Estymacja parametrów modelu regresji liniowej (szczególne przypadki).
Rozważymy obecnie estymację parametrów w modelach regresji o jednej i dwóch zmiennych objaśniających.
Regresja liniowa o jednej zmiennej objaśniającej (Prosta regresji).
Rozważmy następujący model
,
,
.................................
,
Wprowadźmy następujące oznaczenia
.
Przypomnijmy, że
nazywamy średnimi z próby. Znajomość wartości pięciu statystyk
stanowi podstawę estymacji i wnioskowań statystycznych związanych z modelem regresji liniowej o jednej zmiennej objaśniającej.
Niżej podane są estymatory
i
parametrów
i
uzyskane metodą najmniejszych kwadratów oraz prosta regresji z próby.
Estymator parametru uzyskany metodą najmniejszych kwadratów
Estymator parametru uzyskany metodą najmniejszych kwadratów
Prosta regresji z próby
Rozważmy dane z przykładu 2.1.
Przykład (Inflacja). Dane dotyczące inflacji w Polsce w pierwszych dziewięciu miesiącach przedstawiały się następująco:
Miesiąc |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Inflacja (w %) y |
1,8 |
2,7 |
3,6 |
4,0 |
4,7 |
5,5 |
6,2 |
5,9 |
6,9 |
Analizę rozpoczniemy od wykonania wykresu rozrzutu. Wykresem rozrzutu nazywamy wykres danych statystycznych
w prostokątnym układzie współrzędnych.
Narysowanie wykresu rozrzutu jest ważnym wstępnym krokiem przed rozpoczęciem formalnej statystycznej analizy związku pomiędzy dwiema zmiennymi. Można wstępnie ocenić czy model regresji liniowej jest odpowiedni.
Na rysunku 4.1. przedstawiony jest wykres rozrzutu dla danych z przykładu.
Wykres rozrzutu
Obliczenia wykonamy korzystając z następującej tabeli:
|
|
|
|
|
1 |
1,8 |
1 |
3,24 |
1,8 |
2 |
2,7 |
4 |
7,29 |
5,4 |
3 |
3,6 |
9 |
12,96 |
10,8 |
4 |
4 |
16 |
16 |
16 |
5 |
4,7 |
25 |
22,09 |
23,5 |
6 |
5,5 |
36 |
30,25 |
33 |
7 |
6,2 |
49 |
38,44 |
43,4 |
8 |
5,9 |
64 |
34,81 |
47,2 |
9 |
6,9 |
81 |
47,61 |
62,1 |
45 |
41,3 |
285 |
212,69 |
243,2 |
|
|
|
|
|
Mamy
,
,
,
.
Następnie wyznaczamy:
Estymator parametru
.
Estymator parametru
Prosta regresji z próby
czyli
Na rysunku 4.2 jest przedstawiony wykres wyznaczonej prostej regresji.
Rysunek Wykres prostej regresji
Regresja liniowa o dwóch zmiennych objaśniających.
Rozważmy następujący model
,
,
............................................
,
Estymatory NK
wyznacza się rozwiązując układ równań normalnych
Oszacowane równanie regresji jest postać
.
Rozważmy dane z przykładu 2.2.
Przykład (Reklama). Przypominamy, że w ciągu 10 tygodni śledzono wydatki na reklamę telewizyjna i radiową (
), wydatki na pokazy w sklepach (
) oraz wielkość sprzedaży tygodniowej (
). Poniżej w tabeli przedstawione są te obserwacje (dane w tys. $).
|
|
|
72 |
12 |
5 |
76 |
11 |
8 |
78 |
15 |
6 |
70 |
10 |
5 |
68 |
11 |
3 |
80 |
16 |
9 |
82 |
14 |
12 |
65 |
8 |
4 |
62 |
8 |
3 |
90 |
18 |
10 |
Obliczenia wykonamy korzystając z następującej tabeli:
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
12 |
5 |
60 |
144 |
25 |
864 |
360 |
76 |
11 |
8 |
88 |
121 |
64 |
836 |
608 |
78 |
15 |
6 |
90 |
225 |
36 |
1170 |
468 |
70 |
10 |
5 |
50 |
100 |
25 |
700 |
350 |
68 |
11 |
3 |
33 |
121 |
9 |
748 |
204 |
80 |
16 |
9 |
144 |
256 |
81 |
1280 |
720 |
82 |
14 |
12 |
168 |
196 |
144 |
1148 |
984 |
65 |
8 |
4 |
32 |
64 |
16 |
520 |
260 |
62 |
8 |
3 |
24 |
64 |
9 |
496 |
186 |
90 |
18 |
10 |
180 |
324 |
100 |
1620 |
900 |
743 |
123 |
65 |
869 |
1615 |
509 |
9382 |
5040 |
Wypisujemy układ równań normalnych
Rozwiązaniem tego układu są estymatory
,
zatem oszacowane równanie regresji
przyjmuje postać
.
6
5