Opracował: mgr Aleksander Mizera

Stężenie procentowe roztworów
Metodyka rozwiązywania zadań

Zadania rachunkowe i problemowe związane z mieszaniem dwóch lub więcej roztworów tej samej substancji o różnych stężeniach, z rozcieńczaniem roztworu lub zwiększaniem jego stężenia (przez odparowanie wody lub dodatkowe rozpuszczenie substancji) są traktowane przez uczniów jako bardzo trudne.

Wiele zadań można rozwiązać znaną metoda krzyżową, która umożliwia w sposób mnemotechniczny znaleźć taki stosunek masowy m₁/m₂ roztworów o stężeniach C₁ i C₂, aby po ich zmieszaniu otrzymać roztwór o zadanym stężeniu C₃.
Z bilansu masy substancji rozpuszczonej wynika, że:

m₁*C₁ + m₂*C₂ = (m₁ + m₂)*C₃ (1)

Po podzieleniu przez m₂ obu stron równania oraz po odpowiednim uporządkowaniu wyrazów otrzymamy związek:

Aby uniknąć liczb ujemnych (m₁ lub m₂) w schemacie krzyżowym odejmujemy zawsze od liczby większej mniejszą, co sprowadza się do warunku:

Tak zapisany stosunek masowy można łatwo obliczać wg zapisu w postaci krzyżowej (ew. diagonalnej):














Obliczanie stężeń mieszaniny 2 lub więcej roztworów tej samej substancji można ująć w postaci innego algorytmu, który w wielu przypadkach jest lepszy od poprzedniego. Aby uprościć rozważania ograniczmy się do dwóch roztworów.
Poszczególne roztwory przedstawiamy w postaci prostokątów, wewnątrz których wpisujemy odpowiednie stężenie procentowe, a ponad nimi masę roztworu:

(*
)

Zapiszmy bilans substancji rozpuszczonej:

m₁*C₁ + m₂*C₂ = (m₁+m₂)*C₃ (2)

Zauważmy, że bilans(2) jest zapisywany w prosty sposób. Mnożymy masę (znajdującą się nad prostokątem) przez stężenie (znajdujące się wewnątrz prostokąta). Sens fizyczny jest łatwy do zrozumienia.

Dodatkowe założenia pozwolą rozszerzyć algorytm na liczną klasę zadań (problemów).

Założenie 1

Czysty rozpuszczalnik (woda) traktujemy formalnie jako roztwór o stężeniu równym 0%. Można to łatwo uzasadnić. W takim „roztworze” masa substancji rozpuszczonej m_s = 0, zatem

Założenie 2

Czystą substancję, którą rozpuszczamy traktujemy formalnie jako roztwór 100%.
Uzasadnienie: w takim „roztworze” składającym się tylko z substancji rozpuszczanej nie ma rozpuszczalnika (wody), więc masa roztworu jest równa masie substancji rozpuszczanej m_r = m_s, zatem:

Założenie 3

Znak „+” pomiędzy prostokątami oznacza, że do roztworu I dodajemy roztwór II (łącznie z wodą lub substancją rozpuszczaną - założenia 1 i 2).
Znak „-” oznacza, że część rozpuszczalnika (wody) odparowała z roztworu I. Wtedy nad prostokątem po prawej stronie napiszemy m₁-m₂.

Rodzaje zadań, które można rozwiązywać wg omawianego algorytmu:

1. Mieszanie 2 lub więcej roztworów tej samej substancji o różnych stężeniach procentowych.

2. Rozcieńczanie roztworu przez dodanie do niego rozpuszczalnika.

3. Zwiększanie stężenia procentowego roztworu przez dodatkowe rozpuszczenie w nim tej samej substancji (ograniczenie: rozpuszczalność tej substancji w danej temperaturze).

1. Zwiększanie stężenia procentowego roztworu przez odparowanie pewnej ilości rozpuszczalnika (należy pamiętać o ograniczeniach związanych z rozpuszczalnością w danej temperaturze).

Ponadto „niewiadoma” może znajdować się w 6 miejscach na schemacie (*), co dodatkowo zwiększa liczbę możliwych kombinacji. Niewiadomą może być: C₃ (najczęściej), C₁, C₂, m₁, m₂ oraz stosunek masowy m₁:m₂.

Wykorzystując założenia 1 i 2 możemy algorytm wykorzystać w sposób prosty dla pojedynczego roztworu.

Przykład 1

Oblicz stężenie procentowe roztworu otrzymanego przez rozpuszczenie 40g cukru w 120g wody.

Rozwiązanie

40*100 + 120*0 = 160*x
Stąd x = 25. Otrzymano roztwór cukru o stężeniu 25%.

Przykład 2

Ile gramów wody i cukru należy przygotować, aby sporządzić 200g roztworu o stężeniu 15%?

Rozwiązanie
Oznaczmy przez x masę cukru w gramach. Wtedy masa wody wynosi (200-x)g.

Równanie:
100x + (200-x)*0 = 200*15
Otrzymamy x = 30. Zatem masa cukru = 30g, a masa wody = 200g - 30g = 170g.

Przykład 3

Zmieszano dwa roztwory tej samej substancji o stężeniach odpowiednio 10% i 20% w stosunku masowym 3:1. Jakie jest stężenie procentowe otrzymanego roztworu.

Rozwiązanie

Niech masa całego roztworu wynosi 4 (ponieważ wzięto razem 4 części: do 3 części roztworu 1 dodano 1 część roztworu 2).

Ró

wnanie:
3*10% + 1*20% = 4*x

Otrzymamy x = 12,5%.
Zauważmy, że rozwiązanie tą metodą jest praktycznie natychmiastowe.

Do rozwiązywania zadań, w których jest mowa o stosunkach masowych roztworów, metoda krzyżowa wydaje się najlepsza, ale napotykamy w tym przypadku na nie spodziewane trudności. Zapiszmy nasze zadanie w diagramie krzyżowym:

Jak znaleźć wartość x? W prostych rachunkowo przypadkach można zgadywać, tzn. tak rozszerzać lub skracać ułamek m₁/m₂, aby otrzymać wynik spełniający równania:
20 - x = m₁ oraz x - 10 = m₂.
Można również ułożyć odpowiednie równanie, pamiętając, że 10 < x < 20:

; otrzymamy x = 12,5%.

Tak więc w tym przypadku metoda krzyżowa staje się zbyt złożona.

Przykład 4

Zmieszano ze sobą dwa roztwory tej samej substancji: pierwszy o masie 200g i stężeniu 12%
i drugi o masie 300g i stężeniu 20%. Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu.

Jeszcze przed rozwiązaniem zadania warto zauważyć, że szukane stężenie C_p powinno spełniać warunek: 12% < C_p < 20%.
Wynika to z prostego rozumowania.
Dodawanie do roztworu 12% roztworu 20% powoduje wzrost stężenia, a więc Cp >12%;
dodawanie do roztworu 20% roztworu 12% powoduje obniżanie stężenia, a więc Cp <20%.
Obydwa warunki muszą być spełnione równocześnie, bowiem mieszamy te roztwory („w dowolnej kolejności”), czyli 12% < C_p < 20%.

Rozwiązanie

200*12 + 300*20 = 500*x
Stąd x = 16,8%.
Obliczona wartość spełnia omawianą wcześniej nierówność.

Przykład 5

Do 150g roztworu o stężeniu 20% dodano pewną ilość roztworu tej samej substancji. Otrzymano 250g roztworu 16%. Jakie było stężenie i masa dodanego roztworu?

Rozwiązanie

Masę obliczamy wprost z bilansu masy roztworów:
m₂ = 250g - 150g = 100g.

Stężenie obliczymy następująco:

Równanie:
150*20 + 100*x = 250*16
Po rozwiązaniu otrzymamy x = 10%.

Przykład 6

Mając do dyspozycji ocet 6% i 10% przygotuj 0,6dm³ octu 7%. Zakładamy, że gęstość roztworów wynosi około 1g/cm³.

Rozwiązanie

Ponieważ 1cm³ każdego z roztworów ma masę 1g, to objętość tych roztworów mierzona w cm³ jest równa liczbowo ich masie w gramach.

6*x + (600-x)*10 = 600*7

Po rozwiązaniu równania otrzymamy, że x = 450g.
Należy więc wziąć 450cm³ octu 6% i 150cm³ octu 10%.
Oczywiście jeśli możemy korzystać z wody, to roztwór 7% można otrzymać przez odpowiednie rozcieńczenie wodą octu 10%. Może to być temat oddzielnego zadania.

Przykład 7

Z 300g roztworu saletry o stężeniu 10% odparowało 50g wody. Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu.

Równanie:
300*10




- 50*0 = 250*x
Stąd x = 12%.

Uwaga!

Zadania podobne do poprzedniego powinny być analizowane bardzo dokładnie, bowiem odparowanie wody może doprowadzić do osiągnięcia stanu nasyconego oraz do krystalizacji nadmiaru substancji rozpuszczonej (w danej temperaturze).
Powinniśmy za każdym razem znaleźć w tablicach lub na wykresie rozpuszczalność danej substancji. Obliczyć stężenie roztworu nasyconego w danej temperaturze i porównać jego wartość
z wartością obliczonego stężenia.
Oczywiście przy układaniu zadań należy mieć zawsze to na uwadze.
Przykład 8 dotyczy właśnie takiego przypadku.

Przykład 8

400g roztworu azotanu(V) potasu o stężeniu 20% pozostawiono w otwartym naczyniu. Przez cały czas temperatura wynosiła 20⁰C. Po pewnym czasie zważono naczynie z zawartością i stwierdzono, że masa zmniejszyła się o 100g. Oblicz stężenie procentowe roztworu w naczyniu.

Rozwiązanie

400*20 - 100*0 = 300*x
Stąd x = 26,67%.

Nie można jednak poprzestać na tym. Z rozpuszczalności saletry w temperaturze 20⁰C musimy obliczyć stężenie procentowe nasyconego roztworu.
R(20⁰C) ≈ 32g KNO₃/100g H₂O

C_p(nas.) ≈ 24,24%
Obliczone poprzednio stężenie jest większe od C_p(nas.), co oznacza, że w naczyniu znajduje się roztwór nasycony o stężeniu 24,24% oraz kryształki saletry.

Oczywiście zadanie tego typu można rozwiązać inaczej w kilku krokach.

• Obliczenie masy KNO₃ w roztworze pierwotnym:
  m_s = 400g*20% = 80g

• Obliczenie masy wody w pierwotnym roztworze:
  m_w = 400g - 80g = 320g

• Obliczenie masy wody w roztworze po odparowaniu:
  m_w1 = (32 - 100)g = 220g

• Obliczenie ile saletry rozpuści się w 220g wody w temp. 20⁰C z rozpuszczalności:
  
  Otrzymamy więc roztwór nasycony. Wykrystalizuje (80 - 70,4)g = 9,6g saletry.

• Obliczamy stężenie procentowe roztworu nasyconego C_p(nas.):
  

Przykład 9

Do 200g roztworu NaCl o stężeniu 10% (temperatura = 20⁰C) dodano jeszcze 30g tej samej soli.
Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu. R(20⁰C) = 36g NaCl/100g H₂O.

Rozwiązanie
Obliczamy stężenie procentowe wg znanego algorytmu:

200*10 + 30*100 = 230*x Otrzymamy: x ≈ 21,74%.

Obliczamy stężenie procentowe nasyconego roztworu NaCl w temperaturze 20⁰C:

Obliczone poprzednio stężenie jest mniejsze, zatem powstał roztwór nienasycony, a jego stężenie wynosi około 21,74%.
Istnieje ogromna liczba kombinacji, które prowadzą do zadań prostych, trudniejszych i takich, których rozwiązanie wymaga głębokiej analizy, wręcz twórczego podejścia.

Aleksander Mizera: Stężenie procentowe roztworów

1

C_k

Roztwór II

Roztwór I

m₂

m₁

C₁

C₂

m₁ + m₂

m₁

m₂

(*)

→

C₃

+

C₂

C₁

120g

40g

160g

→

+

x

0%

100%

200

x

(200-x)

→

+

15%

0%

100%

4

3

1

→

+

x%

20%

10%

Roztwór II

1

3

x

20%

10%

Roztwór I

500g

200g

300g

→

+

x%

20%

12%

150g

100g

→

+

16%

x%

20%

250g

600g

x [g]

(600-x)g

→

+

7%

10%

6%

(300-50)g

300g

50g

→

-

x%

0%

10%

300g

400g

100g

→

-

x%

0%

20%

10%

100%

x%

+

→

30g

200g

230g

---