Ewelina wójtowicz

Nr albumu: 32133

Grupa: 2

Studia dzienne

2005/2006

Portfel Inwestycyjny Banku

- zaliczenie ćwiczeń

Rozwiązując poniższe zadania korzystałam z następującej literatury:

1. J. Nowakowski, P. Niedziółka, J. Mieloszyk: Portfel inwestycyjny banku : konstrukcja
   i zarządzanie portfelem papierów wartościowych;.  Warszawa : Centrum Doradztwa
   i Informacji "Difin", 2002.

2. K. Jajuga, T. Jajuga: Inwestycje; Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004.

Zadanie 1.

W ciągu dwóch lat kalendarzowych obserwowano ceny trzech spółek giełdowych: A, B, C. Ceny na koniec każdego miesiąca przedstawiały się następująco (cena w miesiącu 0 oznacza cenę
w ostatnim dniu grudnia poprzedniego roku, cena w miesiącu 1 to cena na koniec stycznia):

Miesiąc	Akcja A	Akcja B	Akcja C
0	4,50	320,00	85,00
1	4,20	345,00	84,00
2	4,00	375,00	85,00
3	3,95	340,00	82,50
4	3,90	320,00	79,50
5	4,40	295,00	74,50
6	4,80	285,00	77,00
7	5,20	280,00	72,50
8	4,65	270,00	71,00
9	4,05	290,00	68,50
10	3,95	320,00	65,00
11	4,05	350,00	55,00
12	4,20	420,00	59,50
13	4,40	450,00	60,00
14	4,60	440,00	54,00
15	4,00	420,00	52,50
16	4,60	425,00	48,00
17	5,20	420,00	46,00
18	5,70	415,00	42,00
19	6,50	400,00	38,50
20	8,90	395,00	35,00
21	9,00	400,00	33,00
22	8,40	410,00	38,00
23	7,50	400,00	45,50
24	6,80	410,00	44,00

Ponadto spółki wypłaciły w ciągu dwóch lat następujące dywidendy (zł na jedną akcję):

Akcja	Dywidenda I(zł)	Miesiąc płacenia dywidendy I	Dywidenda II(zł)	Miesiąc płacenia dywidendy II
A	0,40	czerwiec	0,05	czerwiec
B	4,00	maj	4,50	maj
C	3,00	grudzień	0	-

Polecenia:

1. Na podstawie powyższych danych wyznacz portfel składający się z akcji A, B i C, którego ryzyko będzie najmniejsze. Przyjmij jednocześnie, że można dokonywać krótkiej sprzedaży, przy czym wartość pożyczonych akcji nie może przekraczać 10% wartości inwestycji. Ponadto inwestor wymaga, aby roczna stopa zwrotu z inwestycji wyniosła przynajmniej 20%.

2. Na rynku dostępne są bony skarbowe o terminie wykupu przypadającym za miesiąc. Rentowność tych bonów wynosi 8,15% (wyliczona przy założeniu, że rok ma 360 dni, każdy miesiąc ma 30 dni). Zakładając, że bony te mogą stać się dodatkowym składnikiem portfela, wyznacz nowy portfel zgodnie z wymaganiami punktu 1.

ROZWIĄZANIE

Polecenie 1.

Ze względu na fakt, iż mam dane ceny akcji w każdym miesiącu badanego przeze mnie okresu, mogę obliczyć stopy zwrotu z akcji, które będą stopami zwrotu ex post.

Stopa zwrotu w okresie t( gdzie P_t to cena akcji w t-tym okresie, a D_t to dywidenda wypłacona
w t-tym okresie) jest określona poniższym wzorem:

R_t = [(P_t - P_t-1) + D_t] / P_t-1

Stopy zwroty akcji A, B i C kształtują się następująco:

Miesiąc	Akcja A	Akcja B	Akcja C
0
1	-6,67%	7,81%	-1,18%
2	-4,76%	8,70%	1,19%
3	-1,25%	-9,33%	-2,94%
4	-1,27%	-5,88%	-3,64%
5	12,82%	-6,56%	-6,29%
6	18,18%	-3,39%	3,36%
7	8,33%	-1,75%	-5,84%
8	-10,58%	-3,57%	-2,07%
9	-12,90%	7,41%	-3,52%
10	-2,47%	10,34%	-5,11%
11	2,53%	9,38%	-15,38%
12	3,70%	20,00%	13,64%
13	4,76%	7,14%	0,84%
14	4,55%	-2,22%	-10,00%
15	-13,04%	-4,55%	-2,78%
16	15,00%	1,19%	-8,57%
17	13,04%	-0,12%	-4,17%
18	10,58%	-1,19%	-8,70%
19	14,04%	-3,61%	-8,33%
20	36,92%	-1,25%	-9,09%
21	1,12%	1,27%	-5,71%
22	-6,67%	2,50%	15,15%
23	-10,71%	-2,44%	18,42%
24	-9,33%	2,50%	-2,22%

Następnie obliczam średnią, odchylenie standardowe i wariancję stóp zwrotu poszczególnych akcji. Wyliczenia te przedstawione są w poniższej tabeli:

	Akcja A	Akcja B	Akcja C
Średnia	2,75%	1,35%	-2,21%
Odchylenie standardowe	0,1195	0,0675	0,0805
Wariancja	0,014289283	0,004561	0,006486

Ponadto wyliczam korelację między stopami zwrotu poszczególnych akcji:

ρ_AC = -0,378345486

ρ_BA = - 0,17859

ρ_BC = 0,225133

Powyższe wyliczenia pozwolą mi na wyznaczenie udziałów portfela akcji o minimalnym ryzyku przy zadanym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu.

W tym celu wyznaczam macierz D o wymiarach (n+2) × (n+2), której elementy określone są następująco:

d_ii = 2s_i² dla i = 1,2,3,…,n;

d_ij = 2s_is_j dla i,j = 1,2,3,…,n;

d_i,n+1 = d_n+1,i = 1 dla i = 1,2,3,…,n;

d_i,n+2 = d_n+2,i = R_i dla i = 1,2,3,…,n;

d_n+1,n+1 = d_n+1,n+2 = d_n+2,n+1 = d_n+2,n+2 = 0,

gdzie R_i to średnia stopa zwrotu dla i-tej akcji.

Dla danych z zadnia macierz D przedstawia się następująco:

0,028578567	-0,00288	-0,00728	1	0,0275
-0,002883479	0,009122	0,002449	1	0,0135
-0,007284526	0,002449	0,012971	1	-0,0221
1	1	1	0	0
0,0275	0,0135	-0,0221	0	0

D =

Natomiast macierz odwrotna do macierzy D, która oznaczona jest symbolem D^-1, jest równa:

20,86900704	-29,0805	8,211515	0,23379	5,306323
-29,08052221	40,5231	-11,4426	0,294878	20,73847
8,211515172	-11,4426	3,231058	0,471331	-26,0448
0,233790498	0,294878	0,471331	-0,00391	0,05522
5,306322922	20,73847	-26,0448	0,05522	-12,2602

D^-1 =

Do obliczeń potrzebny jest jeszcze wektor I₀, charakteryzujący się tym, że ma (n+2) elementów, gdzie n pierwszych elementów wynosi 0, przedostatni 1, a ostatni równy jest zadanej stopie zwrotu z portfela. Musimy tu uwzględnić fakt, iż wymagana stopa zwrotu z portfela ujęta jest jako roczna stopa, a stopy zwrotu z akcji wyrażone są miesięcznie. W tym celu przeliczamy roczną stopę zwrotu, która wynosiła 20%, na miesięczną. W przypadku tego zadania miesięczna wymagana stopa zwrotu wynosi 1,67%, a wektor I₀ jest postaci:

0

0

0

1

0,0167

I₀ =

Udział akcji poszczególnych spółek (A, B i C) w poszukiwanym portfelu określony jest za pomocą następującego wzoru:

w^** = D^-1I₀

Po podstawieniu do powyższego wzoru otrzymujemy wektor wyników:

0,322406091

0,641210707

0,036383202

-0,002992445

-0,149524517

w^{** =}

W ujęciu procentowym wektor ten przedstawia się następująco:

32,24%

64,12%

3,64%

-0,30%

-14,95%

w^{** =}

Z powyższego wynika, że portfel nie wymaga stosowania krótkiej sprzedaży, a udział akcji poszczególnych spółek w portfelu jest następujący:

w_A= 0,3224, w_B=0,6412, w_C=0,364

Polecenie 2.

Tą część zadnia można rozwiązać stosując metodę analogiczną do metody zastosowanej
w poleceniu 1., z uwzględnieniem modyfikacji w postaci dołączenia instrumentu wolnego od ryzyka. Jednakże można także postawiony problem rozwiązać przy użyciu metody bazującej na teorii mnożników Lagrange'a.

Wprowadzam oznaczenia:

- udział akcji A w portfelu;

- udział akcji B w portfelu;

- udział akcji C w portfelu;

- stopa zwrotu z akcji A;

- stopa zwrotu z akcji B;

- stopa zwrotu z akcji C;

R - stopa zwrotu z portfela ;

-wariancja stopy zwrotu dla akcji A;

- wariancja stopy zwrotu dla akcji B;

- wariancja stopy zwrotu dla akcji C;

- wariancja stopy zwrotu portfela;

- kowariancja stóp zwrotu dla akcji i oraz j, gdzie i= A, B, C, j= A, B, C,
;

C- macierz wariancji-kowariancji stóp zwrotu;

- udział w portfelu waloru bez ryzyka (bonu skarbowego);

R_f - roczna stopa zwrotu bonu skarbowego: 0,1212

Aby wyznaczyć portfel o najmniejszym ryzyku, składający się z akcji A, B, C oraz bonów skarbowych, wyznaczam ryzyko całego portfela i minimalizuję jego wartość przy zadanych warunkach ograniczających znajdując optymalne wartości
,
,
,
.

Zakładam, że miarą ryzyka waloru (również portfela) jest wariancja stopy zwrotu.

Dla portfela wariancja wyraża się wzorem:

= W^TC W

gdzie:

W^T=[
,
,
]

W danym przypadku uzyskuję:

=
C
,

gdzie

0,014289	-0,17859	-0,37835
-0,17859	0,004561	0,225133
-0,37835	0,225133	0,006486

C =

Aby optymalizować funkcję
na zbiorze wyznaczonym przez warunki ograniczające korzystam z twierdzenia o istnieniu mnożników Lagrange'a.

Tw.

Niech X = Rⁿ i niech funkcje f: X
R i g_i: X
R dla i = 1, ..., m będą różniczkowalne. Jeżeli w punkcie x*
X, jest przyjmowane minimum f na zbiorze {x: g_i(x)=0 dla i = 1, ..., m}
i gradienty funkcji g_i są liniowo niezależne w x*, to istnieje taki wektor
R^m, że

W danym przypadku funkcje f oraz g_i są różniczkowalne, więc spełnione są warunki twierdzenia.

Def.

Funkcję L(
,x) = f(x)-
g(x) nazywamy lagrangianem a wektor
mnożnikami Lagrange'a

Minimalizuję ryzyko
przy warunkach ograniczających:

1. portfel składa się z trzech akcji oraz bonów skarbowych, czyli

2. inwestor wymaga, aby roczna stopa zwrotu z inwestycji wyniosła przynajmniej 20%, czyli:

R =

3. można dokonywać krótkiej sprzedaży

Przypadek 1.

Portfel o minimalnym ryzyku składa się tylko z bonów skarbowych. Wtedy:

R = 0,1212

= 0

Ponieważ portfel nie osiąga żądanej stopy zwrotu, więc nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym.

Przypadek 2.

Minimalizuję ryzyko portfela przy warunkach ograniczających:

Stosując metodę mnożników Lagrange'a otrzymuję równanie do rozwiązania:

2 C
=

+

gdzie:

0,014289	-0,17859	-0,37835
-0,17859	0,004561	0,225133
-0,37835	0,225133	0,006486

C =

Dostaję rozwiązanie:

= 0,29%

= 8,05%

= -19,52%

= 111,18%

R= 0,20

Portfel ten jest portfelem o najmniejszym ryzyku dla zadanej wartości stopy zwrotu (R = 20%), lecz wymaga dokonania krótkiej sprzedaży akcji C, przy czym wartość pożyczonych akcji powinna wynieść 19,52% wartości inwestycji. Nałożenie warunku, iż wartość pożyczonych akcji nie może przekraczać 10% wartości inwestycji również pozwoliłoby znaleźć portfel o zadanej stopie zwrotu, ale jego ryzyko (odchylenie standardowe) byłoby większe.

Gdyby jednak inwestor chciał nałożyć wyżej wymieniony warunek kosztem zwiększenia ryzyka portfela to musiałby rozwiązać poniższe równanie:

2 C
=

+

+

Przy warunkach ograniczających:

Zadanie 2.

Oceń, czy jest to dobry fundusz.

Rok	Stopa zwrotu
		Fundusz	Indeks	Roczne bony skarbowe
1	13,00%	11,00%	3,00%
2	9,00%	6,00%	3,50%
3	18,00%	19,00%	3,70%
4	-7,00%	-2,00%	3,50%
5	22,00%	10,00%	4,50%
6	27,00%	21,00%	4,00%
7	19,00%	16,00%	3,30%
8	13,00%	19,00%	3,00%
9	-8,00%	-4,00%	3,50%
10	15,00%	15,00%	4,00%

ROZWIĄZANIE

Zanim przejdę do oceny danego funduszu, wyliczam podstawowe statystyki.

Statystyka	Fundusz	Indeks	Roczne bony skarbowe
Średnia stopa zwrotu	12,10%	11,10%	3,60%
Odchylenie standardowe (ryzyko)	0,115031	0,08749	0,00469

Ocenę funduszu opieram na teoriach dotyczących modeli rynku kapitałowego.
Przede wszystkim bazuję na modelu jednowskaźnikowym Sharpe'a i modelu równowagi rynku kapitałowego CAPM (model wyceny aktywów kapitałowych - capital asset pricing model).

Zgodnie z teorią, przyjmuję, że kształtowanie się stóp zwrotu funduszu jest w dużym stopniu powiązane ze stopą zwrotu indeksu rynku, który może być traktowany jako substytut portfela rynkowego.

Dodatkowo przyjmuje założenia klasycznej CAPM, tj.:

- nie ma kosztów transakcji;

- jest doskonała podzielność instrumentów finansowych;

- nie ma podatków od dochodów osobistych;

- transakcje pojedynczego inwestora nie mogą mieć wpływu na ocenę instrumentu finansowego;

-przy podejmowaniu decyzji inwestorzy biorą pod uwagę tylko oczekiwaną stopę zwrotu
i ryzyko instrumentów finansowych;

- występuje krótka sprzedaż akcji;

- istnieje nieograniczona możliwość udzielania bądź zaciągania kredytu przy stopie wolnej od ryzyka;

- wszyscy inwestorzy podejmują decyzję na jeden okres;

- wszyscy inwestorzy mają te same oczekiwania co do charakterystyk instrumentów finansowych

- wszystkie instrumenty mogą być bez przeszkód kupowane lub sprzedawane na rynku.

1. Po pierwsze, sprawdzam, czy dany fundusz jest efektywny.

Korzystając ze wzoru na linię rynku kapitałowego - CLM wyliczę oczekiwaną stopę zwrotu portfela (funduszu) efektywnego.

W tym celu wyliczam następujące charakterystyki:

s - odchylenie standardowe stopy zwrotu (ryzyko) portfela efektywnego (funduszu);

R_M - oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego;

R_f - stopa zwrotu wolna od ryzyka;

s_M - odchylenie standardowe stopy zwrotu (ryzyko) portfela rynkowego.

Dla danych z zadania charakterystyki te kształtują się następująco:

s = 0,115031

R_M = 11,10%

R_f = 3,60%

s_M = 0,08749

Obliczam oczekiwaną stopę zwrotu funduszu efektywnego R korzystając z poniższego wzoru:

R = R_f + [(R_M - R_f)/s_M]s

Dla danych z zadania wyliczam oczekiwaną stopę zwrotu funduszu efektywnego R.

R = 13,46%.

Tymczasem oczekiwana stopa zwrotu funduszu (R_fund) wynosi 12,10%.

Ponieważ R_fund < R to można stwierdzić, iż fundusz jest nieefektywny.

2. Fundusz ocenię również ze względu na kryterium stopnia reagowania stopy zwrotu
z funduszu na zmiany zachodzące na rynku.

Obliczam współczynnik β, który wskazuje, o ile procent (w przybliżeniu) wzrośnie stopa zwrotu funduszu, gdy stopa zwrotu indeksu rynku wzrośnie o 1%.
Korzystam z następującego wzoru (jest to ocena parametru linii charakterystycznej, oszacowana metodą najmniejszych kwadratów):

β = [
(R_t - Rs)(R_Mt - Rs_M)]/(
(R_Mt - Rs_M)²),

gdzie:

n - liczba okresów;

R_t - stopa zwrotu funduszu w t-tym okresie;

Rs - średnia arytmetyczna stóp zwrotu funduszu;

R_Mt - stopa zwrotu indeksu rynku w t-tym okresie;

Rs_M - średnia arytmetyczna stóp zwrotu indeksu rynku.

Obliczony współczynnik kształtuje się następująco:

β = 1,17.

Współczynnik β jest większy od jedności (β>1), co oznacza, że stopa zwrotu funduszu w dużym stopniu reaguje na zmiany zachodzące na rynku jest to fundusz agresywny.

3

---