) otrzymano następujące informacje:

- wielkość spożycia rosła z roku na rok przeciętnie o 0,2 kg,

- teoretyczna wielkość spożycia w pierwszym badanym roku wynosiła 6 kg,

Wyznaczyć oczekiwany poziom spożycia w czwartym roku po zakończeniu obserwacji.

Rozwiązanie 5

Wielkość spożycia po 4 roku po zakończeniu obserwacji wyniesie 9 kg ryżu.

Zadanie 6

6. Miesięczna obserwacja liczby bezrobotnych mężczyzn (w tys.; t = 0, 1,...., 18) umożliwiła oszacowanie następującej funkcji trendu:
 =  - 18,79 t + 1750,7 .

Ponadto wiadomo, że suma kwadratów reszt wynosiła 120 155,9.

a) Zinterpretować uzyskany współczynnik trendu.

b) Czy współczynnik trendu jest istotnie ujemny ( przyjąć
 = 0,05)?

c) Podać punktowe i przedziałowe oszacowanie liczby bezrobotnych mężczyzn, której można się spodziewać po upływie kolejnych 6 miesięcy ( przyjąć 1-
 

= 0,95).

Rozwiązanie 6

a) Funkcja jest malejąca - z każdym miesiącem liczba bezrobotnych spada średnio o 19 osób (  B₁=-18,79 )

   W pierwszym miesiącu liczba bezrobotnych wyniosła 1750 (  B₀=1750,7 )

b) Współczynnik trendu jest istotnie ujemny gdyż zawiera się w przedziale (-18,81;-18,77)

c) Po upływie 6 miesięcy od zakończenia obserwacji (25 miesiąc) liczba bezrobotnych powinna wynieść 1300 osób (  t₍₂₄₎=1300,46 )

    Po upływie 6 miesięcy od zakończenia obserwacji (25 miesiąc) liczba bezrobotnych powinna wynieść nie mniej niż 1129 i nie więcej niż 1470

(           k=4,47

t₂₄= (1129,06;1470,42) z ufnością 95% )

Zadanie 7

7. Zbadano wpłaty do Urzędu Skarbowego w poszczególnych dekadach miesięcy IV kwartału 2004 roku. Zwiększały się one co dekadę o 5 tys. zł. Równocześnie zauważono, że podatnicy, którzy należności do Urzędu Skarbowego winni opłacać do 20 każdego miesiąca zwlekają z opłatami, w związku  z czym oczyszczony wskaźnik sezonowości dla I dekady = 0,2, zaś dla II dekady =1,5.Przeciętne wpływy w dekadzie to 100  tys. zł. Zapisać liniową funkcję trendu (dekadową) wpływów do Urzędu Skarbowego. Podać prognozowaną wielkość wpływów w III dekadzie stycznia 2005 roku.

Rozwiązanie 7

y_{t I} = 100 000 + 5000 * x + 0,2 + szum

y_{t II} = 100 000 + 5000 * x + 1,5 + szum

y_{t III} = 100 000 + 5000 * x - 1,7 + szum

W trzeciej dekadzie stycznia 2005 (_y11) wielkość wpływów powinna wynieść 154 998,3

 

Zadanie 8

8. Analiza kwartalnych danych o liczbie sprzedaży kartonów soków „Super Smak” (w tys. szt.) w  pewnym supermarkecie w latach 2001 - 2003 dostarczyła m.in. informacje o postaci liniowej funkcji trendu dopasowanej do danych empirycznych i wielkości dwóch współczynników wahań okresowych (w ujęciu absolutnym):

ŷ_t = 0,7 t + 8   gdzie t = 0, 1, 2, ..., n-1                          

 S₂ = S₃ = +2 tys. szt.

1. Zinterpretować parametry funkcji trendu

2. Oszacować przewidywaną wielkość sprzedaży kartonów soków  w drugim kwartale 2005 r. ( bez błędu prognozy), przyjmując addytywny model szeregu czasowego,

3. Przedstawić dekompozycję wielkości sprzedaży y₁₀= 18 tys. szt. szacując wpływ na wielkość sprzedaży trendu, okresowości oraz przypadkowości.

Rozwiązanie 8

1. Trend ma charakter rosnący

W I kwartale 2001  sprzedano 8000 sztuk kartonów soków

W każdym kwartale sprzedaż kartonów soków wzrasta o 700 sztuk  (bez uwzględnienia wahań sezonowych)

2. W drugim kwartale 2005 roku sprzedaż kartonów soków wyniesie 21 900 sztuk

3. y₍₁₀₎= 15 ( wpływ trendu) + 2 ( wpływ wahań okresowych) + 1 ( wpływ przypadku) = 18 tys szt.

1

---