Na dzisiejszych zajęciach wykonamy zadania z funkcji charakterystycznej. I na początek takie zadanie. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, a jej funkcja charakterystyczna ma postać:
. Należy policzyć wartość oczekiwaną (EX) i wariancję (
). Na początek liczymy pochodną funkcji charakterystycznej, czyli
. Stąd EX wyliczymy podstawiając do pochodnej funkcji charakterystycznej za t - 0. Więc EX =
. Następną rzeczą będize policzenie pochodnej pochodnej funkcji charakterystycznej. A więc:
. I na podstawie tego liczymy
podstawiając za t - 0, co pomoże nam w wyliczeniu
. A zatem:
. I teraz:
.

I teraz następne zadanie. Znamy funkcję charakterystyczną
. Należy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Zadanie jest proste. Rozłóżmy funkcję charakterystyczną:

. Stąd wynika rozkład zmiennej w postaci tabelki:

	-1	1
	1/2	1/2

I to tyle, jeśli chodzi o funkcję charakterystyczną. Teraz natomiast wykonamy takie zadania dotyczące zmiennej losowej dwuwymiarowej. I mamy takie zadanie. Mamy zmienna losową dwuwymiarową o rozkładzie skokowym danym w postaci tabelki:

y x	-1	0
0	0,1	0,2	0,3
1	0,4	0,3	0,7
0,5	0,5	1

Należy wyznaczyć macierz kowariancji K, współczynnik
i prosta regresji. Aby tego dokonać należy policzyć pięć parametrów:
. I tak:

EX = 0,7 (odczytując z tabelki)

EY = -0,5

COV(X, Y) = E(X, Y) - EXEY = [0 * (-1) * 0,1 + 0 * 0 * 0,2 + 1 * (-1) * 0,4 + 1 * 0 * 0,3 ] + 0,35 = -0,4 + 0,35 = -0,05. 0,35, bo 0,7 * 0,5.

Stąd:
. Teraz obliczamy współczynnik:

Stąd wynika słaba zależność między X a Y. I na sam koniec obliczamy prostą regresji:

Kolejne zadanie. Mamy daną macierz kowariancji
. Należy obliczyć współczynnik ro. Zadanie jest bardzo proste:
.

Na sam koniec takie oto zadanie domowe do rozwiązania. Mamy zmienna losową dwuwymiarową o rozkładzie skokowym danym w postaci tabelki:

x \ y	0	1	2
5	0	0	0,1
6	0,1	0,2	0,1
7	0,3	0,1	0,1

Należy wyznaczyć macierz kowariancji, współczynnik ro, oraz prosta regresji.

---