PETY - WYKŁAD

(kolokwium 1)

Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.

Inaczej

Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że

w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.

Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.

Zmienną losową
charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla
:

• dystrybuanta
  ,

• gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
  ,

• funkcja niezawodności
  ,

• intensywność uszkodzeń
  ,

Dystrybuanta zmiennej losowej
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili

, dla

przy czym

Funkcja niezawodności
- prawdopodobieństwo, że do chwili
nie nastąpi uszkodzenie.

, dla

Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:

,

Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
jest pochodną dystrybuanty

dla

Intensywność uszkodzeń
definiuje się jako:

; dla

Oznaczamy:

- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.

Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:

- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.

Otrzymana granica jest lokalną (w chwili
) funkcją zawodności będącą warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
, pod warunkiem, że do chwili
uszkodzenie nie nastąpiło.

Oznaczamy ją
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.

Każda z czterech zdefiniowanych funkcji
,
,
,
w sposób jednoznaczny określa zmianę losową
, determinując tym samym postać pozostałych funkcji.

Poprzez dystrybuantę
wyrazić je można jako:

Poprzez gęstość
wyrazić je można jako:

Poprzez funkcję niezawodności
wyrazić je można jako:

Znając funkcję intensywności uszkodzeń
, w celu wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie różniczkowe:

o warunku początkowym

Równanie całkujemy obustronnie w granicach od
do

Wielkości znane Wielkości szukane	F(t)	f(t)	R(t)	(t)
F(t)	---
f(t)		---
R(t)			---
(t)				---

Wskaźniki liczbowe niezawodności

wartość oczekiwana

;

całkujemy przez części wg:

,

wariancja

po scałkowaniu przez części otrzymujemy:

,

Wielkość
oznacza średni czas życia obiektu,

a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
.

Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:

1. stała wartość dopuszczalna

2. zmienna wartość dopuszczalna

Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)

może nastąpić z prawdopodobieństwem

i nie nastąpić z prawdopodobieństwem
.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy
wymuszeniu?

Niech:

- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia

- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia

Wystąpienie uszkodzenia przy
wymuszeniu oznacza wystąpienie
wymuszeń, przy czym przy
uszkodzenie nie nastąpiło a przy
nastąpiło.

- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy
wymuszeniu

gdzie:

- prawdopodobieństwo zmiany przy
wymuszeniu

gdzie:

- czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą wymuszeń

Ponieważ:

stąd

rozkład geometryczny

+

=1

............................................

- czas trwania wymuszenia,

Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne uszkodzeniu w przedziale

gdzie

prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale
wynosi

Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:

- gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego

Niezawodność typu wykładniczego

Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową

o rozkładzie wykładniczym z parametrem
, a więc:

dla

dla

ostatnia równość zwana jest

wykładniczym prawem niezawodności

,

wykładnicze prawo niezawodności

Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu.

Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie
, zależy jedynie od długości przedziału
, nie zależy zaś od długości czasu
wcześniejszej pracy obiektu.

Rozkład jednostajny

dla

System o strukturze szeregowej

Jeżeli
wyrazimy przez
jako:

to:

Wartości
i
wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między

i

Przypadki szczególne

1) Niech zmienne losowe
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa

dla
,

Wszystkie elementy mają więc również jednakowe

dla
,

stąd

Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:

połączenie szeregowe
identycznych elementów zwiększa
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili

2) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....,
,

czyli:

3) Niech zmienne losowe
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze

System o strukturze równoległej

Przypadki szczególne

1. Niech zmienne losowe
   mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
   , wówczas:

2. Niech zmienne losowe
   maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
   , ....
   ,

wówczas:

korzystając z rozwinięcia funkcji
w szereg Maclaruina można przyjąć, że
,

czyli

3) Niech zmienne losowe
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
, wówczas:

Wyznaczamy dla tego przypadku

podstawiamy:

,

=

Który wariant jest korzystniejszy?

Krotność rezerwowania

dla

Rezerwa nieobciążona (zimna)

ale

W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
?

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

2. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
   , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale
   :

Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili
:

3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale

.

Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:

Który wariant jest korzystniejszy?

Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)

do chwili uszkodzenia elementu (1)

po chwili uszkodzenia elementu (1)

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

2. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
   , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
   :

Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym

rezerwa
nieobciążona
częściowo obciążona
obciążona

niech

	1	2	3	4	5
	1/2 b	2/3 b	3/4 b	4/5 b	5/6 b		b

Zależne uszkodzenia elementów

gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do

1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
:

2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
:

,
,

3. element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
   ,
   element (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)

Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.

Ponieważ
to

dla rozkładu wykładniczego:

dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Oczekiwany pozostały czas zdatności

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności
pod warunkiem, że w chwili
obiekt jest zdatny.

Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:

podstawiamy:

stąd:
;