1. Liczby zespolone

1. Wykonać działania na liczbach zespolonych:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Wyznaczyć pierwiastki zespolone równania: a)
   , b)
   , c)
   

3. Obliczyć
   .

4. Obliczyć: a)
   ; b)
   ; c)
   .

5. Przedstawić w prostszej postaci

a)
; b)
; c)
; d)
; e)

6. Obliczyć:
   , gdzie n jest liczbą naturalną.

7. Rozwiązać układ równań:

a)
; b)
; c)

8. Obliczyć:

a)
; b)
; c)
; d)
.

9. Wyznaczyć liczby sprzężone ze:

1. swoim kwadratem,

2. swoim sześcianem.

10. Obliczyć:

a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h)
; i)
; j)
; k)
; l)
; m)
;

n)
; o)
.

11. Rozwiązać równania (x oznacza niewiadomą zespoloną)

a)
; b)

12. Jaki zbiór tworzą na płaszczyźnie kartezjańskiej punkty, odpowiadające liczbom zespolonym, spełniającym warunek:

a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h)

13. Udowodnić, że dla liczb zespolonych prawdziwa jest tożsamość:

.

Jakie jest jej znaczenie geometryczne?

14. Wykazać, że jeżeli
    , to
    .

15. Wykazać, że
    .

16. Obliczyć :

a)
; b)
; c)
.

17. Wyrazić przy pomocy
    oraz
    :

a)
; b)
; c)
; d)
.

18. Wyrazić tg 6α za pomocą tg α

19. Przedstawić
    jako funkcję od
    .

20. Dowieść, że każda liczba zespolona
o module równym 1 może być przedstawiona w postaci
, gdzie
.

21. Napisać pierwiastki z jedności stopnia:

1. 2 ; b) 3 ; c) 4 ; d) 6 ; e) 8 ; f) 12 ; g) 24.

22. Wypisać pierwiastki pierwotne z 1 stopni 2 , 3, 6, 8, 12, 24.

23. Obliczyć sumę wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedności.

24. Obliczyć sumę k-tych potęg wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedności.

25. Wyznaczyć sumę pierwiastków pierwotnych z 1 stopnia: a)15 ; b) 24 ; c) 30

26. Rozwiązać równanie:

.

27. Rozwiązać równanie:

.