Hipotezy wytężeniowe; naprężeniowe zredukowane. Rozpatrujemy złożony, trójwymiarowy stan naprężenia σ₁ σ₂ σ_3. Naprężenia zredukowane σ_zred jest to zastępcze naprężenie rozciągające, powodujące takie samo niebezpieczeństwo zniszczenia, co dany złożony stan naprężenia. Warunek wytrzymałości: σ_zred≤ kr. Gdzie: kr- naprężenie dopuszczalne dla jednoosiowego rozciągania. Definicja naprężenia zredukowanego wynika z przyjętej hipotezy wytężeniowej. Materiał izotropowy wykazuje we wszystkich kierunkach takie same właściwości wytrzymałościowe. Dla materiałów symetrycznych: Rer=Rec= Re. Rer- granica plastyczności przy rozciąganiu, Rec- granica wytrzymałości przy ściskaniu.

Naprężenia zredukowane wg. Hipotezy Hubera:

σ_zred=√ σ²₁₁+ σ₂₂²+ σ₃₃²- σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²) ≤kr=Re/n_e .

n_e- współczynik bezpieczeństwa,

lub: σ_zred=√σ₁²+σ₂²+σ₃² -σ₁₂-σ₂₃-σ₃₁≤kr=Re/n_e .

Naprężenia zredukowane wg hipotezy Columa-Treski (hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych)

σ_zred=σ_max- σ_min=2σ_{t max} ≤kr- Re/n_e.

σ_tmax-maksymalne naprężenia styczne,

σ_max, σ_min- największe i najmniejsze naprężenia główne. Dla materiałów niesymetrycznych.

(Rr≡Rm)≠Rc. Materiały niesymetryczne- inne właściwości przy rozciąganiu i ściskaniu Rr≡Rm- granica wytrzymałości na rozciąganie, Rc- granica wytrzymałości na ściskanie. Naprężenia zredukowane wg hipotezy Burzyńskiego

σ_zred=z-1/2z * Iσ+ z+1/2z σ_H≤Rm/n_m

gdzie: Iσ= σ₁+σ₂+σ₃- 1-szy niezmiennik tensora naprężenia, σ_H- naprężenia zredukowane Hubera, z=Rc/Rm, n_m- współczynnik bezpieczeństwa. Gdy Rm=Rc, to z=1 i naprężenia zredukowane Burzyńskiego stają się równe naprężeniom zredukowanym Hubera.

Naprężenia zred wg hipotezy Mohra-

бzred= бmax - 1/H * бmin ≤kr.

Wyznaczanie składowych tensora naprężenia w układzie współrzędnych obróconym względem dowolnego układu x₁x₂,

σ_nα= ½(σ₁₁+σ₂₂)+ ½(σ₁₁+σ₂₂)cos2α + σ₁₂sin2α

σ_n= ½( σ₁₁+σ₂₂)- ½(σ₁₁-σ₂₂)cos2α - σ₁₂sinα,

α_{t α} = - ½(σ₁₁-σ₂₂)sin2α + σ₁₂cos2α,

tg2α₀= 2σ₁₂/ σ₁₁-σ₂₂,

σ_{n α}= ½(σ₁+σ₂)+ ½(σ₁-σ₂)cos2α,

σ_{n (α+90)}= ½(σ₁+σ₂)- ½(σ₁-σ₂)cos2α,

α_{t α}= - ½(σ₁-σ₂)sin2α.

Uogólnione prawo Hookea

Σ₁₁= 1/E[σ₁₁- V(б₂₂+б₃₃)] +α_T∆T,

Σ₂₂=1/E[б₂₂-V(б₂₂+б₃₃)]+ α_T∆T,

Σ₃₃=1/E[б₃₃- V(б₁₁+б₂₂)]+ α_T∆T,

Σ₁₂=б₁₂/2G,

Σ₂₃=б₂₃/2G,

Σ₁₃=б₁₃/2G,

e= ∆V/V- odkształcenie objętościowe, V- objętość elementarnej kostki, ∆V- przyrost V,

e= Σ₁₁+Σ₂₂+Σ₃₃= б_śr/B,

б_śr= 1/3(б₁₁+б₂₂+б₃₃),

B= E/3(1-2V)- moment ściśliwości Helmholtza.

Prawo Hookea:

Σ₁₁=1/E(б₁₁-Vб₂₂) б₁₁=E/1-V²(Σ₁₁+VΣ₂₂),

Σ₂₂=1/E(б₂₂-Vб₁₁) б₂₂= E/1- V²(Σ₂₂+VΣ₁₁),

Σ₁₂=б₁₂/2G б₁₂=2GΣ₁₂

Stałe materiałowe- są to współrzędne tensorów sztywności i podatności. Ogólnie każdy z tych tensorów ma 81 współrzędnych jednak dla materiału izotropowego ilość niezależnych współrzędnych zmniejsza się do 9. Zależność między modułami E,G,v dla izotropii wyprowadza się zwykle analizując stan czystego ścinania. Wiadomo że stan ten można zrealizować poprzez jednoczesne rozciąganie i ściskanie na kierunkach prostopadłych, nachylonych do płaszczyzny ścinania pod kątem 45. Naprężenia obrócone б^'₁₂ powodują powstawanie kąta:

α=1/2(π-Σ₁₂) gdzie Σ'₁₂= (1/2G)б₁₂.

Kąt α można wyznaczyć przez odkształcenia

Σ₁₁= -Σ₂₂=Σ jako:

tgα= tg( ½ π-Σ'₁₂)= 1-Σ₁₁/1+Σ₂₂=1-Σ/1+Σ,

stąd dla małych katów uzyskuje się Σ'₁₂=Σ. Wykorzystując uogólnione prawo Hookea obliczamy: Σ=1/E*(1+V)б₁₁, co po podstawieniu do wyrażenia: Σ'₁₂=(1/2G)*б'₁₂, daje poszukiwaną zależność

G= E/3*(1-2V) pod ułamkiem wszystko.

Rozciąganie(ściskaniem)- nazywa się taki przypadek obciążenia pręta prostego, przy którym w dowolnym jego przekroju siłą wew jest siła normalna do przekroju działającego wzdłuż osi pręta.

N(x)= P+całka od x do L po qdx,

N(x)=całka od A po б(x)da=б(x)A.

б(x)=N(x)/A- zasada de Sait-Venouta,

Σ(x)=б(x)/E, Σ(x)=N(x)/EA,

∆L=PL/EA- wydłużenie,

EA-sztywność na rozciąganie,

kr=б_dop=Rm/n_m- dla rozciągania,

kr=б_dop=Rc/hc- dla ściskania.

Zasada de Saint de Venouta- uśrednianie wpływu sił w przekroju ciała znacznie odległego od punktów przyłożenia sił statycznych.

W ogólnym przypadku płaski stan naprężeń ma trójwymiarowy charakter i tensor naprężenia б ma 9 składników różnych od zera. W płaskim stanie naprężenia. б₁₁,б₂₂- naprężenia normalne, б₁₂=б₂₁- naprężenia styczne. Pierwszy wskaźnik „i” składowej naprężenia б_ij określa kierunek normalnej do powierzchni, na której składowa działa. Drugi wskaźnik „j” określa kierunek działania tej składowej. Naprężenia normalne są dodatnie, gdy mają charakter rozciągający, a ujemne gdy mają charakter ściskający. Naprężenia styczne б_ij są dodatnie gdy na ścianie o większej współrzędnej x_i mają zwrot zgodny z osią x_j. Naprężenia główne (naprężenia w układzie osi głównych), б₁,б₂- naprężenia główne o ekstremalnych wartościach spośród wszystkich naprężeń normalnych б_{n α}, б₁=бmax, б₂=б min- spośród wszystkich naprężeń. (macierz walimy 1), б₁₁= 100MPa, б₁₂= б₂₁=50MPa, б₂₂= -150MPa.

Naprężenia główne;

б₁,б₂= ½( б₁₁+ б₂₂)+- 1/2√( б₁₁- б₂₂)² +4 б₁₂²,

б₁,б₂= ½(100-150)+- 1/2√(100+150)² +4 50²= -22,5+- ½* 320,32= -22,5+- 160,1= 137,6 MPa i -182,6 MPa. Dla układów płaskich podać zależność między składowymi stanu naprężenia i odkształcenia mając dane:

Σ₁₁= 6*10^-3, Σ₁₂=4*10^-3, Σ₂₂=9* 10^-3, V=0,3,

E= 2*10⁵MPa Moduł Kirchhoffa G=E/2(1+V)= 2*10⁵/2,6= 200000/2,6= 76923,1 MPa,

2Σ₁₂= б₁₂/G б₁₂=2Σ₁₂*G, б₁₂= 2*4*10^-3*76923,1= 6,2 *10⁵*10^-3= 6,2*10²=620, Σ₂₂= 1/E(б₂₂-V*б₁₁), б₂₂=E/1-V²(Σ₂₂+VΣ₁₁), Σ₁₁= 1/E(б₁₁-Vб₂₂), б₁₁= E/1-V²(б₁₁+Vб₂₂). Wytężenia materiału dla naprężeń: б₁=137,6 MPa, б₂= -192,6 MPa macierz rysujemy od lewego rogu w dół 100, 50 i prawa strona 50, -150, б₀=б_zred≤Re. Naprężenia zredukowane wg hipotezy Hubera;

б_zred=√ σ²₁₁+ σ₂₂²+ σ₃₃²- σ₁₁σ₂₂-σ₂₂σ₃₃-σ₃₃σ₁₁+3(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₃₁²) ≤kr=Re/n_e,

б_zred(H)= √б₁²+б₂²+б₃²-б₁б₂-б₂б₃-б₃б₁≤kr,

Naprężenia zredukowane Coulomba-Treski

б_zred= бmax-бmin=2,5_{t max}≤kr=Re/ne,

Huber б_zred(H)=√б_n²+3б_t²,

Coulomb-Treska б_zred(c)= √ б_n²+4 б_t².

Wyprowadzenie wzoru na naprężenia w skręconych cienkościennych rurach kołowych.

r-promień środka, δ-grubość ścianki, założenie б_t=const, Da=r dβ δ,

MS=całka od 0 do 2π*r*б_t*r*dβ*δ,

Ms= r²*δ* б_t*2π, Ms= б_t*2π*r²*δ,

б_t=Ms/2π r²δ ≤kt.

Obliczenia naprężeń w prostokącie- б₁=300/δ, б_zred=√б₁²+б₂²-б₁б₂≤k, б₂=200/δ, kr=250MPa, δ=264,5/250≥1,05.

Linia ugięcia belki:

ψ(α_i)=dV/dx₁- kąt ugięcia, V- ugięcie,

Hg(xi)=1/ρ(xi)= - d²V/dx₁² , Hg= 1/ρ= Mg/ EI₃ ,

-Mg/EI₃= d²V/dx₁² dla I₃= const ,

EI₃ dV/dx₁= EI₃ψ(x₁)= -SMg(x₁)dx₁ + C, EI₃

V(x₁)= -S( SMg(x₁)dx₁ + Cx₁+ D. Stałe C i D wyznacza się z warunków brzegowych dla x₁=0 V(x₁=0)=0, dla x₁= l V(x 1=l)=0.

Rozciąganie(ściskaniem)- nazywa się taki przypadek obciążenia pręta prostego, przy którym w dowolnym jego przekroju siłą wew jest siła normalna do przekroju działającego wzdłuż osi pręta.

N(x)= P+całka od x do L po qdx,

N(x)=całka od A po б(x)da=б(x)A.

б(x)=N(x)/A- zasada de Sait-Venouta,

Σ(x)=б(x)/E, Σ(x)=N(x)/EA,

∆L=PL/EA- wydłużenie,

EA-sztywność na rozciąganie, kr=б_dop=Rm/n_m- dla rozciągania, kr=б_dop=Rc/hc- dla ściskania. Zasada de Saint de Venouta- uśrednianie wpływu sił w przekroju ciała znacznie odległego od punktów przyłożenia sił statycznych.

Związki konstytutywne (fizyczne)- Nazywamy zależności między stanem naprężenia a stanem odkształcenia. б_ij=C_ijklΣ_kl, ijkl-współrzędne tensora sztywności materiału C, ijkl=1,2,3,

2 wymiarowy;

Σ₁=1/E(б₁-Vб₂) б₁=E/1-V²(Σ₁+VΣ₂),

Σ₂=1/E(б₂-Vб₁) б₂=E/1-V²(Σ₂+VΣ₁).

3 wymiarowy:

Σ₁=1/E[б₁-V(б₂+б₃)]б₁=E/1+V[(Σ₁+V/1-2V)e], Σ₂=1/E[б₂-V(б₃+б₁)]б₂=E/1+V[Σ₂+(V/1-2V)e], Σ₃=1/E[б₃-V(б₁+б₂)]б₃=E/1+V[Σ₃+(V/1-2V)e], б₁+б₂+ б₃=б_m= 3б_3V,

e=Σ₁+Σ₂+Σ₃

e=б_śr/B,

B=E/(1-2V)3,

e=б_śr(1-2V)3/E,

0<V<0,5,

B-moduł ściśliwości Helmholtza, E- moduł sprężystości Younga, G-moduł Kirchoffamoduł sprężystości postaciowej

Σ₁+Σ₂+Σ₃=1/E(1-2V)( б₁+б₂+ б₃),

e-względne odkształcenie objętościowe.

Skręcanie- nazywa się ten przypadek, obciążenia pręta prostego przy którym w jego przekroju poprzecznym układ sił wew sprowadza się do wektora momentu leżącego na osi tego pręta. Przypadek ten zachodzi wówczas kiedy obciążenie pręta prostego stanowią pory sił leżących na osi tego pręta. Maksymalne naprężenia styczne: б_max=Ms/Ws≥ks, Ms-wew moment skręcający, Ws-wskaźnik wytrzymałości przekroju, Is-dopuszczalne naprężenie, GIs- sztywność, Kąt skręcenia: θ=dφ/dx=Ms/Gis, φ=całka od 0 do L MS/GIs po dx= MsL/GIs≤φdop, vs= ½(vw+vz), Ws=2π vs² δ, Is= 2π v_s³ δ.

---