Estymacja parametrów modelu regresji liniowej 2


Estymacja parametrów modelu regresji liniowej (szczególne przypadki).

Rozważymy obecnie estymację parametrów w modelach regresji o jednej i dwóch zmiennych objaśniających.

Regresja liniowa o jednej zmiennej objaśniającej (Prosta regresji).

Rozważmy następujący model

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

.................................

0x01 graphic
,

Wprowadźmy następujące oznaczenia

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Przypomnijmy, że 0x01 graphic
nazywamy średnimi z próby. Znajomość wartości pięciu statystyk 0x01 graphic
stanowi podstawę estymacji i wnioskowań statystycznych związanych z modelem regresji liniowej o jednej zmiennej objaśniającej.

Niżej podane są estymatory 0x01 graphic
i 0x01 graphic
parametrów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
uzyskane metodą najmniejszych kwadratów oraz prosta regresji z próby.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozważmy dane z przykładu 2.1.

Przykład (Inflacja). Dane dotyczące inflacji w Polsce w pierwszych dziewięciu miesiącach przedstawiały się następująco:

Miesiąc 0x01 graphic

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Inflacja (w %) y

1,8

2,7

3,6

4,0

4,7

5,5

6,2

5,9

6,9

Analizę rozpoczniemy od wykonania wykresu rozrzutu. Wykresem rozrzutu nazywamy wykres danych statystycznych 0x01 graphic
w prostokątnym układzie współrzędnych.

Narysowanie wykresu rozrzutu jest ważnym wstępnym krokiem przed rozpoczęciem formalnej statystycznej analizy związku pomiędzy dwiema zmiennymi. Można wstępnie ocenić czy model regresji liniowej jest odpowiedni.

Na rysunku 4.1. przedstawiony jest wykres rozrzutu dla danych z przykładu.

0x08 graphic
Wykres rozrzutu

Obliczenia wykonamy korzystając z następującej tabeli:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

1,8

1

3,24

1,8

2

2,7

4

7,29

5,4

3

3,6

9

12,96

10,8

4

4

16

16

16

5

4,7

25

22,09

23,5

6

5,5

36

30,25

33

7

6,2

49

38,44

43,4

8

5,9

64

34,81

47,2

9

6,9

81

47,61

62,1

45

41,3

285

212,69

243,2

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Mamy

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Następnie wyznaczamy:

0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic

Na rysunku 4.2 jest przedstawiony wykres wyznaczonej prostej regresji.

0x08 graphic
Rysunek Wykres prostej regresji

Regresja liniowa o dwóch zmiennych objaśniających.

Rozważmy następujący model

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

............................................

0x01 graphic
,

Estymatory NK 0x01 graphic
wyznacza się rozwiązując układ równań normalnych

0x01 graphic

Oszacowane równanie regresji jest postać

0x01 graphic
.

Rozważmy dane z przykładu 2.2.

Przykład (Reklama). Przypominamy, że w ciągu 10 tygodni śledzono wydatki na reklamę telewizyjna i radiową (0x01 graphic
), wydatki na pokazy w sklepach (0x01 graphic
) oraz wielkość sprzedaży tygodniowej (0x01 graphic
). Poniżej w tabeli przedstawione są te obserwacje (dane w tys. $).

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

72

12

5

76

11

8

78

15

6

70

10

5

68

11

3

80

16

9

82

14

12

65

8

4

62

8

3

90

18

10

Obliczenia wykonamy korzystając z następującej tabeli:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

72

12

5

60

144

25

864

360

76

11

8

88

121

64

836

608

78

15

6

90

225

36

1170

468

70

10

5

50

100

25

700

350

68

11

3

33

121

9

748

204

80

16

9

144

256

81

1280

720

82

14

12

168

196

144

1148

984

65

8

4

32

64

16

520

260

62

8

3

24

64

9

496

186

90

18

10

180

324

100

1620

900

743

123

65

869

1615

509

9382

5040

Wypisujemy układ równań normalnych

0x01 graphic

Rozwiązaniem tego układu są estymatory

0x01 graphic
,

zatem oszacowane równanie regresji 0x01 graphic
przyjmuje postać

0x01 graphic
.

6

5

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3-Estymacja parametrów modelu regresji liniowej, # Studia #, Ekonometria
Estymacja parametrów modelu regresji liniowej
3 Istotność parametrów modelu regresji liniowej
4 estymacja parametrów jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego
6 własności estymatora parametrów klasycznego modelu liniowego uzyskanego metodą najmniejszych kwadr
Estymacja parametrow strukturalnych modelu, Ekonometria
10 regresja liniowa prim, Parametry dwuwymiarowych zmiennych losowych
zadanie 2- regresja liniowa, Statyst. zadania
06.regresja liniowa, STATYSTYKA
L4 regresja liniowa klucz (2)
11 regresja liniowa bis, Wariancja empirycznych współczynników a i b regresji liniowej

więcej podobnych podstron