Konspekt wykładu 2 (A.Jóźwikowska)

ZBIORY LICZB, KRES DOLNY, KRES GÓRNY

Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru R,
.

Zbiór A nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli istnieje liczba M taka, że

.

Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru.

Kres górny oznaczamy
, czytamy supremum A.

.

Dla zbioru nieograniczonego z góry przyjmujemy, że
.

Nie należy mylić kresu górnego zbioru z największą liczbą w zbiorze, którą -jeżeli istnieje-oznaczamy
. Oczywiście
istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
i wówczas

Analogicznie:

Zbiór A nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli istnieje liczba m taka, że

.

Kresem dolnym zbioru nazywamy największe z ograniczeń dolnych tego zbioru.

Kres dolny oznaczamy
, czytamy infimum A.

.

Własności kresu górnego

Jeśli
, to

a)
,

b) jeśli
, to w zbiorze A istnieje element większy od b,

c) jeśli
, to
.

Otoczeniem punktu
o promieniu r (
) nazywamy zbiór

Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy przedział otwarty
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy przedział otwarty
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Sąsiedztwem punktu
o promieniu r (
) nazywamy zbiór

Ciągi Liczbowe

Funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R

nazywamy ciągiem liczbowym (nieskończonym) i oznaczamy
gdzie
.

Zasada indukcji matematycznej

Niech
oznacza twierdzenie dotyczące liczby naturalnej n.

Jeżeli

1. istnieje, taka liczba naturalna
   , że twierdzenie
   jest prawdziwe

2. dla każdej liczby naturalnej
   z prawdziwości twierdzenia
   wynika prawdziwość twierdzenia
   

to twierdzenie
jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej
.

Przykład

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość

Ciągi monotoniczne

Ciąg
jest

.

Ciągi ograniczone

Ciąg
jest:

Granica ciągu

Ciąg zbieżny do granicy skończonej (właściwej)

Def 1:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu
, jeżeli spełniony jest warunek

.

dla dowolnej liczby dodatniej
istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
różnią się od g mniej niż o
.

Zapisujemy
lub
.

Zwrot „Prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu.

Def 1a:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu
, jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Ciąg, który ma granicę (skończoną) nazywamy zbieżnym.

Zbieżność ciągu oznacza istnienie skończonej granicy tego ciągu.

Ciąg, który nie ma granicy skończonej nazywamy rozbieżnym.

Ciągi rozbieżne

Def 2:

Ciąg
nazywamy rozbieżnym do
jeżeli

dla dowolnej liczby A istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
są większe od liczby A.

Def 3:

Ciąg
nazywamy rozbieżnym do
, jeżeli

Zapisujemy

lub
.

lub
.

Mówimy, że
, (
) jest granicą niewłaściwą ciągu.

Istnieją ciągi rozbieżne (czyli takie, które nie mają skończonej granicy), które nie są rozbieżne ani do
ani do
.

Przykład. Ciąg
jest rozbieżny.

Rachunek granic skończonych

Tw.

Jeżeli
i
, to

1.

2.

3.
przy założeniu, że
.

Tw. 1

Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.

Tw. 2 (dowód)

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wniosek

Ciąg, który nie jest ograniczony jest ciągiem rozbieżnym.

Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Ciąg ograniczony, może być ciągiem rozbieżnym.

Tw. 3 (dowód)

Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

LITERATURA

Zbiory zadań

Banaś J., Wędrychowicz S., Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, 1997

Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach,t.1, PWN,1998

Stankiewicz W: Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, 1982

Podręczniki

Żakowski W., Decewicz G., Matematyka cz.I, WNT, (seria podręczników dla elektroniki PW)

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla inżynierów, Tom I i II, WNT 2000

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1,oficyna wydawnicza GIS,2008,(Politechnika Wrocław)

Dla dociekliwych studentów

Rudnicki R. Wykłady z analizy matematycznej, PWN,2006

G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I i II, PWN, Warszawa 1999.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

8