Czerwiec 2012 odp


Centralna Komisja Egzaminacyjna
EGZAMIN MATURALNY 2012
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Kryteria oceniania odpowiedzi
CZERWIEC 2012
2 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Zadanie 1. (0-4)
Obszar standardów Opis wymagań
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną
(III.3.e.R)
I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy
część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności.
x -Ą,-1 x -1, 2)
( ) x 2,Ą
)
-x + 2 - x -1ł 3x -3 -x + 2 + x +1ł 3x -3 x - 2 + x +1ł 3x -3
-5x ł -4 -3x ł -6 -x ł-3+1
4 x Ł 2 x Ł 2
x Ł
5
W tym przypadku W tym przypadku
W tym przypadku
rozwiązaniem nierówności rozwiązaniem nierówności jest
rozwiązaniem nierówności
jest -1Ł x < 2 x = 2
jest x <-1
Aącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedz: Zbiorem rozwiązań
nierówności jest -Ą,2 .
(
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 1 pkt
Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.
I. x -Ą,-1 - x + 2 - x -1ł 3x - 3
( )
II. x -1, 2 - x + 2 + x +1 ł 3x - 3
)
III. x 2,Ą x - 2 + x +1 ł 3x - 3
)
Uwaga
Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub
nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to
za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)......................................................... 3 pkt
Zdający poprawnie rozwiąże wszystkie trzy nierówności i poprawnie wyznaczy części
wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch
przypadkach, a w trzecim przypadku popełni błąd i konsekwentnie doprowadzi
rozwiązanie do końca
Egzamin maturalny z matematyki 3
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
albo
poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części
wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie
doprowadzi rozwiązanie do końca.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze odpowiedz: x -Ą,2 lub x Ł 2 .
(
Uwaga
Zdający może włączyć liczby  1 i 2 do wszystkich ograniczonych tymi liczbami przedziałów.
Jeżeli natomiast nie włączy tych liczb do żadnego rozważanego przedziału (rozważy
wszystkie przedziały otwarte), to otrzymuje za całe zadanie o 1 punkt mniej, niż gdyby
wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.
II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków)
x - 2 ł 0 x - 2 ł 0 x - 2 < 0 x - 2 < 0

Zapisujemy cztery przypadki:

x +1ł 0 x +1< 0 x +1ł 0 x +1< 0

x - 2 ł 0 x - 2 ł 0 x - 2 < 0 x - 2 < 0


x +1ł 0 x +1< 0 x +1ł 0 x +1< 0

x - 2 ł 0 x - 2 ł 0 x - 2 < 0 x - 2 < 0

x +1ł 0 x +1< 0 x +1ł 0 x +1< 0

x - 2 + x +1ł 3x - 3 x - 2 - x -1ł 3x - 3
-x + 2 + x +1ł 3x - 3 -x + 2 - x -1ł 3x - 3
x ł 2 x ł 2 x < 2

x ł-1 x <-1 x ł-1

x < 2


x Ł 2 ... x Ł 2
x <-1


4
x Ł
5
x = 2 niemożliwe -1Ł x < 2
-Ą < x < -1
Aącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedz: Zbiorem rozwiązań
nierówności są x Ł 2 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 1 pkt
x - 2 ł 0 x - 2 ł 0 x - 2 < 0 x - 2 < 0

Zdający zapisze cztery przypadki:

x +1ł 0 x +1< 0 x +1ł 0 x +1< 0

Uwaga
Jeżeli zdający błędnie zapisze którykolwiek z czterech przypadków, to za całe rozwiązanie
otrzymuje 0 punktów.
4 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze cztery układy nierówności:
x - 2 ł 0 x - 2 ł 0 x - 2 < 0 x - 2 < 0

x +1ł 0 x +1< 0 x +1ł 0 x +1< 0

x - 2 + x +1ł 3x - 3 x - 2 - x -1ł 3x - 3
-x + 2 + x +1ł 3x - 3 -x + 2 - x -1ł 3x - 3
Uwaga
Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych
przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników
z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)......................................................... 3 pkt
Zdający poprawnie rozwiąże co najmniej trzy układy nierówności.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze odpowiedz: x -Ą,2 lub x Ł 2 .
(
Uwaga
We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności
nieostre. Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie
o 1 punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie.
III sposób rozwiązania (graficznie)
Rysujemy wykres funkcji f x = x - 2 + | x +1| i prostą o równaniu y = 3x -3.
( )
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.
I. x -Ą, -1 f x = -x + 2 - x -1
( ) ( )
II. x -1, 2 f x = -x + 2 + x +1
) ( )
III. x 2,Ą f x = x - 2 + x +1
) ( )
Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci f x = ax + b :
( )
I. x -Ą,-1 f x = -2x +1
( ) ( )
II. x -1, 2 f x = 3
) ( )
III. x 2,Ą f x = 2x -1
) ( )
lub
-2x +1 dla x -Ą,-1
( )

3dla x -1,2)
f x =
( )


)
2x -1 dla x 2,Ą

Egzamin maturalny z matematyki 5
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 3x - 3 :
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Odczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresu funkcji f i prostej o równaniu y = 3x -3:
x = 2 . Podajemy argumenty, dla których f x ł 3x - 3: x -Ą,2 .
( ) (
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt
Zdający wyróżni przedziały: -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje
0 punktów.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 2 pkt
Zdający poprawnie zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.
I. x -Ą,-1 f x = -2x +1
( ) ( )
II. x -1, 2 f x = 3
) ( )
III. x 2,Ą f x = 2x -1
) ( )
lub
-2x +1 dla x -Ą,-1
( )

3dla x -1,2)
f x =
( )


)
2x -1 dla x 2,Ą

6 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 3x -3.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze przedział: x -Ą, 2 lub x Ł 2 .
(
Uwaga
We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności
nieostre. Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie
o 1 punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie.
IV sposób rozwiązania
Rysujemy wykres funkcji f x = x - 2 + x +1 - 3x + 3 , postępując np. w opisany
( )
poniżej sposób.
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.
I. x -Ą,-1 f x = -x + 2 - x -1- 3x + 3
( ) ( )
II. x -1, 2 f x = -x + 2 + x +1- 3x + 3
) ( )
III. x 2,Ą f x = x - 2 + x +1- 3x + 3
) ( )
Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci f x = ax + b :
( )
I. x -Ą, -1 f x = -5x + 4
( ) ( )
II. x -1, 2 f x = -3x + 6
) ( )
III. x 2,Ą f x = -x + 2
) ( )
lub
-5x + 4 dla x -Ą,-1
( )


f x = + 6 dla x -1,2)
( )
-3x

)
-x + 2 dla x 2,Ą

Rysujemy wykres funkcji f :
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Egzamin maturalny z matematyki 7
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Odczytujemy wszystkie argumenty, dla których f x ł 0 , czyli: -Ą< x Ł 2
( )
lub zapisujemy: zbiorem rozwiązań nierówności jest -Ą,2 .
(
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt
Zdający wyróżni przedziały: -Ą,-1 , -1, 2 , 2,Ą .
( ) ) )
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje
0 punktów.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.
I. Jeśli x -Ą,-1 , to f x = -5x + 4
( ) ( )
II. Jeśli x -1, 2 , to f x = -3x + 6
) ( )
III. Jeśli x 2,Ą , to f x = -x + 2
) ( )
albo
I. Jeśli x <-1, to f x =-5x + 4
( )
II. Jeśli -1Ł x < 2 , to f x =-3x + 6
( )
III. Jeśli x ł 2 , to f x =-x + 2
( )
albo
-5x + 4 dla x -Ą,-1
( )


f x = + 6 dla x -1,2)
( )
-3x

)
-x + 2 dla x 2,Ą

Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Zdający narysuje wykres funkcji f .
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze przedział: x -Ą,2 lub x Ł 2.
(
Uwaga
We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności
nieostre. Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie
o 1 punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie.
8 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Zadanie 2. (0-4)
Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie twierdzenia o równości wielomianów
(IV.2.a.R)
Rozwiązanie (porównanie współczynników wielomianu)
2
Wielomian W zapisujemy w postaci kwadratu wielomianu P: W x = x2 + cx + d .
( )
( )
Przekształcamy ten wielomian i porządkujemy jego wyrazy:
2
W x = x2 + cx + d x2 + cx + d = x4 + cx3 + dx2 + cx3 + c2x2 + cdx + dx2 + cdx + d =
( )
() ()
2
= x4 + 2cx3 + 2d + c2 x2 + 2cdx + d
()
Porównujemy współczynniki wielomianu W i zapisujemy układ równań:
2c = a
2c = a 2c = a
c = -4 c = 4

2d + c2 = b
2d + c2 = b 2d + c2 = b
d = 3 d =-3

lub i następnie
2cd =-24 . Stąd a = -8 lub a = 8 .
c =-4 c = 4
d 2 = 9 d = 3 d =-3 b = 22 b = 10



Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania .................................................................................................................................. 1 pkt
2
Zapisanie wielomianu W w postaci kwadratu wielomianu P: W x = x2 + cx + d .
( )
( )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ............................................................................... 2 pkt
Zapisanie wielomianu W w postaci uporządkowanej, np.:
2
W x = x4 + 2cx3 + 2d + c2 x2 + 2cdx + d .
( )
()
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .............................................................................. 3 pkt
2c = a

2d + c2 = b

Zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie a oraz b, np.:
2cd =-24

d 2 = 9

Rozwiązanie pełne ....................................................................................................................... 4 pkt
a =-8 a = 8

Obliczenie a oraz b:
b = 22 lub b = 10 .

Egzamin maturalny z matematyki 9
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Zadanie 3. (0-5)
Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV.6.e.R)
I sposób rozwiązania
4
Z równania cosa + sina = wyznaczamy jedną z funkcji trygonometrycznych w zależności
3
4
od drugiej, np. cosa = - sina . Stąd i z jedynki trygonometrycznej mamy
3
2
4
ć
sin2 a + - sina = 1

3
Łł
87
2sin2 a - sina + = 0 .
39
Otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą sina ma dwa rozwiązania:
4 - 2 4 + 2
sina = lub sina = .
6 6
4 - 2 4 + 2
Gdy sina = , to cosa = .
6 6
4 + 2 4 - 2
Natomiast gdy sina = , to cosa = .
6 6
W każdym z tych przypadków wartość wyrażenia cosa - sina jest taka sama i równa
4 + 2 4 - 2 4 + 2 - 4 + 2 2
-= = .
66 6 3
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt
Zapisanie równania, w którym występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna kąta a :
2 2
4 4
ć ć
sin2 a + - sina = 1 albo - cosa + cos2 a = 1

3 3
Łł Łł
albo
4
wyznaczenie z równania cosa + sina = jednej z funkcji w zależności od drugiej
3
i zapisanie wyrażenia cosa - sina w zależności od tej funkcji:
4 4
cosa - sina = - 2sina albo cosa - sina = 2cosa - .
3 3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą w postaci uporządkowanej:
87 87
2sin2 a - sina + = 0 albo 2cos2 a - cosa + = 0 .
39 39
10 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
Obliczenie wartości sina albo cosa :
4 - 2 4 + 2
sina = lub sina =
6 6
albo
4 + 2 4 - 2
cosa = lub cosa =
6 6
Rozwiązanie zadania prawie do końca ............................................................................ 4 pkt
Obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej kąta a :
4 + 2 4 - 2
cosa = lub cosa =
6 6
albo
4 - 2 4 + 2
sina = lub sina =
6 6
albo
zapisanie wyrażenia cosa - sina w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej:
4 4
cosa - sina = - 2sina albo cosa - sina = 2cosa -
3 3
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 5 pkt
2
Obliczenie wartości wyrażenia: cosa -sina = .
3
II sposób rozwiązania
4
Podnosząc obie strony równania cosa + sina = do kwadratu dostajemy
3
16
cos2 a + 2cosa sina + sin2 a = .
9
7
sin2 a + cos2 a = 1, więc 2cosa sina = .
9
Zatem wartość wyrażenia cosa - sina jest równa
2 7 2
cosa -sina = cosa -sina = cos2 a -2cosa sina +sin2 a = 1-2cosa sina = 1- =
()
9 3
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt
7
Obliczenie wartości 2cosa sina =
9
albo
2
zapisanie wyrażenia cosa - sina w postaci cosa -sina .
()
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
7
Obliczenie wartości 2cosa sina =
9
oraz
2
zapisanie wyrażenia cosa - sina w postaci cosa -sina .
()
Egzamin maturalny z matematyki 11
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Rozwiązanie zadania prawie do końca ............................................................................ 4 pkt
7
Obliczenie wartości 2cosa sina =
9
oraz
zapisanie wyrażenia cosa - sina w postaci 1-2cosa sina .
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 5 pkt
2
Obliczenie wartości wyrażenia: cosa -sina = .
3
Zadanie 4. (0-5)
Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem,
Użycie i tworzenie strategii
Przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków
(IV.3.b.R)
I sposób rozwiązania (wzory ViŁte a)
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność D> 0.
Zapisujemy układ warunków:
D> 0


x1 - x2 = 3

Wyznaczamy D :
2 2
D= 3- 2m - 42 -m +1 = 9 -12m + 4m2 + 8m -8 = 4m2 - 4m +1 = 2m -1
( ) ( ) ( )
2 1
Rozwiązujemy nierówność D > 0 : 2m -1 > 0 , czyli 2m -1 ą 0 . Stąd m ą .
( )
2
Wariant I
2
Równanie x1 - x2 = 3 zapisujemy najpierw w postaci równoważnej x1 - x2 = 9 ,
( )
2
22
a dalej x1 - 2x1x2 + x2 = 9, czyli x1 + x2 - 4x1x2 = 9 .
( )
Stosując wzory ViŁte a zapisujemy równanie w postaci
2
3 - 2m -m +1
ć
-- 4 = 9.

22
Łł
Stąd
2
2m - 3 - 8 -m +1 = 36
( ) ( )
4m2 - 4m - 35 = 0
D = 576 = 242
4 - 24 5 4 + 24 7
m == - lub m == .
8 2 8 2
Wariant II
Zapisujemy wyrażenie x1 - x2 w postaci równoważnej i przekształcamy:
22
x1 - x2 = x1 - x2 = x12 - 2x1x2 + x22 = x1 + x2 - 4x1x2
( ) ( )
12 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Stąd, stosując wzory ViŁte a, otrzymujemy:
2
2m -1
b c b2 4c b2 - 4ac D
ć
x1 - x2 = - - 4 = - = = =

a a a2 a a2 a2 2
Ł ł
2m -1
Równanie x1 - x2 = 3 jest zatem równoważne równaniu = 3
2
7 5
Stąd 2m -1 = 6 i następnie 2m -1 = 6 lub 2m -1 =-6 , czyli m = lub m =- .
2 2
1
Obie otrzymane wartości m są różne od .
2
5 7
Odpowiedz: m =- lub m = .
2 2
II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki)
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność D > 0.
Wyznaczamy D :
2 2
D= 3- 2m - 42 -m +1 = 9 -12m + 4m2 + 8m -8 = 4m2 - 4m +1 = 2m -1
( ) ( ) ( )
Warunek D > 0 zachodzi, gdy
2 1
2m -1 > 0, co ma miejsce, gdy 2m -1ą 0, czyli dla m ą .
( )
2
2
Ponieważ D= 2m -1 , zatem D = 2m -1 .
( )
2m - 3 - 2m -1 2m - 3 + 2m -1
Stąd x1 = , x2 = .
4 4
Warunek x1 - x2 = 3 możemy zapisać w postaci x1 - x2 = 3 lub x1 - x2 =-3.
Obliczamy:
2m - 3 - 2m -1 2m - 3 + 2m -1 -2 2m -1 2m -1
x1 - x2 = - = = - .
44 4 2
Zatem alternatywę x1 - x2 = 3 lub x1 - x2 = -3 możemy zapisać w postaci
2m -1 2m -1
-= 3 lub -= -3
2 2
Pierwsze z otrzymanych równań jest sprzeczne, wystarczy więc rozwiązać drugie:
2m -1
-= -3 , stąd 2m -1 = 6.
2
7 5
Zatem 2m -1 = 6 lub 2m -1 =-6 , czyli m = lub m = - .
2 2
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech części.
Część a) polega na rozwiązaniu nierówności D > 0 , gdzie rozwiązujemy nierówność
2 1
2m -1 > 0 : m ą .
( )
2
Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający rozpatrzy warunek Dł 0 , wówczas za tę część otrzymuje 0 punktów.
Egzamin maturalny z matematyki 13
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
5 7
Część b) polega na rozwiązaniu równania x1 - x2 = 3: m = - lub m = .
2 2
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.
Część c) polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązania nierówności z a) i rozwiązania
równania z b). Za poprawne rozwiązanie części c) zdający otrzymuje 1 punkt.
W ramach części b) rozwiązania wyróżniamy następujące etapy:
Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania .......................................................................................................... 1 pkt
2
Zapisanie równania x1 - x2 = 3 w postaci równoważnej x1 - x2 = 9
( )
albo
2
zapisanie równości x1 - x2 = x1 - x2
( )
albo
2m - 3 - 2m -1 2m - 3 + 2m -1
obliczenie x1 i x2 : x1 = , x2 = oraz zapisanie
4 4
równania x1 - x2 = 3 w postaci alternatywy x1 - x2 = 3 lub x1 - x2 =-3.
Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania .................................................... 2 pkt
2
Doprowadzenie równania x1 - x2 = 9 do postaci 4m2 - 4m - 35 = 0
( )
albo
2m -1
zapisanie równania x1 - x2 = 3 w postaci = 3
2
albo
2m -1
doprowadzenie równań x1 - x2 = 3 i x1 - x2 =-3 do postaci - = 3
2
2m -1
i -= -3 .
2
Rozwiązanie pełne części b) ............................................................................................. 3 pkt
5 7
Rozwiązanie równania 4m2 - 4m - 35 = 0 : m = - lub m =
2 2
albo
2m -1
5 7
rozwiązanie równania = 3 : m = - lub m =
2 2 2
albo
2m -1 2m -1
rozwiązanie alternatywy równań: - = 3 lub - =-3 :
2 2
75
m = lub m = - .
22
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów wyznaczy część
wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i równania, to otrzymuje 4 punkty.
14 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
III sposób rozwiązania (rozkład na czynniki)
Równanie 2x2 + (3 - 2m)x - m +1 = 0 doprowadzamy do postaci iloczynowej kolejno
otrzymując:
2x2 + 3x - 2mx - m + 1 = 0
2x2 + x + 2x + 1 - 2mx - m = 0
x 2x +1 + 2x +1 - m 2x +1 = 0
( ) ( ) ( )
2x +1 x +1- m = 0.
( )( )
Zatem dla każdej wartości parametru m równanie ma pierwiastki:
1
x1 =- , x2 = m -1.
2
1 1
ć
Warunek x1 - x2 = 3 ma zatem postać m -1- - = 3, czyli m - = 3 .

2 2
Ł ł
1 1 1 1
Stąd m - = 3 lub m - = -3 i ostatecznie m = 3 lub m = -2 .
2 2 2 2
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie równania w postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np.:
2x2 + x + 2x +1 - 2mx - m = 0 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt
Zapisanie równania w postaci iloczynowej: 2x +1 x +1- m = 0 .
( )( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
1
Obliczenie x1 i x2 : x1 =- , x2 = m -1.
2
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 5 pkt
1 1
Rozwiązanie równania x1 - x2 = 3: m = 3 lub m = -2 .
2 2
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów rozwiąże zadanie
do końca, to otrzymuje 4 punkty.
Zadanie 5. (0-5)
Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na
sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV.5.c)
Rozwiązanie
Szukamy odpowiedzi na pytanie: dla jakiej największej wartości n suma Sn początkowych
kolejnych n wyrazów tego ciągu spełnia nierówność Sn < 2012 .
2a1 + n -1 r
( )
Suma n początkowych wyrazów ciągu an wyraża się wzorem Sn = n ,
( )
2
2 -2 + n -1 3
( ) ( )
więc otrzymujemy nierówność n < 2012 .
2
Egzamin maturalny z matematyki 15
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
3n - 7 n
( )
Stąd < 2012 i następnie 3n2 - 7n - 4024 < 0 .
2
Miejscami zerowymi trójmianu 3n2 - 7n - 4024 są liczby
7 - 48337 7 + 48337
n1 = oraz n2 = .
6 6
Zatem szukane n jest największą liczbą całkowitą dodatnią z przedziału n1, n2 .
( )
7 + 219,86
Przybliżona wartość n2 37,81, więc szukaną wartością jest n = 37 .
6
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...& 1 pkt
Zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą:
2 -2 + n -1 3 -2 + 3n - 5 2 -2 + n -1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n < 2012 lub n < 2012 lub n = 2012 .
2 2 2
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp& & & & & & & & & & & & & & & & & ..2 pkt
Doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej:
3n2 - 7n - 4024 < 0 lub 3n2 - 7n - 4024 = 0 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania & & & & & & & & & & & & & & & & ..3 pkt
Rozwiązanie nierówności 3n2 - 7n - 4024 < 0 lub równania 3n2 - 7n - 4024 = 0 :
ć
7 - 48337 7 + 48337 7 - 48337 7 + 48337
n lub n1 = , n2 = .
,

66 6 6
Łł
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) & & & & & & & & & & & & & .. 4 pkt
Poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego,
7 + 48337
a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby n2 =
6
i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi (o ile liczba n ł1)
albo
2 -2 + n -1 3
( ) ( )
błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności n < 2012
2
-2 + 3n - 5
( )
lub n < 2012 (lub równania) i konsekwentne do tych błędów podanie
2
odpowiedzi (o ile trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki, a liczba n jest całkowita
dodatnia).
Rozwiązanie pełne & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . 5 pkt
Zapisanie, że największą liczbą n dla której a1 + a2 + ...+ an < 2012 jest n = 37 .
Uwaga
Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba n = 37 spełnia podaną
nierówność, oraz sprawdzi, że liczba n = 38 nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje
5 punktów.
16 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Zadanie 6. (0-3)
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej
(V.2.b)
Rozwiązanie
Obie strony nierówności są dodatnie, więc po podniesieniu obu stron nierówności do potęgi
drugiej otrzymujemy nierówność równoważną
2
2
ac + bd Ł a2 + b2 c2 + d .
()
( ) ( )
Po otwarciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność
2
2 2
2abcd Ł a2d + b2c2 , a następnie a2d - 2abcd + b2c2 ł 0 , czyli ad - bc ł 0 .
()
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b, c, d, co
kończy dowód.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
2
2
gdy przekształci nierówność do postaci równoważnej ac + bd Ł a2 + b2 c2 + d i na
()
( ) ( )
tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
2
gdy doprowadzi nierówność do postaci 2abcd Ł a2d + b2c2 i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 3 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Zadanie 7. (0-4)
Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia
Użycie i tworzenie strategii
prostej i okręgu (IV.8.b.R)
I sposób rozwiązania
Obliczamy współrzędne środka okręgu i długość promienia okręgu: S = 2, 2 , r = 2 .
( )
22
Zapisujemy równanie okręgu: x - 2 + y - 2 = 4 .
( ) ( )
Okrąg jest styczny do prostej l w punkcie C = 1,a , więc współrzędne tego punktu spełniają
( )
22
równanie okręgu x - 2 + y - 2 = 4 .
( ) ( )
22 2
1- 2 + a - 2 = 4, a - 2 = 3, a - 2 = 3 .
( ) ( ) ( )
Stąd a = 2 + 3 lub a = 2 - 3.
a = 2 - 3 nie spełnia warunku zadania, więc C = 1, 2 + 3 .
( )
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej CS: m = - 3 .
Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do prostej CS i przechodzącej przez punkt C.
Egzamin maturalny z matematyki 17
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
13
l : y = x + b = x + b
3
3
3
2 + 3 = + b
3
ć
2 3 3
b = 2 + = 21+


33
Ł ł
ć
33
A zatem prosta l : y = x + 21+
.

33
Ł ł
II sposób rozwiązania
Podobnie, jak w I sposobie rozwiązania, znajdujemy współrzędne punktu C: C = 1, 2 + 3 .
()
uuur
1,
Następnie obliczamy współrzędne wektora CS = - 3ł .

uuur
Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do wektora CS i przechodzącej przez punkt C.
l : x -1 - 3 y - 2 - 3 = 0 , czyli l : x - 3y + 2 3 + 2 = 0 .
( )
()
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ................................................................................................................................ 1 pkt
22
Zapisanie równania okręgu: x - 2 + y - 2 = 4 .
( ) ( )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ............................................................................. 2 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu C :C = 1, 2 + 3 .
( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ............................................................................ 3 pkt
Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej CS: m = - 3 lub obliczenie współrzędnych
uuu
r
1,
wektora CS = - 3ł .

Rozwiązanie pełne ..................................................................................................................... 4 pkt
ć
33
Wyznaczenie równania prostej l i zapisanie go w postaci kierunkowej y = x + 21+


33
Ł ł
lub ogólnej x - 3y + 2 3 + 2 = 0 .
Uwaga:
Jeżeli zdający nie odrzuci a = 2 - 3 i rozwiąże zadanie do końca podając równania dwóch
prostych, to otrzymuje 3 punkty.
18 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Zadanie 8. (0-5)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich
z zastosowaniem trygonometrii (III.7.d.R)
Rozwiązanie
C
15
D
7
B
A
24
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAD mamy
2 2
BD = AD + AB = 72 + 242 = 625 = 25 .
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCD mamy
2 2
BC = BD - CD = 252 -152 = 625 - 225 = 400 = 20 .
11
PABCD = PABD + PBCD = 247 + 15 20 = 234 .
22
Wariant I
Ponieważ BD jest wspólną przeciwprostokątną trójkątów prostokątnych ABD i BCD,
więc na czworokącie ABCD można opisać okrąg, którego średnicą jest BD.
W okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też wpisany trójkąt ABC. Z twierdzenia
sinusów dla tego trójkąta wynika, że
AC
= BD , stąd AC = BD sin SABC = 25sin SABD + SDBC .
( )
sin SABC
Stąd i ze wzoru na sinus sumy kątów mamy
7 20 24 15

AC = 25 sin SABD cos SDBC + cos SABD sin SDBC = 25ć + = 20 .
()

25 25 25 25
Łł
Wariant II
Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:
2 2 2
AC = AB + BC - 2 AB BC cos SABC .
cos SABC = cos SABD + SDBC = cos SABD cos SDBC - sin SABD sin SDBC =
()
24 20 7 15 375 3
= - = = .
25 25 25 25 25 25 5
2 3
Stąd AC = 242 + 202 - 2 24 20 = 576 + 400 - 576 = 400 , czyli AC = 20 .
5
Egzamin maturalny z matematyki 19
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Wariant III
Korzystamy z twierdzenia Ptolemeusza:
AC BD = AB CD + BC AD czyli AC 25 = 2415 + 207 = 500 .
Stąd AC = 20 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt
Obliczenie długości przekątnej BD: BD = 25 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Obliczenie długości boku BC oraz pola czworokąta: PABCD = PABD + PBCD = 234 .
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy pole czworokąta ABCD popełniając błędy rachunkowe i na tym
poprzestanie lub dalej błędnie rozwiązuje zadanie, to otrzymuje 1 punkt.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Zauważenie, że przekątna BD jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie ABCD
(czyli również na trójkącie ABC) i zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia
AC
przekątnej AC: = BD
sin SABC
albo
zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia przekątnej AC:
2 2 2
AC = AB + BC - 2 AB BC cos SABC
albo
zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza do obliczenia przekątnej AC:
AC BD = AB CD + BC AD .
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
Obliczenie długości przekątnej AC z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
Obliczenie długości przekątnej AC: AC = 20 .
Zadanie 9. (0-3)
Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji
i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach
kombinatorycznych (IV.10.R)
I sposób rozwiązania (konsekwencje reguły dodawania)
Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900. Oznaczamy przez Ak zbiór liczb trzycyfrowych
podzielnych przez k. Mamy obliczyć A6 A15 .
A6 A15 = A6 + A15 - A6 A15 = A6 + A15 - A30 .
Teraz wystarczy obliczyć, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6,
następnie podzielnych przez 15 i następnie przez 30.
20 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Kolejne 900 liczb całkowitych można podzielić na 150 pełnych szóstek (czyli kolejnych sześć
liczb całkowitych). W każdej takiej szóstce jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 6.
Wynika stąd, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 6 jest dokładnie 150.
Rozumując analogicznie stwierdzamy, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez
15 jest 60, a trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 30 jest 30.
Stąd A6 A15 = A6 + A15 - A30 =150 + 60 - 30 =180 .
Liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub przez 15 jest 180.
II sposób rozwiązania (diagram Venna)
Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900. Oznaczamy przez Ak zbiór liczb trzycyfrowych
podzielnych przez k.
Rysujemy diagram Venna dla A6 i A15 .
Wpisujemy liczby elementów poszczególnych parami rozłącznych zbiorów zaczynając od
A6 A15 = A30 = 30 , a następnie korzystając z faktów, że A6 =150 i A15 = 60 wpisujemy
liczby w pozostałe zbiory i zapisujemy odpowiedz:
liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub przez 15 jest 180.
III sposób rozwiązania
Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900. Stwierdzamy, że liczb trzycyfrowych podzielnych
przez 6 jest 150, liczb trzycyfrowych podzielnych przez 15 jest 60 oraz, że dodając te liczby
policzyliśmy liczby podzielne przez 30 dwa razy. Stąd wynika, że liczb naturalnych
trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub przez 15 jest 180.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje .......................................................................................................... ..1 pkt
gdy stosuje poprawną metodę rozwiązania zadania i popełnia błędy w obliczeniu A6 lub A15 .
Zdający otrzymuje .. ........................................................................................................ ..2 pkt
gdy stosując poprawną metodę rozwiązania zadania obliczy A6 oraz A15 i na tym
poprzestanie lub błędnie obliczy A30 .
Zdający otrzymuje . .......................................................................................................... .3 pkt
gdy rozwiąże zadanie bezbłędnie.
Zadanie 10. (0-4)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych na płaszczyznie,
wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji
(IV.8.e, 4.k)
Rozwiązanie
Każdy punkt P należący do prostej y = 8x +10 ma współrzędne x, 8x +10 .
( )
2 2
Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej sumę AP + BP :
22 2 2
f x = 3 - x + 12 + 8x + 11- x + 6 + 8x , stąd f x =130x2 + 260x + 310 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Egzamin maturalny z matematyki 21
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Ponieważ parabola, będąca wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej f, ma ramiona
skierowane do góry, to współrzędna x szukanego punktu P jest równa xw tej paraboli.
-260
xw = = -1 .
2130
Szukany punkt P należy do prostej y = 8x +10 , więc P = -1,2 .
( )
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ....................................................................................................... ..1 pkt
Zapisanie za pomocą niewiadomej x współrzędnych punktu P: P = x, 8x +10 .
( )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .. ................................................................ ..2 pkt
Wyznaczenie wzoru funkcji f: f x =130x2 + 260x + 310 .
( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania . ................................................................. .3 pkt
Obliczenie x, dla którego funkcja f x =130x2 + 260x + 310 przyjmuje wartość najmniejszą:
( )
x =-1.
Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 4 pkt
2 2
Podanie współrzędnych punktu P, dla którego suma AP + BP przyjmuje najmniejszą
wartość: P = -1,2 .
( )
Zadanie 11. (5 pkt)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV.9.b)
Rozwiązanie
S
h
C
A
O
D
B
Obliczamy pole trójkąta ABC.
Oznaczmy wysokość trójkąta ABC opuszczoną na podstawę AB przez hAB . Wtedy z tw.
Pitagorasa:
2
2 1
ć
hAB = BC - AB = 392 -152 = 36 .

2
Ł ł
22 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
11
PABC = AB CD = 3036 = 540 .
22
Z równości wysokości ścian bocznych ostrosłupa wynika, że punkt O  spodek wysokości
tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny ABC.
PABC
Obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC ze wzoru r = , gdzie p jest
p
540
połową obwodu trójkąta ABC: r = , czyli r =10 .
54
Oznaczmy wysokość DS ściany bocznej ABS tego ostrosłupa przez h.
Następnie obliczamy wysokość H = OS ostrosłupa ABCS: H = h2 - r2 = 262 -102 = 24
1
oraz jego objętość V: V = 540 24 = 4320 .
3
Uwaga
Aby obliczyć pole trójkąta ABC, możemy także skorzystać ze wzoru Herona:
PABC = 54241515 = 63235 = 540 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ........................................................................................................ ..1 pkt
Obliczenie pola P trójkąta ABC: PABC = 540 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .. ................................................................. ..3 pkt
Obliczenie promienia r okręgu wpisanego w trójkąt ABC: r =10 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... .4 pkt
Obliczenie wysokości H ostrosłupa ABCS: H = 24 .
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
Obliczenie objętości V ostrosłupa: V = 4320 .
Zadanie 12. (0-3)
Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do
obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.10.c.d)
Rozwiązanie
ó ó
Zdarzenia A B , A B oraz A B są parami rozłączne i
ó ó
A B A B A B = A B .
( ) ( ) ( )
Stąd i z faktu, że P A B Ł1 wynika, że
( )
óó
1ł P A B = P A B + P A B + P A B czyli P A B Ł 0,7 , co kończy dowód.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Uwagi:
ó ó
1. Zdający nie musi zapisywać, że A B A B A B = A B .
( ) ( ) ( )
2. Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna.
Egzamin maturalny z matematyki 23
Kryteria oceniania odpowiedzi  poziom rozszerzony
Schemat oceniania rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 1 pkt
ó ó
Zdający zapisze, że P A B A B A B Ł1
( ) ( ) ( )
()
albo
ó ó
zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 2 pkt
ó ó
Zdający zapisze, że zdarzenia A B , A B , A B są parami rozłączne
albo
ó ó
zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B
óó
oraz zapisze, np.: P A B + P A B + P A B = P A B , skąd wynika, że
( ) ( ) ( ) ( )
ó ó
zdarzenia A B , A B , A B są parami rozłączne.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 3 pkt
Zdający przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga
Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są parami
rozłączne, to otrzymuje 2 punkty.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Czerwiec 2012 odp (2)
Nowa Matura Podstawa 2012 odp
Czerwiec 2012
opiekun medyczny2 kklucz odpowiedzi czerwiec 2012
OX2 czerwiec 2012

więcej podobnych podstron