Wykład 6: Wybrane rozkłady typu ciągłego

Mediana (zwana też wartością środkową) w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji.

Mediana w rozkładach dyskretnych:

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Następnie, jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer
). Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer
i obserwacją numer
.

Mediana M w rozkładach ciągłych:

Dystrybuanta - F(M) = ½ ;

Gęstość - linia pionowa przechodzącą przez argument M dzieli pole pod wykresem gęstości na dwie połowy.

Mediana - kwantyl rzędu ½: M = x_{½ .}

Argument x_p jest kwantylem rzędu p, jeżeli

F(x_p) = p.

Wartość modalna (moda, dominanta) m: argument maksimum absolutnego gęstości.

f(m) = max.

1. Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.

Przyczyną jest jego popularność w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego, stąd można go bardzo często zaobserwować w danych. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są dość proste obliczeniowo.

Funkcja gęstości dla rozkładu normalnego ze średnią

μ = EX

i odchyleniem standardowym σ (równoważnie: wariancją Var(x) = σ²) jest przykładem funkcji Gaussa.

.

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, piszemy

X ~ N(μ, σ²).

Jeśli μ = 0 i σ = 1, rozkład nazywamy standardowym rozkładem normalnym, którego funkcja gęstości opisana jest wzorem:

.

Im większe σ, tym bardziej płaski jest wykres.

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu.

Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

Rozkład normalny
Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu.
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	μ położenie (liczba rzeczywista) σ^2 > 0 (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa

Około 68% pola pod wykresem krzywej Gaussa znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła trzech sigm).

Procent populacji wpadający do poszczególnych przedziałów o szerokości jednego odchylenia standardowego, przy założeniu rozkładu normalnego zmiennej. Krzywa przedstawia gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego.

Dokładne wartości dla kilku naturalnych wielokrotności odchylenia przedstawia tabela:

maksymalne oddalenie od średniej	odsetek obserwacji
Σ	0,6826895
2σ	0,9544997
3σ	0,9973002
4σ	0,9999366
5σ	0,9999994

2) Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym opisuje wiele często spotykanych zjawisk.

Przykład: przyjmuje się, iż czas bezawaryjnej pracy T badanego elementu (tzw. czas życia elementu) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Wówczas:

P(T ≥ t) = exp(-λt)

nazywamy niezawodnością elementu, a

λ - intensywnością awarii.

Dystrybuanta tego rozkładu to prawdopodobieństwo, że obiekt jest w stanie Y.

Innymi słowy, jeżeli w jednostce czasu ma zajść 1/λ niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami.

Gęstość: f(x) =
, x ≥ 0 , λ > 0.

Dystrybuanta: F(x) =
, x ≥ 0 , λ > 0.

Rozkład wykładniczy
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	odwrotność parametru skali (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana
Mediana
Moda
Wariancja

3) Rozkład Cauchy'ego

a = ? , b = ?

F(-∞) = 0, F(+∞) = 1

f(x) = ?

EX = ?

Rozkład Cauchy'ego

Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia opisuje standardowy rozkład Cauchy'ego

Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej