Nr ćwicz. 209	Data: 22.10.97	Arkadiusz Sitek	Wydział Elektryczny	Semestr: I	Grupa: T4
prowadzący: prof. dr hab. Danuta Wróbel					Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena ostat.:

Temat: Wyznaczanie stałej Boltzmanna z charakterystyki tranzystora

Wstęp teoretyczny:

Stała Boltzmanna , oznaczana przez k, jest uniwersalną stałą fizyczną określoną przez stosunek dwóch innych stałych: stałej gazowej R i liczby Avogarda N_A

. (1)

W kinetycznej teorii gazów wykazuje się że średnia energia kinetyczna ruchu cieplnego cząstki w temperaturze T , przypadająca na jeden stopień swobody, wynosi (1/2)kT i nie zależy od rodzaju ruchu (postępowy, rotacyjny czy oscylacyjny ), ani od wielkości cząstki.

Stała Boltzmanna występuje we wszystkich równaniach zawierających klasyczne lub kwantowe funkcje rozkładu energetycznego cząstek. Oto kilka przykładów takich równań:

(a) Rozkład prędkości drobin gazu opisany jest funkcją podaną po raz pierwszy przez Maxwella

(2)

N_vdv w powyższym równaniu określa ilość drobin, których prędkości są zawarte w wąskim przedziale (v, v + dv ). Maksimum tej funkcji przypada dla prędkości v_p, która jest najbardziej prawdopodobna w danej temperaturze jej wartość jest określona między innymi przez stałą Boltzmanna v_p = (2kT/m)^1/2 .

(b) Prawdopodobieństwo zajęcia przez elektron poziomu energetycznego o wartości E w krysztale podaje funkcja rozkładu Frermiego-Diraca

, (3)

gdzie E_F jest energią ( poziomem ) Fermiego

W niskich temperaturach funkcja rozkładu ma ciekawy przebieg; mianowicie f(E) = 1, gdy E < E_F oraz f(E) = 0, gdy E > E_F . Przy takiej funkcji rozkładu wszystkie poziomy poniżej E_F są całkowicie zajęte ( f = 1 ), a poziomy powyżej E_F są puste ( f = 0 ). Przejście od wartości 1 do zera odbywa się w wąskim przedziale energii - jego szerokość zależy od temperatury oraz od stałej Boltzmanna wynosi około 5kT.

(c) Dla niskich temperatur lub dużych wartości energii ( każdy z tych warunków wyraża się przez stałą Boltzmanna E - E_F >> kT ) kwadratowa funkcja rozkładu może być zastąpiona klasyczną funkcją statystyczną Maxwella - Boltzmanna:

. (4)

(d) Prąd płynący przez złącze p-n dwóch półprzewodników o różnych typach przewodnictwa opisany jest wyrażeniem zawierającym wyraz wykładniczy, w którym występuje iloczyn kT

. (5)

W powyższym równaniu V oznacza przyłożone do złącza napięcie, e - ładunek elektronu, I_s - prąd wsteczny.

Zasada pomiaru:

Prąd płynący przez tranzystor przy zwartym obwodzie kolektor emiter zmienia się z napięciem U_BE zgodnie z równaniem:

(6)

Po obustronnym logarytmowaniu wzoru (6) otrzymujemy:

(7)

Z wykresu funkcji ln I_K = f(U_BE) możemy odczytać kąt nachylenia którego tga = e/kT. Znając zatem kąt nachylenia prostej (możemy go określić korzystając z regresji liniowej) i temp. w której dokonywaliśmy pomiarów, możemy wyznaczyć wartość stałej Boltzmanna:

(8)

Schemat połączeń:

Analiza pomiarów:

Lp.	UBE [V]	IK [mA]	T [°C]	T [K]	ln IK
1.	0,6	383	23	296	5,948
2.	0,58	351	23	296	5,861
3.	0,56	205	23	296	5,323
4.	0,54	93	23	296	4,533
5.	0,52	41	23	296	3,714
6.	0,5	19	23	296	2,944
7.	0,48	8	23	296	2,079
8.	0,46	3	23	296	1,099
9.	0,44	1	23	296	0
10.	0,42	0	23	296	-
1.	0,6	138	2	275	4,927
2.	0,58	59	2	275	4,078
3.	0,56	25	2	275	3,219
4.	0,54	10	2	275	2,303
5.	0,53	7	2	275	1,946
6.	0,52	4	2	275	1,386
7.	0,51	3	2	275	1,099
8.	0,5	2	2	275	0,693
9.	0,49	1	2	275	0
10.	0,48	0	2	275	-
1.	0,6	392	52	325	5,971
2.	0,58	378	52	325	5,935
3.	0,56	363	52	325	5,894
4.	0,54	346	52	325	5,846
5.	0,52	324	52	325	5,781
6.	0,5	276	52	325	5,62
7.	0,48	144	52	325	4,97
8.	0,46	69	52	325	4,234
9.	0,44	33	52	325	3,497
10.	0,42	16	52	325	2,773
11.	0,4	7	52	325	1,946
12.	0,38	3	52	325	1,099
13.	0,35	1	52	325	0
14.	0,34	0	52	325	-

Korzystając ze wzoru (8) możemy wyznaczyć stałą Boltzmanna k dla każdej z trzech temperatur, a następnie wyznaczamy średnią arytmetyczną z otrzymanych wartości k.

Regresję liniową obliczamy korzystając ze wzoru:

y=A+Bx

Stała A Współczynnik regresji B

Obliczenia dla T=2 [°C]:

A=-21,27

B=43,71

Obliczenia dla T=23 [°C]:

A=-16,5

B=38,46

k=1,41*10^-23

Obliczenia dla T=52 [°C]:

A=-12,35

B=35,7

k=1,38*10^-23

Średnia arytmetyczna z trzech pomiarów wynosi:

k=1,37*10^-23

Rachunek błędu:

Odchylenie obliczamy ze wzoru:

Następnie ze względu na to, że odchylenie liczone jest dla małej serii pomiarów, odchylenie s mnożymy przez współczynnik Studenta-Fishera t_n który dla 3 pomiarów wynosi t_n=1,3.

Odchylenie standardowe otrzymujemy korzystając ze wzoru:

Obliczenia błędu:

Wynik końcowy:

k = (1,37 ± 0,03) *10^-23

Wnioski:

Porównując wartość tablicową stałej Boltzmanna x_e = 1,38*10^-23 z wartością pomiarową x_p = 1,37*10^-23 według kryterium zgodności : widać, że wyznaczona w trakcie ćwiczenia wartość stałej Boltzmanna mieści się w granicy błędu.

Z wykresu wynika, że charakterystyka ln J_K=f(U_BE) nie jest liniowa dla całego zakresu napięć baza-emiter. Aby uzyskać jak największą dokładność wyznaczenia stałej Boltzmanna k należy więc obliczając regresję liniową korzystać tylko z tych punktów w których charakterystyka jest linią prostą. Biorąc od uwagę wszystkie punkty pomiarowe otrzymujemy mniejszy współczynnik nachylenia prostej, a co za tym idzie zawyżoną wartość stałej Boltzmanna.

---