Dodatek A.
Dwójkowo i szesnastkowo
Podstawy arytmetyki poznaliśmy w tak zamierzchłej przeszłości, że trudno sobie
wyobrazić co by było, gdybyśmy nie posiadali tej wiedzy. Gdy patrzymy na znaki
145, to natychmiast wiemy, że chodzi o liczbę "sto czterdzieści pięć".
Zrozumienie sposobu funkcjonowania systemu dwójkowego i szesnastkowego wymaga
innego spojrzenia na liczbę 145, a mianowicie postrzegania jej nie jako liczby,
ale jako jej kodu.
Na początku wyobraź sobie powiązanie pomiędzy liczbą trzy a "3". Cyfra "3" jest
znaczkiem na papierze; liczba trzy jest ideą. Cyfra służy do reprezentowania
liczby.
To rozróżnienie może być łatwiejsze do zrozumienia, jeśli uświadomimy sobie, że
zarówno trzy jak i 3, |||, III oraz *** reprezentują tę samą ideę liczby trzy.
W systemie dziesiętnym (czyli, jak mówią matematycy, o podstawie 10) do
reprezentowania wszystkich liczb używamy cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9.
Jak jest reprezentowana liczba 10?
Można sobie wyobrazić, że do reprezentowania liczby dziesięć używamy litery A,
lub że używamy zapisu IIIIIIIIII. Rzymianie używali znaku X. W systemie
arabskim, z którego obecnie korzystamy, do reprezentowania wartości
wykorzystujemy cyfry i ich pozycje. Pierwsza (położona najbardziej na prawo)
kolumna jest używana dla jedynek, a druga (w lewą stronę) jest używana dla
dziesiątek. Tak więc liczba piętnaście jest reprezentowana jako 15 (czytaj:
"jeden, pięć"), czyli jedna dziesiątka i pięć jedynek.
Pojawia się regularność, dzięki której można dokonać pewnej generalizacji:

System o podstawie 10 używa cyfr od 0 do 9.
Kolumny są potęgami dziesięciu: 1, 10, 100, itd.
Jeśli trzecia kolumna reprezentuje setki, to największą liczbą, jaką można
zapisać w dwóch kolumnach, jest 99. Innymi słowy, w n kolumnach możemy
reprezentować liczby od 0 do (10n
1). Tak więc, w trzech kolumnach możemy
reprezentować liczby od 0 do (103
1), czyli od 0 do 999.

Inne podstawy
To, że korzystamy z podstawy 10, nie jest przypadkiem: w końcu mamy po dziesięć
palców. Można sobie jednak wyobrazić inną podstawę. Używając reguł określonych
dla podstawy 10, możemy opisać podstawę 8:

System o podstawie 8 używa cyfr od 0 do 7.
Kolumny są potęgami ośmiu: 1, 8, 64, itd.
W n kolumnach możemy zapisywać liczby od 0 do 8n
1.

W celu rozróżniania liczb o różnych podstawach, podstawy zapisujemy jako indeks
dolny tuż za ostatnią cyfrą liczby. Liczba piętnaście przy podstawie 10 jest
zapisywana jako 1510 i odczytywana jako "jeden, pięć, dziesiętnie".
Tak więc, reprezentując liczbę 1510 w systemie o podstawie 8, napisalibyśmy
178. Należy ją odczytywać jako "jeden, siedem, ósemkowo". Zwróć uwagę, że można
to odczytywać jako "piętnaście", gdyż tę wartość reprezentuje.
Dlaczego 17? Jedynka oznacza jedną ósemkę, a siódemka oznacza siedem jedynek.
Jedna ósemka plus siedem jedynek daje piętnaście. Weźmy piętnaście gwiazdek:

***** *****
*****

Naturalnym działaniem będzie utworzenie dwóch grup: grupy dziesięciu gwiazdek i
grupy pięciu gwiazdek. Dziesiętnie byłyby one reprezentowane jako 15 (jedna
dziesiątka i pięć jedynek). Można także pogrupować gwiazdki następująco:

**** *******
****

to jest, jako osiem gwiazdek i siedem. W systemie ósemkowym zapisalibyśmy to
jako 178, czyli jako jedną ósemkę i siedem jedynek.

Wokół podstaw
Liczbę piętnaście możemy w systemie dziesiętnym zapisywać jako 15, w systemie
dziewiątkowym jako 169, w systemie ósemkowym jako 178, a czy w systemie
siódemkowym jako 217. Dlaczego 217? W systemie siódemkowym nie ma cyfry 8. Aby
wyrazić liczbę piętnaście, potrzebujemy dwóch siódemek i jednej jedynki.
Jak można to uogólnić? Aby zamienić liczbę o podstawie 10 na liczbę o podstawie
7, pomyśl o kolumnach: w systemie siódemkowym występują kolumny dla jedynek,
siódemek, czterdziestek dziewiątek, trzysta czterdziestek trójek i tak dalej.
Dlaczego takie kolumny? Ponieważ reprezentują 70, 71, 72, 74 i tak dalej.
Pamiętajmy, że dowolna liczba podniesiona do zerowej potęgi (na przykład 70)
równa się 1, każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi (na przykład 71)
równa się samej sobie, każda liczba podniesiona do drugiej potęgi równa się
wynikowi przemnożenia jej przez siebie (72 = 7*7 = 49), a każda liczba
podniesiona do trzeciej potęgi odpowiada dwutrzykrotnemu przemnożeniu jej przez
siebie (73 = 7*7*7 = 343).
Wykonaj tabelę:
Kolumna
4
3
2
1
Potęga
73
72
71
70
Wartość
343
49
7
1

Pierwszy wiersz reprezentuje numer kolumny. Drugi wiersz reprezentuje potęgę
siódemki. Trzeci wiersz reprezentuje wartość dziesiętną każdej liczby w drugim
wierszu.
Aby zamienić wartości dziesiętne na liczby siódemkowe, postępuj zgodnie z
poniższą procedurą: sprawdź liczbę i zdecyduj, której kolumny użyć jako
pierwszej. Jeśli liczbą jest na przykład 200, wiemy, że kolumna 4 (343) będzie
zawierała 0 i nie musimy się nią martwić.
Aby dowiedzieć się, ile 49-ek jest w liczbie 200, podzielimy 200 przez 49.
Otrzymujemy 4, więc w kolumnie trzeciej umieszczamy cyfrę 4 i sprawdzamy resztę
z dzielenia: 4. W liczbie 4 nie ma żadnej siódemki, więc w kolumnie siódemek
umieszczamy cyfrę 0. W liczbie cztery są cztery jedynki, więc w kolumnie
jedynek umieszczamy cyfrę 4. Odpowiedzią jest 4047.

Kolumna
4
3
2
1
Potęga
73
72
71
70
Wartość
343
49
7
1
200 siódemkowo
0
4
0
4
Wartość dziesiętna
0
4*49 = 196
0
4*1 = 4

W tym przykładzie cyfra 4 w trzeciej kolumnie reprezentuje wartość dziesiętną
196, a cyfra 4 w pierwszej kolumnie reprezentuje wartość 4. 196+4 = 200. Tak
więc 4047 = 20010.
Przejdźmy następnego przykładu.
Aby zamienić liczbę 968 na liczbę szóstkową:

Kolumna
5
4
3
2
1
Potęga
64
63
62
61
60
Wartość
1296
216
36
6
1

Sprawdź, czy wiesz, dlaczego kolumny reprezentują takie wartości. Pamiętaj, że
63 = 6*6*6 = 216.
Aby wyznaczyć reprezentację liczby 986 w systemie szóstkowym, zaczniemy od
kolumny 5. Ile 1296-tek mieści się w 986? Żadna, więc w kolumnie 5. zapisujemy
0. Jeśli Ppodzielimyenie 968 przez 216, dajeto otrzymamy 4 z resztą 104. W
kolumnie 4. znajdzie się cyfra 4. To jest, ta kolumna będzie reprezentować
4*216 (864).
Musimy teraz wyrazić pozostałą wartość (968-864 = 104). Podzielenie 104 przez
36 daje 2 z resztą 32. Kolumna trzy będzie zawierać cyfrę 2. Podzielenie 32
przez 6 daje 5 z resztą 2. Tak więc otrzymujemy liczbę 42526.

Kolumna
5
4
3
2
1
Potęga
64
63
62
61
60
Wartość
1296
216
36
6
1
986 szóstkowo
0
4
2
5
2
Wartość dziesiętna
0
4*216=864
2*36=72
5*6=30
2*1=2

864+72+30+2 = 968

Dwójkowo
Ostatecznym etapem tego systemu jest system o podstawie 2. Są w nim tylko dwie
cyfry: 0 i 1. Kolumny to

Kolumna
8
7
6
5
4
3
2
1
Potęga
27
26
25
24
23
22
21
20
Wartość
128
64
32
16
8
4
2
1

Aby zamienić liczbę 88 na liczbę dwójkową, postępujemy zgodnie z tą samą
procedurą: w 88 nie ma 128-ek, więc w kolumnie ósmej wpisujemy cyfrę 0.
W 88 jest jedna sześćdziesiątka czwórka, więc do kolumny 7 wpisujemy cyfrę 1.
Zostaje nam reszta wynosząca 24. W 24 nie ma trzydziestek dwójek, więc kolumna
6 zawiera cyfrę 0.
W 24 mieści się jedna szesnastka, więc kolumna pięć zawiera cyfrę 1. Pozostaje
nam reszta 8. W 8 jest jedna ósemka, więc kolumna 4. będzie zawierać cyfrę 1.
Nie ma już żadnej reszty, więc pozostałe kolumny będą zawierać zera.

Kolumna
8
7
6
5
4
3
2
1
Potęga
27
26
25
24
23
22
21
20
Wartość
128
64
32
16
8
4
2
1
88 dwójkowo
0
1
0
1
1
0
0
0
Wartość
0
64
0
16
8
0
0
0

Aby sprawdzić wynik, zamieńmy to z powrotem na liczbę o podstawie dziesięć:
1 * 64 = 64
0 * 32 = 0
1 * 16 = 16
1 * 8 = 8
0 * 4 = 0
0 * 2 = 0
0 * 1 = 0
88

Dlaczego podstawa 2?
Podstawa 2 pełni ważną rolę w programowaniu, gdyż dokładnie odpowiada temu, co
może być w komputerze reprezentowane. Komputery w rzeczywistości nie wiedzą nic
o literach, cyfrach, instrukcjach czy programach. W swoim rdzeniu są jedynie
układami elektronicznymi, w których w danym punkcie może występować większe
albo bardzo małe napięcie.
Aby zachować prostotę konstrukcji, inżynierowie nie traktują napięcia jako
skali relatywnej (niskie napięcie, wyższe napięcie, bardzo wysokie napięcie czy
ogromne napięcie), ale raczej jako skalę o dwóch stanach ("napięcie
wystarczające" lub "napięcie niewystarczające"). Zamiast jednak mówić
"wystarczające" lub "niewystarczające", mówią po prostu "tak" lub "nie". Tak
lub nie, czyli prawda lub fałsz, może być reprezentowane jako 1 lub 0. Zgodnie
z konwencją, 1 oznacza prawdę lub Tak, ale to tylko konwencja; równie dobrze
mogłoby oznaczać fałsz lub Nie.
Gdy zauważysz tę regułę, potęga systemu dwójkowego objawi się w całej
okazałości: za pomocą zer i jedynek można oddać stan każdego układu (jest
napięcie lub go nie ma). Wszystkie komputery znają tylko dwa stany: włączony =
1 oraz wyłączony = 0.

Bity, bajty, nible
Gdy podjęto decyzjęm by reprezentować prawdę i fałsz jedynkami i zerami, bardzo
ważne stało się pojęcie bitu (od binary digit, cyfra binarna [1 A także od
"kawałka" informacji, gdyż bit to po angielsku także "kawałek." przyp.
tłum.]). Ponieważ pierwsze komputery mogły przesłać jednocześnie osiem bitów,
więc naturalnie pierwszy kod zapisywano, używając liczb 8-bitowych nazywanych
bajtami (ang. byte).

UWAGA W gwarze programistycznej połówka bajtu (4 bity) jest nazywana niblem
(ang. nybble).

Za pomocą ośmiu bitów można reprezentować do 256 różnych wartości. Dlaczego?
Sprawdź kolumny: gdy wszystkie osiem bitów jest ustawionych (1), wartością jest
255 (128+64+32+16+8+4+2+1). Jeśli nie jest ustawiony żaden (wszystkie bity są
wyzerowane, czyli mają wartość 0), wtedy wartością jest 0. Od 0 do 255 to 256
możliwych stanów.

Co to jest KB?
Okazuje się, że 210 (1024) to w przybliżeniu 103 (1 000). Ten związek był zbyt
dobry, aby go nie zauważyć, więc komputerowi specjaliści zaczęli nazywać 210
bajtów kilobajtem, czyli KB, zapożyczając przedrostek kilo (k) oznaczający
tysiąc. Dla wskazania, że chodzi o wartość 1024, a nie 1000, "komputerowe kilo"
oznacza się dużą literą K.
Również 1024*1024 (1 048 576) jest na tyle bliskie miliona, że otrzymało
oznaczenie 1 MB, czyli megabajt, zaś 1 024 megabajtów jest nazywanych
gigabajtem (giga to przedrostek oznaczający tysiąc milionów, czyli miliard).

Liczby dwójkowe
Komputery kodują każdą wartość za pomocą zer i jedynek. Instrukcje maszynowe są
zakodowane jako serie jedynek i zer, następnie są interpretowane przez układy
procesora. Zestawy zer i jedynek mogą być zamienione na liczby, ale traktowanie
tych liczb jako posiadających wewnętrznejakieś specyficzne znaczenie byłoby
błędem.
Na przykład, procesor Intel 8086 interpretuje wzorzec bitów 1001 0101 jako
instrukcję. Oczywiście, możemy zamienić te bity na liczbę dziesiętną 149, ale
ta wartość sama w sobie nie ma dla nas żadnego znaczenia.
Czasem liczby są instrukcjami, czasem wartościami, a czasem kodami. Jednym z
ważnych, standardowych zestawów kodów jest zestaw ASCII. W zestawie tym każda
litera, cyfra i znak przestankowy ma przydzieloną siedmiobitową reprezentację.
Na przykład, mała litera "a" jest reprezentowana jako 0110 0001. Nie jest to
liczba, choć można ją zamienić na liczbę 97 w systemie dziesiętnym (64+32+1).
Właśnie w tym sensie mówi się, że litera "a" to 97 w ASCII, choć w
rzeczywistości kodem litery "a" jest dwójkowa reprezentacja wartości 97 (0110
0001), a wartość dziesiętna 97 stanowi tylko ułatwienie dla ludzi.

Szesnastkowo
Ponieważ liczby dwójkowe są trudne do odczytania, stworzono prostszy sposób ich
reprezentowania. Przejście z systemu dwójkowego na dziesiętny wymaga sporo
przeprowadzenia skomplikowanych operacji na liczbach, ale okazuje się, że
przejście z podstawy 2 do podstawy 16 jest proste, gdyż istnieje bardzo dobry
skrót.
Aby zrozumieć ten proces, musisz najpierw zrozumieć system o podstawie 16,
zwany systemem szesnastkowym lub heksadecymalnym. Przy podstawie 16 mamy do
dyspozycji szesnaście cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E oraz F.
Ostatnie sześć znaków, litery od A do F, zostały wybrane, ponieważ łatwo można
je wpisać z klawiatury (i wyświetlić na wyświetlaczu siedmiosegmentowym).
Kolumny w systemie szesnastkowym to:

Kolumna
4
3
2
1
Potęga
163
162
161
160
Wartość
4096
256
16
1

Aby zamienić liczbę z systemu szesnastkowego na dziesiętny, możemy mnożyć. Tak
więc liczba F8C reprezentuje:

F * 256 = 15 * 256 = 3840
8 * 16 = 128
C * 1 = 12 * 1 = 12
3980

(Pamiętaj, że F16 to 1510)

Najlepiej przeprowadzić zamianę liczby FC na dwójkową, zamieniając ją najpierw
na liczbę dziesiętną, a następnie na dwójkową:

F * 16 = 15 * 16 = 240
C * 1 = 12 * 1 = 12
252

Zamiana 252 na liczbę dwójkową wymaga użycia tablicy:

Kolumna
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Potęga
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Wartość
256
128
64
32
16
8
4
2
1

Nie ma 256-ek.
1*128 = 128. 252
128 = 124
1*64 = 64. 124
64 = 60
1*32 = 32. 60
32 = 28
1*16 = 16. 28
16=12
1*8 = 8. 12
8 = 4
1*4 = 4. 4
4 = 0
0*2 = 0
0*1 = 0
124+60+28+12+4 = 252.
Tak więc FC16 w systemie dwójkowym to 1111 1100.
Okazuje się, że gdy potraktujemy tę liczbę dwójkową jako dwa zestawy czterech
cyfr (1111 1100), możemy dokonać "magicznego" przekształcenia.
Prawy zestaw to 1100. Dziesiętnie to 12, a szesnastkowo C. (1*8 + 1*4 + 0*2 +
0*1).
Lewy zestaw to 1111, czyli dziesiętnie 15, a szesnastkowo F.
Tak więc mamy:

1111 1100
F C

Umieśćmy dwie cyfry szesnastkowe razem i otrzymamy FC, które jest wartością
szesnastkową binarnej liczby 1111 1100. Ten skrót działa! Możemy wziąć liczbę
binarną o dowolnej długości, podzielić ją na zestawy po cztery bity, zamienić
każdy z zestawów na cyfrę szesnastkową i połączyć otrzymane cyfry tak, aby
otrzymać wynik w systemie szesnastkowym. Oto dużo większa liczba:

1011 0001 1101 0111

Aby sprawdzić, czy nasze założenia są właściwe, najpierw zamieńmy tę liczbę na
dziesiętną.
Wartości kolumn możemy obliczyć poprzez ich podwajanie. Kolumna położona
najbardziej na prawo ma wartość 1, następna 2, następne 4, 8, 16 i tak dalej.
Zaczniemy od kolumny położonej najbardziej na prawo, która, licząc dziesiętnie,
ma wagę 1. Mamy jedynkę, więc ta kolumna jest warta 1. Następna kolumna ma wagę
2. W tej kolumnie także mamy jedynkę, więc dodajemy 2 i otrzymujemy sumę
wynoszącą 3.
Następna kolumna ma wagę 4 (podwajamy wagę poprzedniej kolumny). W związku z
tym otrzymujemy 4+2+1=7.
Kontynuujemy tę procedurę dla kolejnych kolumn:

1x1 1
1x2 2
1x4 4
0x8 0
1x16 16
0x32 0
1x64 64
1x128 128
1x256 256
0x512 0
0x1024 0
0x2048 0
1x4096 4 096
1x8192 8 192
0x16384 0
1x32768 32 768
Razem 45 527

Zamiana na liczbę szesnastkową wymaga zastosowania tablicy z wartościami
szesnastkowymi.

Kolumna
4
3
2
1
Potęga
163
162
161
160
Wartość
4096
256
16
1

Mamy jedenaście 4096-ek (45 056) z resztą 471. W 471 jest jedna 256-ka z resztą
215. W 215 jest trzynaście 16-ek (208) z resztą 7. Tak więc szukana liczba
szesnastkowa to B1D7.
Sprawdzamy obliczenia:

B (11) * 4096 = 45 056
1 * 256 = 256
D (13) * 16 = 208
7 * 1 = 7
Razem 45 527

Skrócone rozwiązanie polega na podzieleniu pierwotnej liczby dwójkowej
1011000111010111 na grupy po cztery bity: 1011 0001 1101 0111. Każdą z grup
można wtedy przedstawić jako cyfrę szesnastkową:

1011 =
1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
0 x 4 = 0
1 x 8 = 8
Razem 11
Hex: B

0001 =
1 x 1 = 1
0 x 2 = 0
0 x 4 = 0
0 x 8 = 0
Razem 1
Hex: 1

1101 =
1 x 1 = 1
1 x 2 = 0
1 x 4 = 4
1 x 8 = 8
Razem 13
Hex: D

0111 =
1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 4 = 4
0 x 8 = 0
Razem 7
Hex: 7

Razem Hex: B1D7

Voila! Skrócona procedura zamiany, liczby dwójkowej na szesnastkową, dała nam
ten sam wynik, co wersja dłuższa.
Przekonasz się, że programiści bardzo często korzystają z liczb szesnastkowych;
ale okaże się także, że przez długibardzo długo można się obejść bez nich
obejść!