INSTYTUT TEORII OBWODÓW LABORATORIUM TEORII OBWODÓW	SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR: 10.
WYKONUJĄCY: Marek Godlewski Marcin Siemaszkiewicz	TEMAT ĆWICZENIA: Przekształcenie całkowe Fouriera.
ROK: III WYDZ.: ELEKTRONIKA KIER.: ESP	DATA: 19.03.95. OCENA:

A. WSTĘP TEORETYCZNY.

W analizie obwodów prądu okresowego znajdują zastosowanie SZEREGI FOURIERA względem dwóch zupełnych, ortogonalnych ciągów funkcyjnych, a mianowicie ciągu funkcji trygonometrycznych:

{1, cos ω₀t, sin ω₀t,...., cos kω₀t, sin ω₀t,....} (1)

oraz ciągu zespolonych funkcji wykładniczych:

(2)

Ciągi te są ortogonalne w każdym przedziale <t₀, t₀ + T> o długości T = 2*/*₀.

1. TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA.

A. Szereg Fouriera sygnału w przedziale skończonym.

Rozważmy sygnał y = y(t) określony w przedziale domkniętym <t₀, t₀ + T> i całkowalny w tym przedziale. Trygonometrycznym szeregiem Fouriera lub inaczej szeregiem Fouriera sygnału y w przedziale <t₀, t₀ + T> nazywamy szereg:

(3)

gdzie ω₀ = 2π/T, zaś współczynniki szeregu a₀, a_k, b_k, k = 1, 2, ... są określone wzorami Eulera - Fouriera:

(4)

Warunki konieczne i dostateczne zbieżności szeregu Fouriera są następujące:

Jeżeli sygnał y = y(t) określony w przedziale <t₀, t₀ + T> jest:

1. Przedziałami monotoniczny w przedziale <t₀, t₀ + T>;

2. Ciągły w przedziale (t₀, t₀ + T), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (skoków);

to w każdym przedziale t ∈ (t₀, t₀ + T) w którym sygnał y = y(t) jest ciągły, zachodzi równość:

(5)

B. Szereg Fouriera sygnału okresowego.

Dotychczas mówiliśmy o rozwinięciu sygnału w szereg Fouriera w skończonym przedziale <t₀, t₀ + T>. Zachowanie się sygnału i jego szeregu Fouriera poza tym przedziałem może być zupełnie różne. Dla sygnałów okresowych możemy sformułować następujące twierdzenie:

Jeżeli sygnał okresowy o okresie T określony i całkowalny w dowolnym przedziale o długości T jest w przedziale (-∞, +∞):

1. Przedziałami monotoniczny;

2. Ciągły, z wyjątkiem co najwyżej przeliczalnej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju;

to jest on rozwijalny w szereg Fouriera (3), tzn. zachodzi równość:

, ω₀ = 2π/T (6)

współczynniki a₀, a_k, b_k są określone wzorem (4) przy czym t₀ w tych wzorach jest dowolną chwilą.

Sformułowane wyżej twierdzenie jest podstawą zastosowań szeregu Fouriera w analizie obwodów prądu okresowego. W dalszym ciągu rozważań będziemy zakładać, że wszystkie rozważane sygnały okresowe są rozwijalne w szereg Fouriera.

C. Inny zapis szeregu Fouriera.

Dla każdej liczby k = 1, 2, ... mamy:

(7)

gdzie:

(8)

Szereg Fouriera sygnału okresowego y możemy zatem zapisać w postaci równoważnej:

(9)

gdzie Y₀ = a₀.

Wyrażenie (9) ma następującą interpretację. Każdy sygnał okresowy y o okresie T

można przedstawić jako sumę sygnału stałego Y₀ (składowej stałej) i, w ogólnym przypadku, nieskończenie wielu sygnałów sinusoidalnych (składowych harmonicznych) o pulsacjach kω₀, będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej ω₀ = 2π/T, oraz o amplitudach Y_mk i fazach początkowych ϕ_k. Składowa stała Y₀ jest równa wartości średniej Y_śr sygnału y. Pierwszą składową harmoniczną nazywamy składową podstawową.

D. Rodzaje symetrii sygnałów.

Sygnały okresowe rozważane w teorii obwodów wykazują często różne rodzaje symetrii. Ich szeregi Fouriera maja wówczas szczególne właściwości.

1. Jeżeli sygnał jest funkcją parzystą, tzn. y(-t) = -y(t), to b_k = 0 dla

k = 1, 2, ... i szereg Fouriera (6) przyjmuje postać:

(10)

Zapisując ten szereg w postaci (9) mamy:

Y_mk = a_k oraz ϕ_k = 0, jeśli a_k > 0, i ϕ_k = π, jeśli a_k > 0.

2. Jeżeli sygnał jest funkcją nieparzystą, tzn. y(-t) = -y(t) to a₀ = 0 oraz a_k = 0 dla k = 1, 2, ... i wówczas:

(11)

Przy zapisie szeregu w postaci (9) zachodzą zależności:

Y_mk = b_k oraz ϕ_k = π/2, jeśli b_k > 0 i ϕ_k = -π/2, jeśli b_k < 0.

3. Jeśli sygnał jest funkcją antysymetryczną, tzn. dla każdego t zachodzi równość:

(12)

gdzie T jest okresem sygnału, to szereg Fouriera zawiera tylko składowe harmoniczne o pulsacjach, będących nieparzystymi wielokrotnościami

pulsacji podstawowej ω₀ = 2π/T, tzn.:

(13)

lub:

(14)

2. POSTAĆ ZESPOLONA SZEREGU FOURIERA.

A. Zależności ogólne.

Załóżmy, że sygnał okresowy o okresie T jest rozwinięty w szereg (6). Uwzględniając w tym szeregu wzory Eulera:

(15)

otrzymamy:

(16)

Wprowadzając następujące oznaczenia:

(17)

możemy napisać:

(18)

lub, rozciągając sumowanie na ujemne wskaźniki mamy:

(19)

Wyrażenie (19) nazywamy postacią zespoloną szeregu Fouriera lub, krócej, zespolonym szeregiem Fouriera sygnału y. Ze wzorów (17) oraz (4) wynika, że współczynniki y_k zespolonego szeregu Fouriera są określonego wzorem:

(20)

Współczynniki y_k zespolonego szeregu Fouriera są liczbami zespolonymi. Mają one dla każdego k = 0, ±1, ±2,..., następujące właściwości:

y_k = y_-k* (21)

lub, równoważnie:

y_k = y_-k ∧ arg y_k = -arg y_-k (22)

B. Związki między współczynnikami.

Między współczynnikami rzeczywistych szeregów Fouriera (6) oraz (9) i zespolonego szeregu Fouriera (19) zachodzą związki:

(23)

3. WIDMO SYGNAŁU OKRESOWEGO.

A. Widmo zespolone.

Z zespolonym szeregiem Fouriera związane jest pojęcie widma sygnału okresowego. Formalnie widmo sygnałów okresowych jest określone następująco:

Widmem zespolonym (widmem Fouriera, widmem) sygnału okresowego y nazywamy ciąg:

{y_k: k = 0, ± 1, ± 2,...} (24)

współczynników rozwinięcia sygnału y w zespolony szereg Fouriera (19).

Widmo (24) stanowi podstawową charakterystykę sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości, określająca jednoznacznie strukturę częstotliwościową sygnału. Przy danym okresie T charakterystyka ta zawiera pełną informację o sygnale.

B. Widmo amplitudowe i widmo fazowe.

Z uwagi na zespolony charakter widma trudno jest wiązać z nim bezpośrednio sens fizyczny. Interpretację fizyczną można natomiast nadać dwóm innym, związanym z widmem zespolonym, charakterystykom częstotliwościowym.

B.1. Ciąg liczb rzeczywistych:

{y_k: k = 0, ±1, ±2,...} (25)

nazywamy widmem amplitudowym sygnału okresowego y.

B.2. Ciąg liczb rzeczywistych:

{ϕ_k: k = 0, ±1, ±2,...} (26)

takich, że:

(27)

nazywamy widmem fazowym sygnału okresowego y.

Tak zdefiniowane widma: amplitudowe i fazowe są określone zarówno dla dodatnich k (dodatnich pulsacji) jak i ujemnych k (ujemnych pulsacji). Interpretację fizyczną mają jednak oczywiście tylko prawostronne części widma amplitudowego i widma fazowego, określone dla nieujemnych wartości k (dla pulsacji ω = 0 i pulsacji harmonicznych kω₀, k = 1, 2,...). Interpretacja ta jest oczywista i wynika z porównania postaci (9) i (19) szeregu Fouriera:

• współczynnik y₀ jest składową stałą sygnału, równą jego wartości średniej Y_śr;

• podwojony moduł y_k współczynnika y_k jest amplitudą k-tej składowej harmonicznej sygnału, k = 1, 2,...;

• współczynnik ϕ_k jest fazą początkową k-tej składowej harmonicznej sygnału, k = 1, 2,...

Można zatem przyjąć, że prawostronne widma sygnału: amplitudowe i fazowe stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości. Przy danym okresie T reprezentacja ta określa ten sygnał jednoznacznie. Należy podkreślić, że ma ona wyraźny sens fizyczny. Widma prawostronne: amplitudowe i fazowe są bowiem, podobnie jak sam sygnał, wielkościami fizycznymi. Można je pomierzyć i tak jak sygnał można obejrzeć na ekranie oscyloskopu, tak jego widmo można obejrzeć na ekranie analizatora (przykładem obrazu sygnału i widma sygnału są rysunki 2,3,4,5).

C. Reprezentacja graficzna widma.

Z właściwości (22) współczynników zespolonego szeregu Fouriera wynika, że widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą, zaś widmo fazowe - funkcją nieparzystą zmiennej k. Widma amplitudowe i fazowe sygnału sinusoidalnego o prostowaniu jednopołówkowym, o okresie T i amplitudzie A są przedstawione na rysunkach A i B. Widma amplitudowe różnych sygnałów są przedstawione na rysunkach 2, 3, 4, 5. Na rysunkach tych przyjęliśmy powszechnie stosowany sposób reprezentacji graficznej widma sygnału okresowego, zgodnie z którym k-ty wyraz widma amplitudowego jest przedstawiony jako prążek o wysokości y_k, umieszczony w punkcie kω₀ osi pulsacji, natomiast k-ty wyraz widma fazowego - jako prążek o wysokości ϕ_k umieszczony w punkcie kω₀ osi pulsacji. Widma tego typu są nazywane widmami dyskretnymi lub - od przyjętej konwencji graficznej ich przedstawienia - widmami prążkowymi.

Ogólnie biorąc, widmami dyskretnymi nazywamy takie widma, w których prążki występują w przeliczalnym zbiorze punktów osi pulsacji. Widma sygnałów okresowych są zatem szczególnym przypadkiem widm dyskretnych. Cechą charakterystyczną widm sygnałów okresowych jest to, że prążki mogą w nich występować tylko w tych punktach osi pulsacji, które są wielokrotnościami pulsacji podstawowej ω₀ sygnału.

4. WŁAŚCIWOŚCI ZESPOLONEGO SZEREGU FOURIERA.

A. Podstawowe twierdzenia.

W analizie sygnałów okresowych, w szczególności przy wyznaczaniu ich widm, wygodnie jest korzystać z twierdzeń, które można sformułować dla zespolonego szeregu Fouriera. Załóżmy, że x i y są sygnałami o tym samym okresie T = 2π/ω₀

oraz że ciągi {x_k} i {y_k} są ich widmami. Odwzorowania sygnałów w ich widma będziemy zapisywać symbolicznie w postaci:

x ↔ {x_k}, y ↔ {y_k} (28)

Słuszne są wówczas następujące twierdzenia określające własności zespolonego szeregu Fouriera:

A.1. Twierdzenie o liniowości.

a x(t) + b y(t) ↔ {a x_k + b y_k}, a, b ∈ℜ (29)

A.2. Twierdzenie o zmianie skali (o podobieństwie).

x (t/a) ↔ {a x_k}, a ∈ ℜ⁺ (30)

A.3. Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu.

x (t - t₀) ↔ {x_k }, t₀ ∈ ℜ (31)

A.4. Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości.

x (t) ↔ {x_k-m}, m ∈ C (32)

A.5. Twierdzenie o różniczkowaniu.

n = 1, 2,... (33)

A.6. Twierdzenie o całkowaniu.

, k ≠ 0 (34)

gdzie X₀ = Xśr jest wartością średnią za okres T sygnału x.

A.7. Twierdzenie o iloczynie.

x(t) y(t) ↔ (35)

A.8. Twierdzenie o iloczynie skalarnym.*

Zwrócimy uwagę na jeszcze jedno z twierdzeń dotyczących zespolonego szeregu Fouriera, zwane twierdzeniem o iloczynie skalarnym. Twierdzenie to mówi, że zachodzi następująca równość:

(35 A)

gdzie t₀ jest dowolne.

Twierdzenie o iloczynie skalarnym wynika bezpośrednio z twierdzenia (35). Nietrudno bowiem zauważyć, że lewa strona równości (35 A) jest wartością średnią za okres sygnału iloczynowego x(t) y(t), a więc zarazem elementem o numerze k = 0 ciągu występującego po prawej stronie odpowiedniości (35).

Jeżeli we wzorze (35 A) przyjmiemy x ≡ y i uwzględnimy związek (21), to otrzymamy równość:

(35 B)

zwaną równością Parsevala.

Biorąc pod uwagę, że y₀ = Y₀ oraz y_k = y_-k = 0,5 Y_mk, równość Parsevala możemy także zapisać w postaci:

(35 C)

Zauważmy, że lewa strona równości Parsevala jest kwadratem wartości skutecznej sygnału y. Wynika stąd, że wartość skuteczną sygnału można wyrazić poprzez współczynniki jego szeregu Fouriera wzorem:

(35 D)

lub, uwzględniając, że Y_mk = √2 Y_{sk k}, wzorem:

(35 E)

Zależność (35 D) lub (35 E) jest nazywana twierdzeniem o wartości skutecznej sygnału okresowego.

Związki (35 D) lub (35 E) są szczególnie użyteczne, gdy nie znana jest postać funkcji opisującej sygnał okresowy lub też, gdy obliczenie całki definicyjnej jest trudne (bądź wręcz niemożliwe), natomiast znane jest rozwinięcie tego sygnału w szereg Fouriera. Z sytuacją taką mamy często do czynienia w analizie obwodów prądu okresowego. Wynika stąd praktyczne znaczenie twierdzenia o wartości skutecznej sygnału okresowego w analizie tej klasy obwodów.

5. UZUPEŁNIENIA I KOMENTARZE.

A. Parametry sygnału okresowego.

Oprócz wartości skutecznej definiuje się także inne parametry charakteryzujące sygnał okresowy y:

A.1. Współczynnik odkształcenia (współczynnik zawartości pierwszej harmonicznej):

, η₁ ∈ <0,1> (36)

A.2. Współczynnik zwartości k-tej harmonicznej.

, η₁ ∈ <0,1> k = 2, 3,... (37)

A.3. Współczynnik zawartości harmonicznych.

, h ∈ <0,1> (38)

A.4. Współczynnik szczytu.

, y_max = max y(t) (39)

A.5. Współczynnik kształtu.

, (40)

C. Aproksymacja sygnału.

W zagadnieniach praktycznych często zachodzi konieczność ograniczenia się do reprezentacji sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (inaczej mówiąc do aproksymacji sygnału sumą częściową szeregu Fouriera.

Rozważmy aproksymację sygnału okresowego 2K + 1 ,,środkowymi” wyrazami jego zespolonego szeregu Fouriera:

(41)

Oznacza to przybliżenie sygnału y jego składową stałą i pierwszymi K

harmonicznymi. Istotne w praktyce znaczenie ma przy tym błąd, jaki popełniamy przyjmując aproksymację (41). Zdefiniujemy sygnał błędu aproksymacji sumą częściową (41) jako:

(42)

Błąd aproksymacji sygnału y sumą (41) można prawidłowo ocenić, jeżeli zdefiniuje się odpowiednio miarę tego błędu. Za miarę błędu przyjmiemy wartość skuteczną sygnału błędu (42):

(43)

Biorąc pod uwagę ortogonalność zbioru funkcji:

{e^jkω0t: k = 0, ± 1, ± 2,...} (44)

można wykazać, że:

(45)

Jako kryterium dokładności aproksymacji sygnału y jego sumą częściową (41) przyjmuje się błąd względny:

(46)

Na jego podstawie można wyznaczyć liczbę wyrazów, które należy uwzględnić w sumie częściowej, aby uzyskać aproksymację sygnału y o założonej dokładności.

C. Efekt Gibbsa.

Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej (41) powoduje zmniejszenie miary błędu aproksymacji (45). W granicy, gdy K → ∞, miara ta dąży do zera. Przejściu granicznemu towarzyszy jednak niekorzystne zjawisko zachodzące w otoczeniu punktów nieciągłości, zwane zjawiskiem Gibbsa. Mimo, że miara (43) błędu aproksymacji dąży do zera gdy K → ∞, to szereg aproksymujący wykazuje znaczne oscylacje w otoczeniu punktów, w których w sygnale aproksymowanym występują skoki. Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości t₀, w którym sygnał zmienia swoją wartość skokowo, np. od wartości 0 do 1, skończony szereg aproksymujący (41) charakteryzuje się oscylacjami, z których największa przyjmuje wartość około 9 % wartości skoku sygnału aproksymowanego dla każdej dowolnie dużej, ale skończonej liczby K. Występowanie tych oscylacji nosi nazwę efektu Gibbsa. Efekt ten został zilustrowany na rys. 1. W miarę wzrostu liczby K oscylacje skupiają się co prawda coraz bardziej wokół punktu nieciągłości, jednak największa z nich stanowi zawsze 9 % wartości skoku w tym punkcie. Dopiero dla K = ∞ oscylacje te znikają i szereg Fouriera przyjmuje wartość równą średniej arytmetycznej granic lewo- i prawostronnej sygnału w tym punkcie. O efekcie tym należy zatem pamiętać w przypadku, gdy sygnał, zawierający punkty nieciągłości pierwszego rodzaju, jest aproksymowany skończonym szeregiem Fouriera. Nie wystarczy oszacować wówczas błąd aproksymacji, lecz trzeba także uwzględnić związany z tą aproksymacją efekt Gibbsa.

D. Podsumowanie.

W analizie sygnałów okresowych i analizie obwodów, w których występują sygnały okresowe, korzysta się z rozwinięć sygnałów zarówno w rzeczywiste, jaki w zespolone szeregi Fouriera. Zaletą operowania szeregami rzeczywistymi jest ich bezpośrednia interpretacja fizyczna.

Rozwinięcie sygnału w szeregi rzeczywiste (np. w szereg (3)) wymaga jednak, z reguły, większej liczby obliczeń niż rozwinięcie w szereg zespolony. Zespoloną postacią szeregu Fouriera dogodniej jest posługiwać się wszelkiego rodzaju formalnych przekształceniach i operacjach wykonywanych na sygnałach okresowych. Zaletą reprezentacji sygnałów okresowych ich zespolonymi szeregami Fouriera jest także formalne podobieństwo z reprezentacją sygnałów nieokresowych za pomocą transformat Fouriera i możliwość ujęcia analizy widmowej sygnałów okresowych i nieokresowych w jednolitych kategoriach formalnych. W zagadnieniach analizy obwodów prądu okresowego należy jednak każdorazowo rozstrzygnąć (w zależności od rozpatrywanego zagadnienia) która z postaci szeregu Fouriera jest korzystniejsza.

B. Część ćwiczeniowa.

1. SYNTEZA FUNKCJI OKRESOWEJ.

A. Syntezowanie przebiegu prostokątnego.

Dokonaliśmy syntezy przebiegu prostokątnego o okresie T i amplitudzie A takich, że:

T = 2π

A = π

Syntezy dikonaliśmy pierwszymi 10 -cioma wyrazami jego zespolonego szeregu Fouriera, który miał następującą postać:

(47)

A.1. Tabela pierwszych dziesięciu wyrazów zespolonego szeregu Fouriera (47):

Nr	F N	F N 	A N = 2F N 	ϕN
F 0	0	0	0	0
F 1	-4j	4	8	-90°
F 2	0	0	0	0
F 3	-1,3333j	1,3333	2, 6666	-90°
F 4	0	0	0	0
F 5	-0,8j	0,8	1,6	-90°
F 6	0	0	0	0
F 7	-0.5714j	0.5714	1,1428	-90°
F 8	0	0	0	0
F 9	-0,4444j	0,4444	0,8888	-90°
F 10	0	0	0	0

2. Obserwacja widma sygnałów o różnych przebiegach.

Obserwowaliśmy cztery sygnały (oraz ich widma amplitudowe) o różnych przebiegach:

A. Przebieg sinusoidalny o prostowaniu dwupołówkowym (rys. 2).

Okres T i amplituda A przebiegu były następujące:

T = 8 ms = 0,008 s

A = 3 V

Jego zespolony szereg Fouriera ma postać:

(48)

Teoretycznie wyliczone prążki widma amplitudowego są narysowane linią przerywaną obok tych, które zostały przerysowane z ekranu analizatora widma na rys. 2. Poniższa tabela przedstawia wyniki obliczenia pierwszych 5-ciu wartości amplitud dla tego przebiegu:

Nr	AN [V]
0	3,82
1	1,27
2	0,25
3	0,11
4	0,06

B. Przebieg sinusoidalny o prostowaniu jednopołówkowym (rys. 3).

Okres T i amplituda A przebiegu były następujące:

T = 8 ms = 0,008 s

A = 3 V

Jego zespolony szereg Fouriera ma postać:

(49)

Teoretycznie wyliczone prążki widma amplitudowego są narysowane linią przerywaną obok tych, które zostały przerysowane z ekranu analizatora widma na rys. 3. Poniższa tabela przedstawia wyniki obliczenia pierwszych 8-miu wartości amplitud dla tego przebiegu:

Nr	AN [V]
0	1,910
1	0,0005
2	0,637
3	0
4	0,127
5	0
6	0,054
7	0
8	0,030

C. Przebieg prostokątny o wypełnieniu 1/2 (rys. 3).

Okres T i amplituda A przebiegu były następujące:

T = 8 ms = 0,008 s

A = 2 V

Jego zespolony szereg Fouriera ma postać:

(50)

Teoretycznie wyliczone prążki widma amplitudowego są narysowane linią przerywaną obok tych, które zostały przerysowane z ekranu analizatora widma na rys. 4. Poniższa tabela przedstawia wyniki obliczenia pierwszych 11-tu wartości amplitud dla tego przebiegu:

Nr	AN [V]
0	0
1	2,546
2	0
3	0,849
4	0
5	0,509
6	0
7	0,364
8	0
9	0,283
10	0
11	0,232

D. Przebieg trójkątny o wypełnieniu 1/2 (rys. 4).

Okres T i amplituda A przebiegu były następujące:

T = 8 ms = 0,008 s

A = 2 V

Jego zespolony szereg Fouriera ma postać:

(51)

Teoretycznie wyliczone prążki widma amplitudowego są narysowane linią przerywaną obok tych, które zostały przerysowane z ekranu analizatora widma na rys. 4. Poniższa tabela przedstawia wyniki obliczenia pierwszych 6-ciu wartości amplitud dla tego przebiegu:

Nr	AN [V]
0	0
1	1,62
2	0
3	0,18
4	0
5	0,648

3. WNIOSKI.

Podczas przeprowadzania procesu syntezy sygnału prostokątnego o wypełnieniu 0,5 zauważyłem występowanie efektu Gibbsa, który został opisany w części teoretycznej w punkcie 5.C. Przy przybliżeniu przebiegu pierwszymi dziesięcioma wyrazami jego zespolonego szeregu Fouriera, odchylenie od sygnału rzeczywistego było jeszcze dosyć duże. Aby uzyskać przybliżenie, które w miarę dobrze oddawałoby rzeczywisty kształt sygnału należałoby użyć kilkudziesięciu harmonicznych. Przy obserwacji widma amplitudowego różnych sygnałów, zauważyłem, że wartości wysokości prążków widma (amplitud widmowych) wyliczone teoretycznie odpowiadały proporcjonalnie wartościom zaobserwowanym na analizatorze widma. Wynika z tego, że wyliczone postacie zespolonych szeregów Fouriera danych sygnałów są poprawne.

Opracował: Marek Godlewski

Podczas syntezy sygnału prostokątnego o wypełnieniu 1/2, zauważyłem że przebieg sygnału na ekranie monitora był zgodny z przebiegiem teoretycznym, co oznacza, że dobrze przybliżyliśmy sygnał jego zespolonym szeregiem Fouriera. To samo stwierdziłem przy obserwacji widma amplitudowego różnych sygnałów okresowych, ponieważ teoretycznie wyliczone wartości wielkości prążków (amplitud widma) odpowiadały tym zaobserwowanym na ekranie analizatora widma. Podczas syntezy przebiegu prostokątnego o wypełnieniu 1/2 zauważyłem występowanie efektu istnienia zakłóceń wokół punktu skoku wartości amplitudy z ujemnej na dodatnią (również w drugim kierunku). Efekt ten zwany efektem Gibbsa został szerzej opisany w rozdziale A.5.C. sprawozdania. Zsyntezowany sygnał (zsyntezowany przy użyciu pierwszych dziesięciu harmonicznych) nie przybliżał dobrze teoretycznego kształtu sygnału. Aby to zrobić należałoby zwiększyć ilość harmonicznych podczas syntezy (np. do ok. 50 - ciu).

Opracował: Marcin Siemaszkiewicz

- 1 -

---