Autor: XX grupa PZ-5/I WSFiZ w Warszawie

Temat: Przedstaw i wyjaśnij prawa Augusta de Morgana

Pierwsze prawo de Morgana dotyczy negowania

koniunkcji:

~(p ∙ q)↔(~p v ~q)

_{Ponieważ: nie jest tak, że zarazem p i q}

^{___________________________} i odwrotnie.

_{Więc: nie jest tak, że p lub nie jest tak, że q}

Skoro zaprzeczamy, by koniunkcja „p oraz q” była

prawdziwa, to z tego wynika, że przynajmniej jedno z jej

zdań składowych jest nieprawdziwe. Niewykluczone

wprawdzie, że fałszywe mogą być oba zdania składowe tej

koniunkcji, lecz wniosek ten nie wynika logicznie, nie

można mieć co do tego pewności. Jeśli nieprawda, że Jan

jest miły i jest usłużny, to wnioskować można, że

nieprawda, iż Jan jest miły, lub nieprawda, iż Jan jest

usłużny.

Dodaliśmy po napisaniu tego prawa logicznego „i

odwrotnie”, gdyż między wyrażeniami: „nieprawda, że

zarazem p i q” oraz „nieprawda, że p, lub nieprawda, że q”

zachodzi wynikanie obustronne, zdania te są równoważne.

Można więc wnioskować dedukcyjnie i w kierunku

odwrotnym. Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest

równoważne logicznie alternatywie zaprzeczonych zdań

składowych tej koniunkcji.

Często popełniamy błąd utożsamiając negację

koniunkcji („Nieprawda, że zarazem Jan ukradł i Piotr

ukradł”) z koniunkcją negacji („Nieprawda, że Jan ukradł, i

nieprawda, że Piotr ukradł”). Może być przecież tak, że

negacja koniunkcji będzie prawdziwa, a koniunkcja negacji

tychże zdań fałszywa (np. gdy Jan ukradł, a Piotr nie

ukradł).

Drugie prawo de Morgana dotyczy negowania

alternatywy:

~(p v q)↔(~p ∙ ~q)

_{Ponieważ: nie jest tak, że p lub q}

^{___________________________} i odwrotnie.

_{Więc: nie jest tak, że p i nie jest tak, że q}

Jak przypominamy sobie, alternatywa (nierozłączna)

jest fałszywa tylko wtedy, gdy nieprawdziwe są wszystkie

jej zdania składowe; skoro więc zaprzeczamy alternatywie,

to znaczy, że każde ze zdań tej alternatywy uważamy za

fałszywe. Z tego, iż nieprawda, że oskarżony był

członkiem SS lub był pracownikiem Gestapo, wynika, iż

nieprawda, że był on członkiem SS, i nieprawda, że był on

pracownikiem Gestapo. Zaprzeczenie alternatywy dwóch

zdań jest równoważne logicznie koniunkcji jej

zaprzeczonych zdań składowych.

Popełniamy błąd utożsamiając negację alternatywy

(„Nieprawda, że Jan czyta gazetę lub pali papierosa”) z

alternatywą negacji („Nieprawda, że Jan czyta gazetę, lub

nieprawda, że Jan pali papierosa”). Dla prawdziwości

negacji alternatywy trzeba, by alternatywa ta była

fałszywa, a więc by fałszywe były oba jej zdania składowe.

Natomiast dla prawdziwości alternatywy zdań

zanegowanych wystarczy, że negacja jednego zdania jest

prawdziwa, a więc wystarczy, by samo to zdanie było

fałszywe, niezależnie od wartości logicznej drugiego

zdania.

---