Politechnika Krakowska Fizyka Techniczna	Paweł Górski	Rok II 99/2000 Semestr III	Data :
Grupa : 1 Zespół : 6			Ćw. 5	Podpis :
					Ocena:

Temat:

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego.

Wstęp:

Bryła sztywna obracalna około stałej osi obrotu i poddana momentowi sił M₁, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, a skierowanemu przeciwnie do wychylenia

Wykonuje drgania proste, obrotowe o równaniu:

gdzie:

J - moment bezwładności bryły względem osi obrotu.

Rozwiązaniem tego równania jest:

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

T - okres drgań

ε - faza początkowa.

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań). Jeżeli oprócz momentu M₁ działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia. Rozpatrzmy dwa rodzaje tłumienia:

1. tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu φ i przeciwnie do niej skierowanym:M₂=k₂φ

2. 
   
   tłumienie momentem stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ;

Przypadek "a" występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Przypadek "b" ma miejsce przy tłumieniu drgań mechanicznych tarciem kulombowskim. W przypadku "a" równanie ruchu ma postać:

Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu ( k₂² < 4Jk₁ ) jest funkcja:

Stałe Ф i ε wyznaczamy z warunków początkowych. Niech np.: dla t=0, φ(0)= φ₀ i φ(0)= φ₀, wówczas:

Funkcja przedstawiona równaniem 2 nie jest funkcja periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres ", tj czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez 0 wynosi:

A więc jest dłuższy od okresu T drgań nie gasnących. Maksima funkcji [2]

Są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin -amplituda- odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Фe^-δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Фe^-δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem

Obliczmy stosunek 2 kolejnych "amplitud" po tej samej stronie położenia równowagi

Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku :

Nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

W przypadku "b" równanie ma postać: Jφ=-kφ+M₃

Rozwiązaniem tego równania a właściwie układu 2 równań różniczkowych jest drganie tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości Δφ=^4M/k₁ na 1 okres i ie zmienionym okresie :

Opis przyrządu użytego do ćwiczenia

Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów

(l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd

Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby.

Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia zerowego w skrajne, a następnie szybki powrót do zera.

Zadania

Zadanie 1: Drgania obrotowe kuli nie tłumione (z pominięciem tłumieni powietrza i tłumienia w metalu drutu).

1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud x_n po tej samej stronie położenia równowagi.

lp.	10T [s]	X ( lewa )	X (prawa)
1	87,00	154	160	0
2	87,00	153	160	1T
3	87,03	153	160	2T
4	87,10	152	159	3T
5	86,94	152	159	4T
6	86,90	151	159	5T
7	87,04	151	159	6T
8	86,91	150	159	7T
9	86,96	150	159	8T
10	86,97	150	158	9T
		150	158	10T
		150	157	11T
		149	157	12T
		149	156	13T
		147	156	14T
		146	158	15T

2. Sporządź wykres zależności amplitudy od czasu (wykres 1).

3. Zmierzyć okres drgań przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

4. 
   Oblicz moment kierujący:

m=1 [kg]

R=0,0303 [m]

w tej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie zmierzyć okres drgań wahadła fizycznego, oraz wychylenie

Wyznaczam błąd 10T wahadła:

10T_śr=86,98 [s]

Odchylenie standardowe całości

T_śr=86,98/10=8,698[s] - okres jednego wachnięcia.

T = ( 8,698 * 0,002 )[s]

J = ²/₅mR² = 0,00037[kg m²]

k₁ =0,000192[N/m.]

k₁ = ( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

Niedokładności w tej części ćwiczenia mogą wynikać z warunków w jakich wykonywaliśmy to ćwiczenie, oraz niedokładności ludzkiego oka.

Zadanie 2. Drgania obrotowe kuli tłumione oporem wiskotycznym.

1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud x_n po tej samej stronie położenia równowagi.

lp.	10T [s]	x ( lewa )	x(prawa)		lnx(lewa)	lnx(prawa)	x/xn+1
1	87,86	171	171	0T	5,141664	5,141664	1,075472
2	87,8	159	161	1T	5,068904	5,081404	1,06
3	87,81	150	151	2T	5,010635	5,01728	1,071429
4	87	140	141	3T	4,941642	4,94876	1,068702
5	87,92	131	131	4T	4,875197	4,875197	1,07377
6	87,83	122	122	5T	4,804021	4,804021	0,976
7	87,93	125	116	6T	4,828314	4,75359	1,157407
8	87,8	108	106	7T	4,682131	4,663439	1,069307
9	87,68	101	101	8T	4,615121	4,615121	1,074468
10	87,87	94	95	9T	4,543295	4,553877	1,05618
		89	89	10T	4,488636	4,488636	1,072289
		83	82	11T	4,418841	4,406719	1,064103
		78	78	12T	4,356709	4,356709

Tłumienie kuli: (x/x_n+1)_sr= 1,068572

2. Sporządź wykres przedstawiający zależność amplitudy od czasu (wykres nr 2).

3. Sporządź wykres przedstawiający zależność logarytmu naturalnego amplitudy od czasu.

Wykres nr.4 przedstawia zależność amplitudy x_n (prawej) od czasu, a nr.5 amplitudy x_n (lewej)

4. Obliczyć na podstawie wykresów stosunek tłumienia i dekrement logarytmiczny obserwowanych drgań

tłumionych.

Wyznaczamy dekrement logarytmiczny i jego błąd metodą regresji liniowej.

Równanie ogólne prostej:

y=Ax+B

D = ( -0,0735 ± 0,0243 )

5. Zmierzyć okres drgań tłumionych T_1.

Wyznaczam błąd 10T wahadła:

10T_śr=87,75 [s]

T_śr=8,775[s]

Odchylenie standardowe całości:

S_10T=0,67[s]

S_T=0,067[s]

T = ( 8,775 * 0,067 )[s]

6. Oblicz współczynnik k₂ ze wzoru na dekrement:

k₂ obliczamy ze wzoru na dekrement.

k₁ obliczymy ze wzoru na okres:

m=1 [kg]

R=0,0303[m]

k₁=( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

k₂=( 6,19 ± 0,098 ) 10^-6[N/m]

Zadanie 3: Drgania obrotowe kuli tłumione tarciem kulombowskim.

1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud x_n po tej samej stronie położenia równowagi.

	x ( lewa )	x (prawa)	x-xn+1
1T	158	151	10
2T	148	141	8
3T	140	132	7
4T	133	126	7
5T	126	117	8
6T	118	111	7
7T	111	103	7
8T	104	96	7
9T	97	89	7
10T	90	83	6
11T	84	77	6
12T	78	69	7
13T	71	61	5
14T	66	56	6
15T	60	51	5
16T	55	47	5
17T	50	42	4
18T	46	36	5
19T	41	32	3
20T	38	30

∆x =( x-x_n+1)_sr= 7

k₁ = ( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

l = 0,784 m ± 0,001m

2. Sporządź wykres zależności amplitudy od czasu. (wykres nr 3)

3. 
   Obliczyć na podstawie wykresu moment siły tarcia:

Wnioski:

Wszystkie części ćwiczenia zostały wykonane poprawnie o czym świadczą wykresy. Drobne uchybienia mogły być spowodowane niedokładnością ludzkiego oka i przyrządów które mieliśmy do dyspozycji. Jak wynika z obliczeni wszystkie niedokładności mieszczą się w granicach błędów, co nam pozwoliło na powyższe stwierdzenia.

φ

t

3T

2T

T

Δφ

2T

6T

4T

8T

t

ln Φ_n

T

3T

2T

t

φ

2T

T

3T

t

φ

---