V Punkt skupienia zbioru. Pojęcie granicy w punkcie. Granice jednostronne. Ciągłość funkcji. Homeomorfizmy.

Definicja

Niech
będzie p-nią metryczną oraz
. Mówimy, że
jest punktem skupienia zbioru A, gdy

Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A^d i nazywamy pochodną zbioru A

Definicja

to p nazywamy punktem izolowanym.

Definicja Cauchy'ego

Niech
,
będą p-niami metrycznymi. Załóżmy, że dany jest zbiór
i funkcja
oraz niech
będzie punktem skupienia zbioru E. Mówimy, że punkt

jest granicą funkcji f w punkcie p, gdy

Oznaczmy

.

Definicja Heinego

Niech
,
będą p-niami metrycznymi. Załóżmy, że dany jest zbiór
i funkcja
oraz niech
będzie punktem skupienia zbioru E. Mówimy, że punkt
jest granicą funkcji f w punkcie p, gdy

Definicja

Niech
będzie p-nią metryczną,
i
wówczas

a)

b)



.

Definicja

Załóżmy, że
.

a). niech p będzie punktem skupienia zbioru
. Granicę
│
nazywamy granica lewostronną funkcji f w punkcie p i oznaczmy przez
lub f(p^-).

b). niech p będzie punktem skupienia zbioru
. Granicę
│
nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie p i oznaczamy przez
lub f(p⁺).

Definicja

Niech
,
będą p-niami metrycznymi. Mówimy, że funkcja
jest ciągła w punkcie
, gdy

.

Definicja

Niech X, Y będą p-niami metrycznymi. Mówimy, że funkcja
jest ciągła na zbiorze
, gdy jest ona ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Definicja

Załóżmy, że X i Y są p-niami metrycznymi. Ciągłą bijekcję
nazywamy homeomorfizmem, gdy funkcja odwrotna f^—1 jest ciągła.