Centralne Tw. Graniczne:

(tw. Lapunowa)

Jeżeli zm. los. X jest sumą bardzo dużej ilości wzajemnie niezależ. zm. los., przy czym wpływ każdej z tych zmiennych na sumę jest znikomy, to rozkład zm. los. X jest w przybliżeniu rozkł. normalnym.

Do badania odchylenia danego rozkładu o rozkł. normal. służą:

-współcz. asymetrii (skośności):

-współcz. ekscesu

F. gęstości funkcji zm. los:

jeśli
jest f. różniczkowalną, ściśle rosnącą lub malejcą i
'(x)≠0, to rozkład zm. los. za pomocą f. gęst. wyraża się wzorem:

Parametry rozkładu zm. los:

Moment zwykły rzędu k: m_k=E{X^k}

zm. skokowa (dyskretna):

m_k=Σx_i^k⋅p_i

zm. typu ciągłego:

m_k=∫x_i^k⋅f(x) dx

Moment centralny:

μ_k=E{[X-EX]^k}

własności m. centr:

1. μ₂=m₂-(m₁)²

2. Y=g(X) to:

E(g(X))=Σg(x_i)⋅p_i

E(g(X)) =∫g(x)⋅f(x) dx

3. E{g₁(X)+ g₂(X)}= =E{g₁(X)}+E{g₂(X)}

4. μ₁=0

5. μ₃=m₃-3m₁m₂+2m₁³

Odchylenie przeciętne:

określa rozrzut wart. zm. los. od jej wart. oczekiwanej:

d(X)=EX-EX

d(X) ≤ D(X) (odch.stand)

WIELOWYMIAR. ZM. LOS.

dane: X, Y i f. g(X,Y)

Wartość oczekiwana:

-typ dyskretny

E[g(X,Y)]=Σ_iΣ_jg(x_iy_j)⋅p_ij

-typ ciągły

E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y) ⋅f(x,y) dxdy

Moment zwykły rzędu l+n:

m_ln=E{X^lYⁿ)

m₀₁=EY m₁₀=EX rz. pierwszy

Moment centralny rzędu l+n:

μ_ln=E{(X-EX)^l⋅(Y-EY)ⁿ}

μ₁₀=μ₀₁=0 rz.1

μ₂₀=D²X rz.2

μ₀₂=D²Y rz.2

μ₁₁= E{(X-EX)⋅ (Y-EY)}= =cov(X,Y)

cov(X,Y)=0 to zm. są niezależne

ρ_XY=0 to zm. są nieskorelowane

NIERÓWNOŚĆ CZEBYSZEWA:

FUNKCJE CHARAKTERYST.:

własności:

1. 
   jest bezwzględnie zbieżny

2. e^z1⋅e^z2=e^z1+z2

3. e^z≠0

4. e^iż=cosz+isinz

5. sin²z+cos²z=1

6. wzory Eulera:

7. 
   

8. pochodna:

9. jest ciągła

Centralne Tw. Graniczne:

(tw. Lapunowa)

Jeżeli zm. los. X jest sumą bardzo dużej ilości wzajemnie niezależ. zm. los., przy czym wpływ każdej z tych zmiennych na sumę jest znikomy, to rozkład zm. los. X jest w przybliżeniu rozkł. normalnym.

Do badania odchylenia danego rozkładu o rozkł. normal. służą:

-współcz. asymetrii (skośności):

-współcz. ekscesu

F. gęstości funkcji zm. los:

jeśli
jest f. różniczkowalną, ściśle rosnącą lub malejcą i
'(x)≠0, to rozkład zm. los. za pomocą f. gęst. wyraża się wzorem:

Parametry rozkładu zm. los:

Moment zwykły rzędu k: m_k=E{X^k}

zm. skokowa (dyskretna):

m_k=Σx_i^k⋅p_i

zm. typu ciągłego:

m_k=∫x_i^k⋅f(x) dx

Moment centralny:

μ_k=E{[X-EX]^k}

własności m. centr:

• μ₂=m₂-(m₁)²

• Y=g(X) to:

E(g(X))=Σg(x_i)⋅p_i

E(g(X)) =∫g(x)⋅f(x) dx

• E{g₁(X)+ g₂(X)}= =E{g₁(X)}+E{g₂(X)}

• μ₁=0

• μ₃=m₃-3m₁m₂+2m₁³

Odchylenie przeciętne:

określa rozrzut wart. zm. los. od jej wart. oczekiwanej:

d(X)=EX-EX

d(X) ≤ D(X) (odch.stand)

WIELOWYMIAR. ZM. LOS.

dane: X, Y i f. g(X,Y)

Wartość oczekiwana:

-typ dyskretny

E[g(X,Y)]=Σ_iΣ_jg(x_iy_j)⋅p_ij

-typ ciągły

E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y) ⋅f(x,y) dxdy

Moment zwykły rzędu l+n:

m_ln=E{X^lYⁿ)

m₀₁=EY m₁₀=EX rz. pierwszy

Moment centralny rzędu l+n:

μ_ln=E{(X-EX)^l⋅(Y-EY)ⁿ}

μ₁₀=μ₀₁=0 rz.1

μ₂₀=D²X rz.2

μ₀₂=D²Y rz.2

μ₁₁= E{(X-EX)⋅ (Y-EY)}= =cov(X,Y)

cov(X,Y)=0 to zm. są niezależne

ρ_XY=0 to zm. są nieskorelowane

NIERÓWNOŚĆ CZEBYSZEWA:

FUNKCJE CHARAKTERYST.:

własności:

1. 
   jest bezwzględnie zbieżny

2. e^z1⋅e^z2=e^z1+z2

3. e^z≠0

4. e^iż=cosz+isinz

5. sin²z+cos²z=1

6. wzory Eulera:

7. 
   

8. pochodna:

9. jest ciągła

Progetti di viaggio

G: Fare un progrmma di viaggio da soli č piuttosto complicato. Non credi che sia meglio rivolgersi ad un'agenzia?

M: Penso proprio che tu abbia ragione. Per quanto uno sappia esattamente cosa vuole vedere, non č facile orientarsi in un paese sconosciuto.

G: Sono contento che tu sia d'accordo con me. Allora non ci resta che scegliere un'agenzia seria che ci possa suggerire un programma interessante e alla portata dele nostre tasche.

M: Immagino che un paese in cui la vita è a buon mercato sia Grecia.

G: Chissa! Forse è più conveniente la Jugoslavia, benche negli ultimi anni il livello di vita sia cresciuto anche lì.

M: Non ti sembra che le bellezze naturali ed artistiche della Grecia siano superiori a quelle della Jugoslavia?

G: Non sono convinto che la Jugoslavia abbia qualcosa da invidiare alla Grecia. Secondo me è altrettanto bella.

M: Potremmo sentire l'opinione di Gianni. Mi pare che sia stato più di una volta in Jugoslavia e sono sicuro che conosce bene la Grecia.

G: Intanto bisogna che uno di noi si informi sui prezzi e sulle eventuali facilitazioni per studenti.

M: Prima di andare all'agenzia direi che sia meglio decidere quale paese vogliamo visitare.

G: Al. limite, a me andrebbe bene anche la Spagna, anzi, la preferirei perchè so un po' di spagnolo.

M: Ho l'impressione che tu non abbia le idee chiare a proposito del viaggio da fare.

G: Infatti. Allora sai che ti dico? Qualunque posto tu scelga mi sta bene.

M: Insomma pretendi che sia io a decidere! èuna grossa responsabilità, ma l'accetto, a patto che poi tu non mi dia la colpa di aver preso una decisione sbagliata.

---