Operator Funkcja stanu (falowa), własności i sens fizyczny (postulat I, II) Jest to odwzorowanie F:X->Y gdzie X,Y są przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K liczb R+. Operator jest liniowy gdy dla każdego x,y ∈K x,y ∈X jest F(ax+by)=aFx+bFy. Dwie funkcje są ortogonalne u,v ∈X gdy (uv)=0. Operator F jest hermitowski gdy (uFv)=(Fuv). Równanie własne operatora liniowego F ma postać Fϕn=λnϕn, gdzie ϕn- funkcja własna, zbiór {λn} jest zbiorem wartości własnych lub widmem operatora F. Wartości własne operatorów hermitowskich są rzeczywiste. Komutator dwóch operatorów A,B który oznaczamy [A,B] jest zdefiniowany [A,B]≡AB-BA. Operatory dla których [A,B]=0 są to operatory przemienne komutujące, natomiast gdy [A,B]≠0 są to operatory nieprzemienne. ------------------------------------------------------	Każdemu układowi fizycznemu odpowiada funkcja stanu (falowa) zależna od współrzędnych przestrzennych i czasu, która jest ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w całym zakresie zmienności funkcji. Funkcja falowa w układzie kartezjańskim ψ=ψ(x,y,z,t) całkowicie określa stan układu fizycznego, w mechanice kwantowej, układem tym może być elektron, atom, kryształ. Ogólnie jest to funkcja zespolona. Funkcja ta jest elementem przestrzeni Hilberta ψ∈X i opisuje falę materii. Prawdopodobieństwo P znalezienia układu fizycznego opisanego funkcją falową ψ w elemencie przestrzeni dτ wynosi P=ψψ^*dτ=|ψ|^2dτ. Prawd P jest liczbą z przedziału [0,1]. ∫ψψ^*dτ=1 jest to warunek unormowania f fal. Spełnienie tego warunku wymaga aby lim|ψ(r,t)|^2=0. Bezpośrednią interpretację fizyczną ma kwadrat modułu f fal. Określa on prawdopod znalezienia , a nie położenie obiektu jak w mechanice klasycznej. ------------------------------------------------------	Zasada odpowiedniości. (postulat III) Operator położenia i pędu, ich funkcje własne. Komutator dwóch operatorów, zasada nieoznaczoności. Każdej dynamicznej wielkości fizycznej F odpowiada liniowy operator hermitowski F, przy czym w wyniku pomiaru wielkości fizycznej F otrzymuje się tylko jedną z wartości własnych operatora F. Operatory odpowiadające najważniejszym wielkościom dynamicznym : pęd p->p=-h∇, położenie r->r=r, moment pędu L->L=r × p. Niektóre operatory są operatorami różniczkowymi( gradient położenia w pędzie) inne polegają na mnożeniu przez liczbę (położenie). Operatory złożone konstruuje się na podstawie zależności analogicznych jak w przypadku wielkości dynamicznych. Np. równanie momentu pędu Lfn=anfn. ------------------------------------------------------	Operatory odpowiadające najważniejszym wielkościom dynamicznym : pęd p->p=-h∇, położenie r->r=r, moment pędu L->L=r × p, jego funk własna Lfn=anfn Komutator dwóch operatorów A,B który oznaczamy [A,B] jest zdefiniowany [A,B]≡AB-BA. Operatory dla których [A,B]=0 są to operatory przemienne komutujące, natomiast gdy [A,B]≠0 są to operatory nieprzemienne. Jeżeli to iloczyn dyspersji jest zawsze większy lub równy , gdzie Tzn. Wielkości fizyczne reprezentowane przez operatory, których komutator jest różny od zera nie mogą być jednocześnie wyznaczone z dowolnie dużą dokładnością. ------------------------------------------------------
Wyniki pomiarów, wartość oczekiwana Równanie Schedlingera i jego znaczenie + przykład Wynik pomiarów - wartość oczekiwana Wartość oczekiwana przy pomiarze wielkości fizycznej opisanej operatorem w układzie opisanym funkcją falową , jest dany przez . Wartość oczekiwana oznacza tutaj średnią arytmetyczną wyników bardzo dużej liczby pomiarów, przeprowadzanych na takich samych układach, z których każdy jest opisany funkcją falową . Jeżeli ta funkcja jest funkcją własną operatora to otrzymamy jedną z wartości własnych. ------------------------------------------------------	R.S. składa się z sumy operatorów energii potencjalnej V i energii kinetycznej T. Postać energii kinetycznej w przypadku nierelatywistycznym ma postać T=p^2/2m.=-h^2∇^2/2m. Operator energii potencjalnej konstruuje się dla danego problemu fizycznego na podstawie zależności klasycznych. Przykłady : a).cząstka swobodna. W przypadku cz s nie występują żadne zewnętrzne pola, więc V=0, stąd równanie Schrodingera przybiera najprostszą z możliwych postaci (-h^2/2m.)∇^2ψ=ihψ b).oscylator harmoniczny. Energia potencjalna oscylatora harmonicznego w przypadku klasycznym ma postać V(x)=1/2 kx^2 , gdzie k - stała sprężystości. R.S. ma postać : -(h^2/2m)(d^2ψ/dx^2)+1/2 (kx^2ψ)=ihψ d).atom wodoru w zewn polu mag H . zakładając, że hamiltonian wodoru w nieobecności pola mag oznacz H0 oraz wypadkowy moment mag μ otrzymujemy H=Ho+Hμ	Stany stacjonarne i niestacjonarne, wyprowadzenie stacjonarnego rów. Schedlingera Cząstka swobodna (rów. Schedlingera i rozwiaz., postać f. falowej). Operator energii potencjalnej zależy od współrzędnych przestrzennych i czasu V=V(x,y,z,t). Problemy mechaniczne, w których występuje taki potencjał nazywamy problemami niestacjonarnymi (zmienne w czasie). Problemy mech w których operator potencjału nie zależy od czasu V=V(x,y,z) nazywamy problemami stacjonarnymi. ------------------------------------------------------	Cząstka swobodna o masie m. Porusza się wzdłuż osi x. W równaniu Shrodingera występuje w tym wypadku jedynie operator energii kinetycznej bo V=0 (-2h^2/2m)(d^2ψ(x,t)/dx^2)=ihψ(x,t) Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki swobodnej jest stałe i żadne miejsce w przestrzeni nie jest wyróżnione. ψ^*ψ=C^2exp[-i(kx-ωt)]exp[i(kx-ωt)] = C^2= const. Dla tej cząstki możemy określić również prędkość i energię p=hk=2πh/λ, gdzie λjest długością fali materii, a p=mv skąd mv=hk=2πh/λ, v=2πh/λm. Energia kinetyczna cząstki E=hω=p^2/2m= h^2k^2/2m. Prędkość fazowa fali materii u=ω/k=E/p=p/2m.=mv/2m.=v/2., czyli prędkość fazowa jest połową prędkości cząstki.
Cząstka w jamie potencjału, stany związane, dyskretne poziomy energetyczne Bariera potencjału, efekt tunelowy Cząstka w jamie potencjału, stany związane?, dyskretne poziomy energetyczne Rozważmy cząstkę o masie m w potencjale przedstawionym na rysunku. Przy czym potencjał w x<0 i x>a jest nieskończony, a w przedziale 0<x<a jest zerowy. Jest to problem stacjonarny, wystarczy więc rozwiązać niezależne od czasu równanie Schrödingera. Podzielmy oś x na trzy obszary, różniące się potencjałem V(x). Nieskończoność potencjału w obszarze 1 i 3 wymaga zerowania funkcji falowej w tych obszarach, czyli . Równanie Schrödingera w obszarze 2 ma postać a po wprowadzeniu oznaczeń równanie to można zapisać w postaci rozwiązaniem tego jest po uwzględnieniu ciągłości funkcji falowej mamy gdzie n liczba naturalna. Równanie to określa wartości własne energii cząstki funkcja własna cząstki ma postać a po unormowaniu funkcja falowa ma postać ----------------------------------------------------------------	Bariera potencjału, efekt tunelowy Rozważmy cząstkę o masie m i energii E, padającą od strony x<0 na prostokątną barierę potencjału o wysokości U i szerokości a patrz rysunek. Równanie Schrödingera 1 i 3 gdzie współczynnik transmisji współczynnik odbicia Otrzymane wyniki mają bardzo ważne konsekwencje. Okazuje się, że cząstka mimo że ma energię niższą niż wysokość bariery (E<U), może przeniknąć prze barierę potencjału, Zjawisko to jest nazwane zjawiskiem tunelowym i nie jest obserwowalne w przypadku klasycznym. Co więcej, rozwiązanie tego problemu dla przypadku gdy cząstka porusza się nad barierą potencjału (E>U) prowadzi do wyniku że tak cząstka może odbić się od bariery potencjału. Czym szersza bariera potencjału tym prawdopodobieństwo przejścia cząstki jest mniejsze.	Oscylator harmoniczny, drgania zerowe Atom wodoru, f. Falowe, l. Kwantowe, moment pędu, poziomy energetyczne Ruch harmoniczny w dynamice ma szczególne znaczenie gdyż, jak wiadomo, każde drganie o dostatecznie małej amplitudzie może być traktowane jak drganie harmoniczne. Każde drganie można również traktować jako superpozycję nieskończonej liczby drgań harmonicznych o różnych amplitudach i częstościach, co matematycznie odpowiada rozłożeniu funkcji okresowej na szereg Fouriera. Oscylator klasyczny o masie m drgający wzdłuż osi x ma energie E=T+V=p^2/2m.+1/2 mω^2x^2 gdzie ω^2≡k/m. oscylator kwantowy H=T+V=(-h^2/2m.)(d^2/dx^2)+1/2 mω^2x^2. Funkcje własne oscylatora mają postać ψn(ξ)=Cnexp(-ξ^2/2)Hn(ξ). Wartości własne energii kwantowego osc harm En=1/2 hωλn=hω(1/2+n). Otrzymana zależność wykazuje, że energia kwantowego oscylatora harmonicznego jest skwantowana i zależy od liczby kwantowej n. ------------------------------------------------------

---