Odpowiedź do zadania 1: a = [1, 1, 1] i b = [1, 2, 3]
Długości wektorów
|a| = 
|b| = 
Iloczyn skalarny
a ° b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 = 1 + 2 + 3 = 6
Cosinus kąta między wektorami
Iloczyn wektorowy
Pole równoległoboku
||R(a, b)|| = 
Powrót
Odpowiedź do zadania 2:
Ponieważ po bezpośrednim podstawieniu 1, nie było problemów z policzeniem, można było po prostu tę 1 podstawić i wyliczyć.
Tutaj po bezpośrednim podstawieniu 1 otrzymalibyśmy 
, a to jest tak zwany symbol nieoznaczony. Ponieważ nie jesteśmy w stanie stwierdzić ile wynosi 
musimy się jakoś tej nieoznaczoności pozbyć. Najczęściej robimy to wykorzystując jakieś ogólne prawa matematyczne. Tutaj np. rozkładamy obydwa wielomiany na czynniki.
Do symboli nieoznaczonych należą między innymi: 
.
Kiedy już nie wychodzi nieoznaczoność po prostu podstawiamy x0, czyli w tym przypadku 1.
Powrót
Odpowiedź do zadania 3:
Pochodne funkcji oblicza się najczęściej korzystając ze wzorów na pochodne funkcji podstawowych oraz z przytoczonych twierdzeń. Zachęcam do uważnego prześledzenia poniższych przykładów i do przypomnienia sobie umiejętności liczenia pochodnych.
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną funkcji f(x) = xn: f '(x) = n ⋅ xn−1 oraz z twierdzenia o pochodnej sumy i różnicy:
Pochodna stałej wynosi oczywiście 0.
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną funkcji f(x) = xn: f '(x) = n ⋅ xn−1 oraz z twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy i funkcji mnożonej przez stałą:
Pochodna stałej wynosi oczywiście 0. Pamiętajmy, że ważne jest po czym różniczkujemy, czyli co jest zmienną niezależną funkcji. Jeśli mamy funkcję f(x) to zmienną jest x, a wszystkie inne literały (np. a, czy h) traktujemy jako stałe (mówiąc nieformalnie traktujemy je tak samo jak liczby).
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną funkcji f(x) = xn: f '(x) = n ⋅ xn−1 oraz z twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy i funkcji mnożonej przez stałą:
Skorzystam też ze wzorów na działania na potęgach:
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną iloczynu:
Wykorzystam też oczywiście umiejętności z poprzednich przykładów.
, x ≠ 1
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną ilorazu:
, jeśli 
Wykorzystam też oczywiście umiejętności z poprzednich przykładów.
W tym przykładzie skorzystam z faktu, że zmienną niezależną jest u, zaś w całym wyrażeniu 
nie ma u. Stąd całe to wyrażenie należy potraktować jako stałą, a więc pochodna tej funkcji po u wynosi 0.
, x ≠ 2kπ
W tym przykładzie skorzystam ze wzoru na pochodną ilorazu:
, jeśli 
Poza tym skorzystam również ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
Wykorzystam też oczywiście umiejętności z poprzednich przykładów.
Pozostałe przykłady rozwiążę już bez komentarza.
Powrót
Wyszukiwarka