Zestaw 3.

Liczby zespolone (cz. II)

1. Poni˙zsze liczby i wyra˙zenia przedstawi´c w postaci trygonometrycznej:

(a)

√

3 − i,

(b) 1 + i tg ϕ, dla ϕ ∈

−

π

2

,

π

2



,

(c) sin ϕ − i cos ϕ, dla ϕ ∈

−

π

2

,

π

2



,

(d)

1+i tg ϕ
1−i tg ϕ

,

dla ϕ ∈



0,

π

2



,

(e) −6 + 6i,

(f)

1

i

·

1

1+i

,

2. Poni˙zsze wyra˙zenia sprowadzi´c do postaci algebraicznej (dwumiennej):

(a) (1 + i)

7

,

(b)



1−i

√

3+i



6

,

(c)

− cos

π

7

+ i sin

π

7



14

,

(d)

1 + cos

π

3

+ i sin

π

3



6

,

(e) (1 + i)

7

− (2 − 2i)

4

,

(f)

(1−i)

5

−1

(1+i)

5

+1

.

3. Znale´z´c funkci ˛e ω : R → R spełniaj ˛ac ˛a poni˙zsze równanie:

(a) cos 3x = ω(cos x),

(b) sin 5x = ω(sin x),

(c) ctg 4x = ω(ctg x).

4. Dla n ∈ N oraz x ∈ R obliczy´c:

(a) 1 + cos x + . . . + cos nx,

(b) sin 2x + cos 3x + sin 4x + cos 5x + . . . + sin 2nx + cos (2n + 1) x.

5. Naszkicowa´c na płaszczy´znie zespolonej poni˙zsze zbiory:

(a) {z ∈ C : |z − a| = b}, dla a ∈ C, b ∈ R,

(b) {z ∈ C : 2 < |z|
4},

(c) {z ∈ C : |z − a| = |z − b|}, dla a, b ∈ C,

(d) {z ∈ C : |z − a| + |z − b| = c}, dla a, b ∈ C, c ∈ R,

(e) {z ∈ C : Re (iz + 2)  0},

(f) {z ∈ C : Re z

2

= 2 ∧ Im (z + 1)

2

= 1},

(g) {z ∈ C : |z + 1|  2 ∧ Im (z + 1)
1},

(h) {z ∈ C : |z − 2| < 1 ∨ Re (z − 1) < −1},

(i)



z

∈ C : arg (z + iz) =

3π

2



,

(j)



z

∈ C :

π

4

arg

i

z

<

π

2



,

1

(k)



z

∈ C : arg

z

4



= π



,

(l)



z

∈ C : arg

z

3



<

π

2



.

6. Obliczy´c i zaznaczy´c na płaszczy˙znie zespolonej podane pierwiastki algebraiczne:

(a)

3

√

−8i,

(b)

6

√

−27,

(c)

4



−

1
2

+

√

3

2

i,

(d)

√

−7 + 24i,

(e)

3

√

z

, gdzie

1 + i

√

3



3

√

3 − i



6

z

= (1 + i)

12

.

7. Odgaduj ˛

ac jeden z pierwiastków obliczy´c pozostałe:

(a)

3

√

−27i,

(b)

4



(2 − 2i)

12

.

8. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ˛

aza´c równanie:

(a) (z − 1)

4

=

1
2

+ i

√

3

2

,

(b) (2z − 2)

4

=

3
5

− i

4
5



8

,

(c) z

4

− 2z

2

+ 5 = 0,

(d) (z + 2)

n

− (z − 2)

n

= 0, n ∈ N.

9. Ile wynosi suma wszystkich pierwiastków algebraicznych stopnia n z 1 ?

10. Jednym z wierzchołków sze´sciok ˛

ata foremnego jest w

0

=

√

3 + i. Wyznaczy´c

pozostałe wierzchołki tego wielok ˛

ata, wiedz ˛

ac ˙ze jego ´srodek le˙zy w:

(a) pocz ˛

atku układu współrz ˛ednych,

(b) punkcie s

0

= 2

√

3 + i.

11. Znale´z´c funkci ˛e ϑ : C → C spełniaj ˛ac ˛a poni˙zsze równanie:

(a) cos x = ϑ(e

ix

),

(b) sin x = ϑ(e

ix

),

(c) tg x = ϑ(e

ix

).

12. Rozwi ˛

aza´c równanie:

(a) (z)

6

= 4

z

2

,

(b)

z

6

|z|

4

= z.

13. Znale´z´c zale˙zno´s´c, która ł ˛aczy pi ˛e´c najwa˙zniejszych stałych matematycznych: π,

e—podstawa logarytmu naturalnego, i—jednostka urojona, 1—element neutralny
mno˙zenia, 0—element neutralny dodawania

1

.

1

Przez wielu matematyków rozwi ˛

azanie tego zadania jest uznawane za najładniejszy wzór mate-

matyczny.

2

Odpowiedzi

Zadanie 1:

a) 2

cos

−

π

6



+ i sin

−

π

6



;

b)

1

cos α

(cos α + i sin α) ;

c) cos

−

π

2

+ α



+ i sin

−

π

2

+ α



;

d) cos 2α + i sin 2α;

e) 6

√

2

cos

3π

4

+ i sin

3π

4



;

f)

√

2

2

cos

−

3π

4



+ i sin

−

3π

4



;

Zadanie 2:

a) 8 − 8i; b) −

i

8

; c) 1; d) −27; e) 72 − 8i; f)

5
3

;

Zadanie 3:

a)  (t) = 4t

3

− 3t; b)  (t) = 16t

5

− 20t

3

+ 5t; c)  (t) =

t

4

−6t

2

+1

4t(t

2

−1)

;

Zadanie 4:

a)

sin

(n+1)x

2

sin

x

2

cos

nx

2

,

dla x = 2kπ; n + 1, dla x = 2kπ, k ∈ Z;

b)

sin nx

sin x

(sin x (n + 1) + cos x (n + 2)), dla x = kπ, −1, dla x = kπ, k ∈ Z;

Zadanie 6:

a)

√

3 − i, −

√

3 − i, 2i; b) ±i

√

3,

3
2

± i

√

3

2

,

−

3
2

± i

√

3

2

;c)

√

3

2

+ i

1
2

,

−

√

3

2

−

i

1
2

,

−

1
2

+ i

√

3

2

,

1
2

− i

√

3

2

; d) 3 + 4i, −3 − 4i; e)

1
2

i,

±

√

3

4

− i

1
4

.

Zadanie 7:

a) 3i,

3

√

3

2

−

3
2

i,

−

3

√

3

2

−

3
2

i

; b) −16 − 16i, 16 − 16i, 16 + 16i, −16 + 16i;

Zadanie 8:

a) 1 +



√

3

4

+

1
2

+ i



1
2

−

√

3

4

,

1 −



1
2

−

√

3

4

+ i



1
2

+

√

3

4

,

1 −



√

3

4

+

1
2

−

i



1
2

−

√

3

4

,

1 +



1
2

−

√

3

4

− i



1
2

+

√

3

4

; b)

43
50

−

24
50

i,

26
50

−

7

50

i,

57
50

−

24
50

i,

74
50

+

7

50

i

; c)



1+

√

5

2

+i



√

5−1

2

,

−



1+

√

5

2

−i



√

5−1

2

,



1+

√

5

2

−i



√

5−1

2

,

−



1+

√

5

2

+i



√

5−1

2

;

d) −2

1+cos

2kπ

n

+i sin

2kπ

n

1−cos

2kπ

n

−i sin

2kπ

n

, k

= 1, . . . , n − 1;

Zadanie 9:

0;

Zadanie 10:

a) ±2i, ±

√

3+i, ±

√

3−i; b)

√

3+1, 3

√

3 + 1,

3
2

√

3+1±

3
2

i,

5
2

√

3+1±

3
2

i

;

Zadanie 11:

a) ϑ (t) =

t

+t

−1

2

; b) ϑ (t) =

t

−t

−1

2i

; c) ϑ (t) =

1−t

2

1+t

2

i

;

Zadanie 12:

a) 0,

√

2e

−i

kπ

3

, k

= 0, . . . , 5; b) e

i

2kπ

7

, k

= 0, . . . , 13;

3