PRZYKAD
WYPR
O
W
ADZENIA
SF
ORMUO
W
ANIA
W
ARIA
CYJNEGO
Sform
uªo
w
anie
lok
alne:
Znale¹¢
u
(x) ∈ C
2
,
takie
»e
d
2
u
dx
2
+ u = g
∀x ∈ (a, b)
du
dx
(a) = c
u
(b) = d
W
elu
wypro
w
adzenia
sform
uªo
w
ania
sªab
ego
mno»ym
y
obie
stron
y
ró
w-
nania
ró»ni zk
o
w
ego
przez
funk
j
testo
w
¡
v
i
aªkujem
y
b
Z
a
(u
′′
+ u)v dx =
b
Z
a
gv
dx
Caªkujem
y
przez
z± i
−
b
Z
a
u
′
v
′
dx + u
′
v
|
b
a
+
b
Z
a
uv
dx =
b
Z
a
gv
dx
−
b
Z
a
u
′
v
′
dx + u
′
(b)v(b) − u
′
(a)v(a) +
b
Z
a
uv
dx =
b
Z
a
gv
dx
P
o
u
wzgldnieniu
w
arunku
brzego
w
ego
Neumanna
u
′
(a) = c
i
przyj iu
v
(b) = 0
otrzym
ujem
y
−
b
Z
a
u
′
v
′
dx +
b
Z
a
uv
dx =
b
Z
a
gv
dx + cv(a)
Sform
uªo
w
anie
sªab
e:
Znale¹¢
u
(x)
,
takie
»e
u
(b) = d
i
−
b
Z
a
u
′
v
′
dx +
b
Z
a
uv
dx =
b
Z
a
gv
dx + cv(a)
∀ v, v(b) = 0
W
sp
óª zynniki
ma ierzy
i
w
ektora
elemen
tu
obli zam
y
ze
wzoró
w:
K
el
ij
= −
Z
el
ψ
′
i
ψ
′
j
dx +
Z
el
ψ
i
ψ
j
dx,
f
el
i
=
Z
el
gψ
i
dx + cψ
i
(a)
PRZYKAD
ZASTOSO
W
ANIA
MES
DO
KRA
TO
WNICY
PSfrag
repla emen
ts
3m
4m
x
y
10kN
20kN/m
1
2
3
1
2
PSfrag
repla emen
ts
3m
4m
x
y
10kN
20kN/m
1
2
3
1
2
u
1
u
2
u
5
u
6
u
3
u
4
EA
=
100MN
Dyskret
yza ja
n
umer
elemen
tu
n
umery
w
zªó
w
st.
sw
ob
o
dy
dªugo±¢
L
α
s=sin
α
= os
α
1
1,
2
>0
4/5
2
2,
3
-90
o
Ma ierz
szt
ywno± i
i
w
ektor
ob
i¡»enia
(dla
q= onst!)
elemen
tu:
K
e
=
EA
L
c
2
cs
−c
2
−cs
cs
s
2
−cs −s
2
−c
2
−cs
c
2
cs
−cs −s
2
cs
s
2
P
e
=
qL
2
c
s
c
s
Elemen
t
1:
K
1
= 100
72
96 −72
−96
96
128 −96 −128
−72
−96
72
96
−96 −128
96
128
P
1
=
0
0
0
0
Elemen
t
2:
K
2
= 100
0
0 0
0
0
250 0 −250
0
0 0
0
0 −250 0
250
P
2
=
0
−40
0
−40
Globalna
ma ierz
szt
ywno± i
i
w
ektor
ob
i¡»enia:
K
= 100
72
96 −72
−96 0
0
96
128 −96 −128 0
0
−72
−96
72
96 0
0
−96 −128
96
378 0 −250
0
0
0
0 0
0
0
0
0 −250 0
250
P
=
0
0
0
−40
0
−40
Uwzgldnienie
w
arunk
ó
w
kinemat
y zn
y
h
i
rozwi¡zanie
ukªadu
ró
wna«
Ku
= P + W
100
72
96 −72
−96 0
0
96
128 −96 −128 0
0
−72
−96
72
96 0
0
−96 −128
96
378 0 −250
0
0
0
0 0
0
0
0
0 −250 0
250
u
1
= 0
u
2
= 0
u
3
u
4
u
5
= 0
u
6
= 0
=
0
0
0
−40
0
−40
+
0
0
10
0
0
0
st¡d
obli za
si
w
ektor
stopni
sw
ob
o
dy:
u
=
0 0 0.00423 −0.00213 0 0
T
[m]
Deforma ja:
Obli zenie
siª
w
zªo
wy
h
(w
t
ym
reak
ji
):
W
= Ku − P
100
72
96 −72
−96 0
0
96
128 −96 −128 0
0
−72
−96
72
96 0
0
−96 −128
96
378 0 −250
0
0
0
0 0
0
0
0
0 −250 0
250
∗
−
0
0
0
−40
0
−40
=
−10
−13.333
10
0
0
93.333
T
u
nale»y
naryso
w
a¢
reak
je
oraz
spra
wdzi¢
zy
rozwi¡zanie
sp
eªnia
ró
wna-
nia
ró
wno
w
agi
oraz
zy
przemiesz zenia
s¡
senso
wne.
Siªy
na
k
o« a
h
elemen
tó
w
(przyw
zªo
w
e):
K
el
u
el
− P
el
= Q
el
Elemen
t
1:
100
72
96 −72
−96
96
128 −96 −128
−72
−96
72
96
−96 −128
96
128
∗
−
∗
=
−10
−13.333
10
13.333
Elemen
t
2:
100
0
0 0
0
0
250 0 −250
0
0 0
0
0 −250 0
250
∗
−
∗
=
0
−13.333
0
93.333
PSfrag
repla emen
ts
10
13.333
0
93.333
10
13.333
0
13.333
20
Na
tej
p
o
dsta
wie
siªy
w
prta
h:
N
1
= 16.667 kN
N
2
= −13.333 − 20 L ξ
2
[kN ]
Na
zak
o« zenie
nale»y
spra
wdzi¢
ró
wno
w
ag
w
w
zªa
h.
PRZYKAD
ZASTOSO
W
ANIA
MES
DLA
BELKI
PSfrag
repla emen
ts
1m
2m
x
y
20MNm
12MN/m
1
2
3
1 m
2
PSfrag
repla emen
ts
1m
2m
x
y
20MNm
12MN/m
1
1
2
2
3
1 m
2
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
EI
=
100MN
Dyskret
yza ja
Ma ierz
szt
ywno± i
i
w
ektor
ob
i¡»enia
(dla
q= onst!)
elemen
tu:
K
e
=
2EI
L
3
6
3L
−6
3L
3L
2L
2
−3L
L
2
−6 −3L
6 −3L
3L
L
2
−3L
2L
2
P
e
=
qL
2
qL
2
12
qL
2
−
qL
2
12
Elemen
t
1:
K
1
= 100
48
24 −48
24
24
16 −24
−8
−48 −24
48 −24
24
8 −24
16
P
1
=
0
0
0
0
Elemen
t
2:
K
2
= 100
6
6 −6
6
6
8 −6
4
−6 −6
6 −6
6
4 −6
8
P
2
=
12
4
12
−4
Globalna
ma ierz
szt
ywno± i
i
w
ektor
ob
i¡»e«
przsªo
wy
h:
K
= 100
48
24 −48
24
0
0
24
16 −24
−8
0
0
−48 −24
54 −18 −6
6
24
8 −18
24 −6
4
0
0
−6
−6
6 −6
0
0
6
4 −6
8
P
=
0
0
12
4
12
−4
Uwzgldnienie
w
arunk
ó
w
kinemat
y zn
y
h
i
rozwi¡zanie
ukªadu
ró
wna«
Ku
= P + W
100
48
24 −48
24
0
0
24
16 −24
−8
0
0
−48 −24
54 −18 −6
6
24
8 −18
24 −6
4
0
0
−6
−6
6 −6
0
0
6
4 −6
8
u
1
u
2
= 0
u
3
= 0
u
4
u
5
= −0.01
u
6
=
0
0
12
4
12
−4
+
0
0
0
20
0
0
Z
dw
ó
h
ró
wna«,
które
zostaªy
p
o
u
wzgldnieniu
w
arunk
ó
w
kinemat
y-
zn
y
h,
obli za
si
w
ektor
stopni
sw
ob
o
dy:
u
=
−0.0115
0
0
0.0230
−0.0100
−0.0240
T
[m,
−
]
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−10
−5
0
5
x 10
−3
Obli zenie
siª
w
zªo
wy
h
(w
t
ym
reak
ji
):
W
= Ku − P
100
48
24 −48
24
0
0
24
16 −24
−8
0
0
−48 −24
54 −18 −6
6
24
8 −18
24 −6
4
0
0
−6
−6
6 −6
0
0
6
4 −6
8
∗
−
0
0
12
4
12
−4
=
0
−9.20
−6.60
20.0
−17.4
0
T
u
nale»y
naryso
w
a¢
reak
je
i
spra
wdzi¢
zy
rozwi¡zanie
sp
eªnia
ró
wnania
ró
wno
w
agi
oraz
zy
przemiesz zenia
s¡
senso
wne.
Siªy
na
k
o« a
h
elemen
tó
w
(przyw
zªo
w
e):
K
el
u
el
− P
el
= Q
el
Elemen
t
1:
100
48
24 −48
24
24
16 −24
−8
−48 −24
48 −24
24
8 −24
16
∗
−
∗
=
0
−9.20
0
9.20
Elemen
t
2:
100
6
6 −6
6
6
8 −6
4
−6 −6
6 −6
6
4 −6
8
∗
−
∗
=
−6.60
−10.8
−17.4
0
Na
tej
p
o
dsta
wie
wykresy
momen
tu
zgina
j¡ ego
i
siªy
p
oprze znej
PSfrag
repla emen
ts
10.8
−9.2
6.6
−17.4
+
+
−
−
M
[M N m]
Q
[M N ]
20
Na
zak
o« zenie
nale»y
spra
wdzi¢
ró
wno
w
ag
w
w
zªa
h.
Przykład rozwiązania kratownicy płaskiej
za pomocą metody elementów skończonych
P = 10 kN
1 m
1 m
1 m
1
2
3
4
5
1
2
3
4
X
Y
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
Q
7
Q
8
Q
LW = 4 LE = 5
LSSW = 2
LSSE = 4
LSSU = 8
2EA
2EA
EA
EA
EA
LW - liczba węzłów
LE - liczba elementów
LSSW - liczba stopni swobody węzła
LSSE - liczba stopni swobody elementu
LSSU - liczba stopni swobody układu
Dane do zadania
-
moduł Younga
5
10
E
k
=
Pa
-
pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta
2
0.01
A
m
=
- element 1
1
1
2 ,
,
,
0
2
2
L
c
s
=
=
=
p
=
=
=
-
element 2
1 ,
1 ,
0 ,
0
L
c
s
p
=
=
=
-
element 3
1 ,
0 ,
1 ,
0
L
c
s
p
=
=
= −
-
element 4
1
1
2 ,
,
,
0
2
2
L
c
s
=
=
=
p
=
=
-
element 5
1 ,
1 ,
0 ,
0
L
c
s
p
=
=
=
Schemat agregacji globalnej macierzy sztywności
6
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
Q
7
Q
8
Q
5
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
Q
7
Q
8
Q
(1)
K
(2)
K
(3)
K
(4)
K
(5)
K
Globalna macierz sztywności - całego układu dyskretnego
2
2
2
2
1
1
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
0
1
0
1
2
2
2
2
2
2
2
0
0
1
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
1
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
1
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
EA
⎡
⎤
+
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
0
2
2
−
−
Generacja globalnego wektora prawej strony - z uwzględnieniem obciążenia skupionego P na
kierunku 8-mego stopnia swobody.
T
F
]
10
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
[
−
=
Rozwiązanie układ równań po uwzględnieniu warunków kinematycznych - przemieszczenia
węzłów
)
/(
]
28
.
58
,
14
.
34
,
10
,
14
.
24
,
0
,
10
,
0
,
0
[
AE
T
−
−
−
Obliczenie sił węzłowych
T
P
Ku
W
]
10
,
0
,
0
,
0
,
20
,
0
,
10
,
0
[
−
−
=
−
=
Obliczenie sił w prętach
-
element 1
rozciąganie 14.14 kN
-
element 2
ściskanie 10 kN
-
element 3
ściskanie 10 kN
-
element 4
ściskanie 14.14 kN
-
element 5
rozciąganie 10 kN
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
F Zadania do kol 1 id 167111 Nieznany
F Zadania do kol 1 id 167111 Nieznany
CAD ZADANIA 1 2009 id 107691 Nieznany
bazy danych kol 2 id 81577 Nieznany (2)
kpp arkusz 12 kol id 249459 Nieznany
Chemia zadania 13 id 113043 Nieznany
Chemia zadania 12 id 113042 Nieznany
alfabet 5 kol id 56849 Nieznany (2)
farma kol 1 id 168085 Nieznany
BL ZadaniaFizyka Walocha id 898 Nieznany (2)
Laboratorium zadania cz 1 id 26 Nieznany
Chemia zadania 10 id 113041 Nieznany
Kolokwia Zadania MK id 735751 Nieznany
alfabet 4 kol id 56847 Nieznany (2)
CAD ZADANIA 1 2010 id 107692 Nieznany
LP mgr W02 Zadania LP id 273379 Nieznany
alfabet 3 kol id 56845 Nieznany (2)
Chemia zadania 11 id 113040 Nieznany
więcej podobnych podstron