Ćwiczenie 4
Wyznaczanie momentu bezwładności.
Podstawa teoretyczna
Momentem bezwładności rozważanego ciała względem dowolnie obranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów mas elementów, na które podzielono ciało, przez kwadraty odległości tych elementów od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich innych czynników.
Moment bezwładności zależy przede wszystkim od wyboru osi obrotu, a także od kształtu ciała i sposobu rozłożenia w nim masy. Jeśli jest ona rozłożona w sposób ciągły, wzór (1) zastępujemy całką:
.
Moment bezwładności jest tym dla ruchu obrotowego, czym masa dla ruchu prostoliniowego.
Teoretycznie moment bezwładności IM dla punktów materialnych odległych o R od osi obrotu oblicza się ze wzoru
.
Cel i przebieg doświadczenia
Zadaniem naszym jest wyznaczenie momentu bezwładności I0 nieobciążonego poziomego pręta przy różnej liczbie obrotów, a następnie znalezienie momentu bezwładności IM dwóch ciężarków
o masach M odległych o R od osi obrotu. W tym celu wyznaczamy moment bezwładności I1 poziomego pręta obciążonego ciężarkami M, gdzie
.
Schemat urządzenia przedstawia rysunek
po lewej.
Pomiar za każdym razem wyglądał podobnie. Pręt obracano o określoną liczbę obrotów (2, 3, 4½) i rejestrowano różnicę między położeniem dolnym ciężarka m a położeniem po nawinięciu nierozciągliwej żyłki na szpulę u dołu osi obrotu. Po zwolnieniu blokady pręta zaczynał się on obracać ruchem jednostajnie przyspieszonym do momentu, gdy masa m osiągnęła swoje dolne położenie. Wtedy też zatrzymywano stoper rejestrujący czas opadania ciężarka. Od tej chwili przyspieszenie kątowe pręta zaczynało maleć. W chwili, gdy ruch obrotowy pręta ustawał, należało zmierzyć, na jaką wysokość podniosła się masa m.
Niezależnie od tego, czy mierzono moment bezwładności samego pręta, czy też wraz
z ciężarkami, doświadczenie wyglądało podobnie. Dla każdej z trzech ilości obrotów wykonano
po pięć prób.
Wyniki doświadczenia i obliczenia
1.Nieobciążony poziomy pręt
n=2 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I0 |
I0 |
1 |
0,18 |
0,127 |
5,2 |
0,063 |
0,010 |
2 |
0,175 |
0,12 |
6 |
0,080 |
0,012 |
3 |
0,175 |
0,121 |
5,5 |
0,067 |
0,010 |
4 |
0,177 |
0,127 |
5,3 |
0,064 |
0,010 |
5 |
0,174 |
0,121 |
5,2 |
0,060 |
0,009 |
|
|||||
n=3 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I0 |
I0 |
1 |
0,266 |
0,181 |
6,5 |
0,063 |
0,007 |
2 |
0,264 |
0,188 |
6,3 |
0,060 |
0,006 |
3 |
0,268 |
0,196 |
6,5 |
0,066 |
0,007 |
4 |
0,265 |
0,19 |
6,5 |
0,065 |
0,007 |
5 |
0,266 |
0,195 |
6,5 |
0,066 |
0,007 |
|
|||||
n=4,5 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I0 |
I0 |
1 |
0,402 |
0,27 |
8,2 |
0,067 |
0,005 |
2 |
0,401 |
0,282 |
7,6 |
0,059 |
0,005 |
3 |
0,404 |
0,275 |
7,9 |
0,063 |
0,005 |
4 |
0,402 |
0,272 |
7,9 |
0,062 |
0,005 |
5 |
0,403 |
0,273 |
8 |
0,064 |
0,005 |
średnia arytmetyczna I0 |
0,064 |
błąd max. średniej arytm. |
0,005 |
błąd względny |
8% |
2.Ciężarki oddalone o 0,29 m od osi obrotu
IM teor. = 0,521
n=2 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,177 |
0,134 |
15,5 |
0,569 |
0,072 |
2 |
0,176 |
0,133 |
16 |
0,602 |
0,076 |
3 |
0,177 |
0,135 |
15,5 |
0,571 |
0,072 |
4 |
0,177 |
0,132 |
15,4 |
0,557 |
0,070 |
5 |
0,175 |
0,138 |
15,6 |
0,583 |
0,073 |
|
|||||
n=3 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,266 |
0,21 |
18,9 |
0,579 |
0,050 |
2 |
0,267 |
0,209 |
18,8 |
0,572 |
0,049 |
3 |
0,268 |
0,205 |
19 |
0,579 |
0,050 |
4 |
0,265 |
0,205 |
18,8 |
0,564 |
0,049 |
5 |
0,267 |
0,211 |
18,6 |
0,563 |
0,048 |
|
|||||
n=4,5 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,401 |
0,304 |
23 |
0,561 |
0,033 |
2 |
0,403 |
0,303 |
22,9 |
0,556 |
0,033 |
3 |
0,405 |
0,307 |
23,2 |
0,576 |
0,034 |
4 |
0,403 |
0,304 |
23,4 |
0,582 |
0,034 |
5 |
0,404 |
0,299 |
23 |
0,558 |
0,033 |
średnia arytmetyczna I1 |
0,571 |
|
IM |
0,507 |
błąd max. średniej arytm. |
0,034 |
|
|IM| |
0,039 |
błąd względny |
6% |
|
błąd względny |
8% |
3. Ciężarki oddalone o 0,15 m od osi obrotu
IM teor. = 0,140
n=2 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,176 |
0,139 |
9,6 |
0,222 |
0,030 |
2 |
0,175 |
0,134 |
9,4 |
0,208 |
0,028 |
3 |
0,178 |
0,138 |
9,5 |
0,218 |
0,029 |
4 |
0,177 |
0,134 |
9,2 |
0,200 |
0,027 |
5 |
0,177 |
0,133 |
9,4 |
0,208 |
0,028 |
|
|||||
n=3 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,267 |
0,192 |
11,8 |
0,215 |
0,020 |
2 |
0,268 |
0,195 |
12 |
0,224 |
0,021 |
3 |
0,266 |
0,195 |
11,4 |
0,202 |
0,019 |
4 |
0,268 |
0,193 |
11,8 |
0,216 |
0,020 |
5 |
0,266 |
0,193 |
11,5 |
0,204 |
0,019 |
|
|||||
n=4,5 |
|||||
L.p. |
h1 [m] |
h2 [m] |
t [s] |
I1 |
I1 |
1 |
0,403 |
0,288 |
13,5 |
0,188 |
0,012 |
2 |
0,402 |
0,294 |
13,8 |
0,198 |
0,013 |
3 |
0,405 |
0,29 |
13,6 |
0,192 |
0,013 |
4 |
0,404 |
0,289 |
14 |
0,203 |
0,013 |
5 |
0,404 |
0,291 |
13,9 |
0,200 |
0,013 |
średnia arytmetyczna I1 |
0,207 |
|
IM |
0,142 |
błąd max. średniej arytm. |
0,013 |
|
|IM| |
0,018 |
błąd względny |
6% |
|
błąd względny |
13% |
Wzór na moment bezwładności wyprowadza się korzystając z zasady zachowania energii:
,
otrzymując ostatecznie po zaniedbaniu energii kinetycznej masy m i skorzystaniu ze wzoru
na prędkość kątową
Metody obliczania błędów pomiaru
Błędy maksymalne wyznaczonych I0 oraz I1 oblicza się ze wzoru:
.
Największe z błędów I0 i I1 przyjęto za odpowiednie błędy maksymalne średnich arytmetycznych IoA i I1A. Doświadczalna wartość IM jest różnicą tych średnich. Natomiast błąd
.
Błąd podziałki, na której odczytywano wysokość ciężarka m wynosiła 0,001 m. tak samo dokładna była linijka, którą mierzono odległość środka ciężarków od osi obrotu. Dokładność stopera to 0,1 s. Ilość obrotów mogła różnić się o ok. 0,1 obrotu (36°). Masa M ciężarka wynosi 3,1 kg ±0,05 kg. Natomiast masę m możemy uznać jako dokładną (0,5 kg).
Analiza błędów
W oparciu o same dane empiryczne można wysnuć wniosek, że zaproponowana metoda wyznaczania momentu bezwładności jest bardzo dokładna. Porównanie otrzymanych doświadczalnie wartości IM z tymi, jakie uzyskano poprzez zastosowanie wzoru (3) uwidacznia,
że obliczenia oparte na eksperymencie dają również zbliżoną wartość momentu bezwładności. Różnice między teorią a praktyką wynikać mogą z faktu, że przyjmujemy masy M za ciała punktowe równo oddalone od osi obrotu, podczas gdy odległość punktów należących do ciężarka od osi jest tak naprawdę różna.
Wnioski
Jak wspomniano we wstępie moment bezwładności jest odpowiednikiem masy z ruchu postępowego. Masa ciała jest wielkością niezwykle istotną - zarówno w fizyce, jak i chemii. Jak zauważyli już starożytni, najpowszechniejszym rodzajem ruchu jest ruch po okręgu, natomiast ruch prostoliniowy można uważać za fragment ruchu po okręgu o stosunkowo dużym promieniu. Wydaje się więc, że moment bezwładności może być uważany za nawet istotniejszy niż masa.
Samo doświadczenie pozwala na dość dokładne oszacowanie momentu bezwładności niektórych ciał, co znajduje potwierdzenie przy analizie błędów. Nawet pewne uproszczenia znacznie ułatwiające rachunki nie niweczą zalet związanych z przeprowadzaniem doświadczenia.
Wszystkie wyniki podano z dokładnością 10-3, jednak obliczenia przeprowadzano na liczbach o precyzji 10-15.
4
Wyszukiwarka