ĆWICZENIE NR 9
Temat: Sprawdzanie równania ruchu obrotowego brył.
Zagadnienia teoretyczne:
wielkości charakterystyczne w ruchu postępowym
wielkości charakterystyczne w ruchu obrotowym
zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego
Teoria:
ruch postępowy
prędkość liniowa
V≡ds / dt
VK≡V0 ± at gdzie: VK - prędkość liniowa końcowa
V0 - prędkość liniowa początkowa
a ≡ dV / dt a - przyspieszenie
t - czas
droga
s = V0 t ± at2 / 2
prędkość kątowa
ω ≡ dα / dt
ω = ω0 ± εt gdzie: ω0 - prędkość kątowa początkowa
ε - przyspieszenie kątowe
ε ≡ dω / dt
kąt obrotu
α ≡ ω0 t ± ε t2 / 2
Punkt materialny poruszający się po okręgu z prędkością liniową „V” posiada prędkość kątową ω , przyspieszenie kątowe ε i wykonuje drogę kątową α.
ω = V / r , ε = a / r , α = s / r
Zasady dynamiki dla ruchu postępowego:
Jeżeli ciało o masie „m” porusza się z przyspieszeniem a, to na ciało działa siła F. F = ma
Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:
Moment bezwładności „I” ciała względem osi O wyraża się następującym wzorem: I = Σ m1 r21
Jeżeli ciało o momencie bezwładności „I” porusza się z przyspieszeniem kątowym ε , to na ciało działa moment siły M. M = I ε
gdzie: M - moment siły
I - moment bezwładności
ε - przyspieszenie kątowe
Równanie dynamiki dla ciała o masie „m” przedstawia zależność:
ma = mg - N
gdzie: a - przyspieszenie z jakim poruszasię ciało o masie „m”
g - przyspieszenie ziemskie
N - siła naciągu nici
Natomiast „M” wyrazić możemy wzorem:
M = rN
wówczas: M = rm(g - a)
Moment bezwładności układu „I” jest równy sumie momentów stałej
części „I0” oraz walców „Iw”: I = I0 + Iw
przy czym moment bezwładności „Iw” według prawa Steinera wynosi :
Iw = 4I1 + 4MR2
gdzie: I1 - moment bezwładności walca „W”
względem osi przechodzącej przez
środek ciężkości i równoległej
do osi obrotu przyrządu
M - masa walca „W”
R - odległość środka ciężkości
walca od osi obrotu
Ze względów praktycznych odległość „R” zastępujemy odległością przeciwległych walców d (d = 2R) , wówczas
całkowity moment bezwładności wyraża się wzorem : I = I0 + 4I1 + Md2
Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie tego wyrażenia są wielkościami stałymi.
Dla ułatwienia, więc wprowadza się oznaczenie: I = Ic + Md2
Łącząc teraz wszystkie równania otrzymamy: mr(g - a) = (Ic + Md2) ε
Ze względu na to, że wektory „r” i „g” są prostopadłe do osi obrotu, a „ε”jest do niej równoległy to możemy pominąć znaki wektorów, pamiętając przy tym,
że : ε = a / r oraz a = 2h / t2
gdzie: h - wysokość spadania ciężarka
o masie „m”
t - czas spadania
wówczas otrzymamy : t2 = 2h / g(1 + Ic / mr2) + 2Mhd2 / mgr2
W układzie współrzędnych, w którym na osi y odkładamy t2, a na osi x d2
równanie jest równaniem typu: y = Ax + B
B = 2h / g(1 + Ic / mr2)
daje wartość rzędnej w punkcie, w którym prosta przecina oś rzędnych.
Stromość otrzymanej prostej wyraża się poprzez : A = 2Mh / mgr2
Prostoliniowy przebieg zależności t2 = f(d2) jest dowodem słuszności równania
Ruchu obrotowego bryły. Zależność tą wyznaczam doświadczalnie.
Kolejność wykonywania ćwiczenia:
W ćwiczeniu tym wykorzystuję wahadło Oberbecka. Metalowy walec może obracać się wokół osi prostopadłej do osi przyrządu. Z walcem tym połączone są cztery pręty stalowe, na którym nasadzone są walce. Położenie tych walców na prętach można dowolnie zmieniać. Na walcu osadzone są szpulki, na które nawija się nić. Na końcu nici przerzuconej przez bloczek zawieszam ciężarki.
Ważę masę walca „M” i masę ciężarka „m”.
Włączam przyrząd do sieci.
Zakładam wybraną ilość ciężarków wskazanego przez prowadzącego ćwiczenie i maksymalnie rozsuwam walce od osi obrotu.
Przemieszczam ciężarki w górne położenie, nawijając nić na jedną ze szpulek wskazaną przez prowadzącego i kontroluję, czy układ znajduje się w stanie spoczynku.
Ustalam określoną wysokość spadania „h” i odczytuję ją ze skali.
Wyciskam wyłącznik „W2” i mierzę czas pokonania drogi „h” przez ciężarki.
Wyciskam wyłącznik W1, aby wyzerować wskazania miernika.
Przenoszę ciężarki w górne położenie, wyciskam wyłącznik „W2”.
Pomiary powtarzam 5 razy w celu oszacowania średniego czasu spadania.
Ćwiczenie sprowadza się do wyznaczenia czasu spadania ciężarków z określonej wysokości dla 6-10 różnych odległości walców od osi obrotu (d).
Korzystając z uzyskanych danych wykreślam na papierze milimetrowym zależność t2 = (d2).
Po wykreśleniu krzywej korzystając ze wzorów B = 2h / g [1+Ic / mr2] oraz A = 2Mh / mgr2 mogę wyznaczyć moment bezwładności „I”, a także masę walca „M”.
Tabela pomiarowa:
Lp. |
h |
M |
m |
r |
d |
d2 |
t |
t2 |
I |
IC |
------- |
[m] |
[kg] |
[kg] |
[m] |
[m] |
[m] |
[s] |
[s] |
[kgm2] |
[kgm2] |
1. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,458 |
0,21 |
4,14 |
17,14 |
0,046 |
0,0052 |
2. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,418 |
0,17 |
3,8 |
14,44 |
0,037 |
0,0052 |
3. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,378 |
0,14 |
3,4 |
11,56 |
0,032 |
0,0052 |
4. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,338 |
0,11 |
3,16 |
9,99 |
0,026 |
0,0052 |
5. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,298 |
0,09 |
2,95 |
8,7 |
0,022 |
0,0052 |
6. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,258 |
0,07 |
2,65 |
7,02 |
0,021 |
0,0052 |
7. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,218 |
0,05 |
2,28 |
5,2 |
0,015 |
0,0052 |
8. |
0,48 |
0,193 |
0,175 |
0,044 |
0,178 |
0,03 |
2 |
4 |
0,011 |
0,0052 |
Przykładowe obliczenia: B = 2h/g (1+Ic/mr2)
Ic = (Bg/2h -1) mr2
Ic = Ic + Md2
Wyszukiwarka